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专练 10 几何大题（15 题）
1．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，在 中， ，垂足为 ， ，垂足为 ，
， 与 相交于点 ．
(1)请说明 的理由．
(2)如果 ，试说明 平分 的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)
证明： ， ，
，∠AEB=∠CEB=90°，
，∠EBC+∠C=90°，
，
在 与 中，
，
．
(2)
解：由（1）知， ，
， ，
是 的中点，
，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，
∴ ，
平分 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质
是解题的关键．
2．（2021·上海·华东理工大学附属中学七年级期末）如图，在 中， ， ，
，点 从点 出发，沿线段 以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点 从点 出发沿线段
以2cm/s的速度向终点 运动，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动， 与 交于点 ，
设点 的运动时间为 （秒）．
(1)分别写出当 和 时线段 的长度（用含 的代数式表示）．
(2)当 时，求 的值．
(3)若 ，求所有满足条件的 值．
【答案】(1) 时， ， 时，
(2)
(3)
【解析】
(1)
解：当 时， ， ，
当 时， ， ．
(2)解：由题意知： ，
当 时， ， ， (舍去)．
当 时， ， ， ．
(3)
解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ， ， ．
当 时， ， ， (舍去）．
∴当 时， ．
【点睛】
本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等
是解题的关键．
3．（2021·上海松江·七年级期末）如图，在四边形 中， ，点E、F分别
在直线 、 上，且 ．
(1)当点E、F分别在边 、 上时（如图1），请说明 的理由．
(2)当点E、F分别在边 、 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理
由；若不成立，请写出 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不成立， ，见解析
【解析】
(1)EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
(2)
（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠EAF＝ ∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．4．（2021·吉林长春·七年级期末）已知AM CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 ．
【答案】（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°
【解析】
（1）过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN，
∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN，
∴∠C+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A+180°﹣∠C＝90°，
∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝ ∠MAB，
∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝ ∠BCN，
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝ ∠MAB+90°﹣ ∠BCN＝90°﹣ （∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．
5．（2019·吉林长春·七年级期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P．已知
， ， ， ．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
【答案】（1）66°；（2）15.5
【解析】
解：（1）解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE．
∴∠ABC-∠DBC =∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE．
∵∠ABD+∠DBC+∠CBE =∠ABE，
∴∠CBE= (∠ABE-∠DBC)=×(162°-30°)=66°．
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质，角的和与差的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等，对
应角相等．
6．（2021·山东济南·七年级期末）已知：如图，AB CD，AB＝CD，BF＝CE．
（1）求证： ABF≌ DCE．
（2）已知∠AFC＝80°，求∠DEC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）100°
【解析】
（1）证明：∵AB CD，
∴∠B＝∠C，
在 ABF与 DCE中，
，
∴ ABF≌ DCE（SAS）．
（2）解：∵∠AFB+∠AFC＝180°，∠AFC＝80°，
∴∠AFB＝180°﹣∠AFC＝100°，
由（1）知， ABF≌ DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠DEC＝100°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明 ABF≌ DCE是解题的关键．
7．（2021·四川成都·七年级期末）（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接
AF，将 ADF绕点A顺时针旋转90°与 ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直
线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．（2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长
线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．
（3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，
CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示）
【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝ ，理由见详解
【解析】
解：（1）EF＝GE，理由如下：
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合，
∴AG＝AF，
∵AE平分∠GAF，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF；
