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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 02 二次函数的图像和性质
一．选择题
1．（2020秋•汉寿县期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y ），B（2，y ），C
1 2
（3，y），则y，y，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y＝y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＝y D．y＜y＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
2．（2020秋•潜山市期末）如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，有三个结
论，其中正确的个数是（ ）
①ab＞0；
②a+b+c＞0；
③当x＜﹣2时，y＜0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021春•阳信县期末）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛
物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
4．（2021•江汉区校级自主招生）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函
数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x ，x ，且x ＜2＜x ，则c的取值范围是（
1 2 1 2
）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣8 C．c＜﹣6 D．c＜﹣1
5．（2021•黄州区校级自主招生）如图所示，已知抛物线 y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二
次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B，A作x轴的垂线、垂足
分别为C，D，连接PA，PD，PD交AB于点E，则（ ）A．PA＝PD﹣PE B．PD＝PA•PE C．PD＝PE+AD D．PA2＝PE•PD
6．（2020秋•宁都县期末）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形ABCD的四条边上，四边形
EFGH也是正方形，正方形EFGH的面积最小时，AE的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2021•滨州）对于二次函数y＝ x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x
＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝ x2向左平移6个单位长度，
再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020秋•思明区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A（1﹣
b，m），B（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+1
9．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，
过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
二．填空题
10．（2021春•昌江区校级期末）设函数f（x）＝|x2﹣2|．若f（a）＝f（b），且0＜a＜b，则ab的取值范
围是 ．11．（2020秋•龙岩期末）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下
列结论正确的是 ．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c＜0；
③若A（﹣3，y），B（﹣0.5，y），C（3.5，y）三点都在抛物线上，y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
④当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
12．（2020秋•安丘市期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴相交于A（﹣2，0）、B（1，
0）两点．则以下结论正确的有 ．（多选）
A．ac＞0
B.4ac＜b2
C.2a+c＝0
D．a﹣b+c＝0
13．（2020秋•兰陵县期末）已知二次函数y＝x2+2mx+1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范
围是 ．
14．（2020秋•阜南县期末）如图，抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，已知 A
（﹣1，0），B（1，1），则a的取值范围是 ．15．（2020秋•桃江县期末）在平面直角坐标系中，已知 A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1
上的两点，则抛物线y＝x2+bx+1的顶点坐标为 ．
16．（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴
作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
17．（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y ），C（c，0）三点，x ＜x ，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m
2 1 2
＜x ，则y ＜y ；③若m＝2，y ＝y ，则x+x ＝4；④对于x+x ＞8，都有y ＜y ，则m＜4．则结论正确
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的为 ．（填序号）
18．（2021•灞桥区校级模拟）已知矩形长与宽分别为a、b（a＞b），截一个面积最大的菱形，使菱形的
顶点落在矩形的边上，该菱形最大面积为 ．
三．解答题
19．（2020秋•泰兴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过点C（0，2）、点A（2，0）．
（1）求证：b＝﹣2a﹣1；
（2）若平行于x轴的直线y＝2﹣a与抛物线有交点，求a的取值范围．（3）若a为整数，n为正整数，当n＜x＜n+2时，对应函数值有且只有9个整数，求a、n的值．
20．（2020秋•岳阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣ x+ 与直线y＝ x+b交于
A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0）．点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与
点A、B重合），过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．
21．（2020秋•黄岛区期末）（1）解方程：x2＝4﹣2x；
（2）求二次函数y＝x2﹣x﹣5的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象的交点坐标．
22．（2020秋•郑州期末）已知关于x的二次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为 ；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；（3）原函数是否存在最小值﹣1？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
23．（2020秋•宁德期末）已知抛物线y＝ （x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．
（1）请用含n的代数式表示c；
（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝kx，直线OC为y＝
1
kx．
2
①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k•k 的值；
1 2
②求证：无论k为何值时，k•k 的值不变．
1 2
24．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，设抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点为A．直
线y＝kx（k＞0）与抛物线y＝x2﹣2bx﹣4交于A，B两点OA＝OB．
（1）求k，b的值；
（2）若点P在线段OB上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为C，PC的延长线交抛物线y＝x2﹣2bx
﹣4于点D，求线段PD+OC的最大值．
25．（2021春•海曙区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）a＝ ；
（2）若抛物线的顶点为P，直线y＝9与抛物线交于两点G、H，求△PGH的面积；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝4（x﹣1）2交于点C，
D，则线段AB与线段CD的长度之比为 ．26．（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的
抛物线相应的函数表达式．
27．（2021•金东区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），顶点为P，直线y＝
ax+1与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当a＝﹣ 时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标；
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．28．（2021•西湖区校级三模）在平面直角坐标系中，设二次函数 y ＝（ax+1）（bx+1），y ＝（x+a）
1 2
（x+b）．（a，b是实数，且a•b≠0）
（1）已知a•b＝1，若y 的对称轴为直线x＝1，求y 的对称轴；
2 1
（2）若函数y 图象经过点A（1，1），点B（﹣1，m），求证：函数y 的图象也经过A、B两点；
1 2
（3）设函数y 和函数y 的最小值互为相反数．求a﹣b的值．
1 2