（2）BE−DF＝EF，理由如下：
如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE＝EF，
∴BE−DF＝EF；
（3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，
∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，
∵BE＝GF，
∴△CBE≌△CFG（SAS），
∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，
∵∠DAB＝60°，
∴∠FCB＝120°，
∵∠DCE＝60°，
∴∠DCF＋∠BCE＝60°，
∴∠DCG＝60°，
又∵CG＝CE，
∴△ECD≌△GCD（SAS），
∴GD＝DE，
∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），
∴AF＝AB，
∴b＋a−BE＝c＋BE，
∴BE＝ ．
【点睛】
本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键．
8．（2021·重庆八中七年级期末）如图1：已知直线AB∥CD，∠ACB＝∠ABC，CE平分∠ACD．
（1）求∠BCE的度数；（2）如图2，点F是线段AB上一点，连接CF，且∠BCF＝ ∠DCE．
①求证：CF平分∠ECM；
②如图3，点N是线段CF上一点，且∠NAF+2∠FCM＝180°，点H是线段AC上一点且∠HNA＝∠FCB，
请找出∠ANF﹣∠ACB与∠NHC之间的关系并说明理由．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②
【解析】
（1）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
（2）①由（1）可知 ， ，，
，
，
，
CF平分∠ECM；
②如图3，延长 交 于 ，
由（2）①可知， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角性质，角度的和差计算，掌握以上知识是解题的
关键．
9．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设 （ ），射线 ，作射线OE平分 ．
(1)如图1，若 ，且OD在直线AB的上方，求 的度数（要求写出简单的几何推理过程）．
(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含
的代数式表示 的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．
(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现 与 （
）之间有怎样的数量关系？请你直接用含 的代数式表示 的度
数．
【答案】(1)
(2)
(3) 即 或 即 或
即 或 即
【解析】
(1)
解：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵OE平分∠BOD，
∴ ．
(2)
，
，
∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，
∴
∵OE平分∠BOD，
∴ ．
(3)
①当 ，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
∵OE平分∠BOD，
∴ ，
即 ．
②当 ，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵ ，
∴ ，∵OE平分∠BOD，
∴ ，
即 ．
③当 ，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
，
∵OE平分∠BOD，
∴ ，
即 ．
④当 ，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵ ，
，∵OE平分∠BOD，
∴ ，
即 ．
综上分析可知， 即 或 即
或 即 或 即 ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据 的大小和OD的位置分类讨论，是解决本题的关键．
10．（2021·湖北宜昌·七年级期末）如图所示，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分
∠BOC．
(1)写出与∠COD互为余角的角有哪些？
(2)若∠BOD＝160°，求∠BOE的度数．
(3)若∠COE比∠COD多60°，求∠COE的度数．
【答案】(1)∠COE，∠BOE
(2)
(3)75°
【解析】
(1)
（1）∠COE，∠BOE．
(2)
（2）∵点A，O，B在同一条直线上 ∴AOB＝180°
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC∴ ，
∴
∵∠BOD＝160°
∴∠BOE＝
(3)
（3）∵∠DOE＝∠COE＋∠COD＝90° 且∠COE比∠COD多60°
∴∠DOE＝∠COE＋（∠COE－60°）＝90°
∴∠COE＝75°
【点睛】
本题考查了角平分线定义的运用，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键．
11．（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期末）已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是
∠AOE的平分线．
(1)当∠AOC=40°，点C、E、F在直线AB的同侧（如图1）时, 求∠BOE和∠COF的度数．（写出过程）
(2)当∠AOC=40°，点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2）时, 求∠BOE和∠COF的度数．（写出过
程）
(3)当∠AOC=n°，请选择图（1）或图（2）一种情况计算，∠BOE=______； ∠COF=_______（用含n的
式子表示，直接写出结果）
(4)根据以上计算猜想∠BOE与∠COF的数量关系_______（直接写出结果）．
【答案】(1)∠COF=25°；
(2)∠COF=65°；
(3)（90+n）°，45° n°；或（90-n）°，45° n°；
(4)∠BOE=2∠COF
【解析】
(1)解：如图（1），
∵∠AOC＝40°，∠COE是直角，
∴∠AOE＝130°，
∴∠BOE＝180°﹣130°＝50°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF ∠AOE＝65°，
∴∠COF＝65°﹣40°＝25°；
(2)
如图（2），
∵∠AOC＝40°，∠COE是直角，
∴∠AOE＝50°，
∴∠BOE＝180°﹣50°＝130°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF ∠AOE＝25°，
∴∠COF＝25°+40°＝65°；
(3)
选择图（2），
∵∠AOC＝n°，∠COE是直角，
∴∠AOE＝（90﹣n）°，
∴∠BOE＝180°﹣（90﹣n）°＝（90+n）°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF ∠AOE＝（45 n）°，
∴∠COF＝n°+（45 n）°＝45° n°；
故答案为：（90+n）°，45° n°；
(4)
根据以上计算的∠BOE和∠COF的度数可得：
∠BOE＝2∠COF．
故答案为：∠BOE＝2∠COF．【点睛】
此题主要考查了角的计算以及角平分线的性质，根据数形结合以及角平分线的性质得出是解题关键．
12．（2021·广东梅州·七年级期末）如图（1），AB//CD，点E在 、 之间，连接 、 ；如图
（2），AB//CD．点M、N分别在 、 上，连接 ．
(1)在图（1）中，若 ，则 __________；若 ， ，则
________．
(2)图（1）的条件下，猜想 、 、 的关系，并说明你的结论．
(3)如图（2），点E是四边形 内（不含边界和 ）任意一点，请说明 、 、 的
关系．
【答案】(1) ， ；
(2) ，理由见详解；
(3)当点 位于四边形 中时， ；当点 位于四边形 中时，
．
【解析】
(1)
如图1，过点 作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
， ，
， ，
；当 ， 时，
；
故答案为： ， ；
(2)
在图（1）的条件下，猜想 ；
理由：如图1，过点 作EF//CD，
∵AB//CD
∴EF//AB（平行于同一条直线的两直线平行），
， （两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
(3)
如图2所示，当点 位于四边形 中时， ，
理由：过 作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
， ，
；
如图2所示，当点 位于四边形 中时， ，理由：过 作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
， ，
．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）如图1，已知直线 ，且 和 ， 分别相交于 ， 两点， 和 ，
分别交于 ， 两点，点 在线段 上．
(1)若 ， ，则 ________；
(2)试找出 ， ， 之间的等量关系，并说明理由；
(3)应用（2）中的结论解答下列问题；
已知 ，点 ， 在 上，点 ， 在 上，连接 ， ． ， 分别是 ， 的平分
线， ，
①如图2，当点 在点 的右侧时，求 的度数；②如图3，当点 在点 的左侧时，直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)①∠AEC=53°；②∠AEC=143°
【解析】
(1)
）∵l l，
1 2
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2=23°+34°=57°；
故答案为：57°；
(2)
∠1+∠2=∠3，
理由：∵l l，
1 2
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠1+∠2=∠3；
(3)
①过点E作EF l，
1
∵l l，
1 2
∴EF l，
2
∵l l，
1 2
∴∠BCD=∠α，
∵∠α=74°，∴∠BCD=74°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD= ×70°=37°，
∵EF l，
2
∴∠FEC=∠ECD=37°，
同理可求∠AEF=16°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=53°；
②过点E作EF l，
1
∵l l，
1 2
∴EF l，
2
∵l l，
1 2
∴∠BCD=∠α，
∵∠α=74°，
∴∠BCD=74°，
∵CE是∠BCD的角平分线，
∴∠ECD= ×70°=37°，
∵EF l，
2
∴∠FEC=∠ECD=37°，
∵l l，
1 2
∴∠BAD+∠β=180°，
∵∠β=32°，
∴∠BAD=148°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE= ×148°=74°，∵EF l，
1
∴∠BAE+∠AEF=180°，
∴∠AEF=106°，
∴∠AEC=106°+37°=143°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题
关键．
14．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出
∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，
OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同
时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答
案）．
【答案】(1)60°，120°
(2)∠DOM+∠AON+∠BOC=180°
(3) 或 或
【解析】
(1)设∠AOD＝2∠BOC=2x，
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴2x+x=180，
解得x=60°，2x=120°，
故∠AOD=120°，∠BOC=60°．
(2)
画图如下：
作OM⊥OC，垂足为O，ON⊥OB，垂足为O，
∴∠DOM=90°-∠COD ，∠AON=90°-∠BOA，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴∠COD+∠BOA=∠BOC，
∴90°-∠DOM+90°-∠AON=∠BOC，
∴∠DOM+∠AON+∠BOC=180°．
(3)
如图1，当OB、OC都没有转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠BOE=60°-6t＜∠COE=60°-5t，
∴∠BOE=60°-6t，∠BOC=120°-6t-5t=120°-11t，
∵OE恰好是∠BOC的四等分线，
∴∠BOC=4∠BOE，
∴120°-11t=4(60°-6t)，
解得 ；
如图2，当OB、OC都转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠COE=5t-60°＜∠BOE=6t-60°，
∴∠BOC=120°-(120°-6t)-( 120°-5t)= 11t -120°，
∵OE恰好是∠BOC的四等分线，
∴∠BOC=4∠COE，∴11t -120°=4(5t-60°)，
解得 ；
如图3，当OB转过一周后，
此时，∠COE=360°-5t+60°=420°-5t，∠BOE=60°-(6t-360°)= 420°-6t，
∴∠BOC=∠COE +∠BOE =840°-11t，
∴840°-11t =4(420°-6t)，
解得 ；
综上所述，当 或 或 时，符合题意．
【点睛】
本题考查了角的计算，互余的作图，分类计算，角的平分线，熟练掌握互余的作图，解一元一次方程是解
题的关键．
15．（2022·江苏扬州·七年级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三
角板的直角顶点放在点O处．
(1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD= ∠COE；
(2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求
∠COD的度数；(3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为 度，在旋转的过程中，能否使
∠AOE=3∠COD？若能，求出 的度数；若不能，说明理由.
【答案】(1)2
(2)
(3) 或
【解析】
(1)
解： ， 与射线 重合，
，
，
，
，
故答案为：2；
(2)
解：由（1）得， ，
是 的角平分线，
，
，
；
(3)
解：能，
①当 是 内时，有：
， ，
则 ，
解得： ；
②当 在 外时，有：
， ，
则 ，
解得： ．
综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
