文档内容
专题 02 二元一次方程组的解法
目录
A题型建模・专项突破
题型一、代入消元法解二元一次方程组..............................................................................................................1
题型二、加减消元法解二元一次方程组..............................................................................................................4
题型三、二元一次方程组的错解复原问题..........................................................................................................7
题型四、已知二元一次方程组的解求参数........................................................................................................10
题型五、已知二元一次方程组解的情况求参数................................................................................................11
题型六、构造二元一次方程组求解....................................................................................................................14
题型七、利用同解方程组的问题求解................................................................................................................15
题型八、二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题................................................................................18
B综合攻坚・能力跃升
题型一、代入消元法解二元一次方程组
1.（2025七年级上·全国·专题练习）解方程组
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：由①，得 ．
把 代入②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键.
2.（2025·广东·模拟预测）解二元一次方程组： ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（代入消元法的应用），解题的关键是由第一个方程用含一个
未知数的代数式表示另一个未知数，再代入第二个方程消元求解．先从第一个方程 变形得到 ，将其代入第二个方程 中，把二元一次方程转化为一
元一次方程，求解出 的值，再将 的值代入 求出 的值，进而得到方程组的解．
【详解】解：由 ，得 ．
将 代入 ，得 ．
化简得 ，即 ．
把 代入 ，得 ．
所以方程组的解为 ．
3.解方程组．
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关
键；在解二元一次方程组时，如果方程组中同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法比较简便；如
果方程组中有一个未知数的系数的绝对值是1或者常数项是0时，用代入消元法比较简便．
（1）根据代入消元法解即可；
（2）根据加减消元法解即可．
【详解】（1）解： ，
把 代入 得 ，
解得 ，
把 代入 得 ，
原方程组的解为 ．
（2）解： ，
由 得 ，
由 得 ，解得 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
原方程组的解为 ．
4.（25-26八年级上·全国·课后作业）用代入法解方程组 时，有以下过程：
（1）由①，得 ③．
（2）将③代入②，得 ．
（3）去括号，得 ，解得 ．
（4）将 代入③，得 ．
所以原方程组的解是
其中开始出现错误的一步是 ．（请填写序号）
【答案】（3）
【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键．根据代入消元法的运算法则进行
判断即可．
【详解】解： ，
（1）由①，得 ③．
（2）将③代入②，得 ．
（3）去括号，得 ，解得 ．
（4）将 代入③，得 ．
所以原方程组的解是
则开始出现错误的一步是（3）．
故答案为：（3）．
题型二、加减消元法解二元一次方程组
5.计算：(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法
【分析】本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解决这个问题的关键就是利用加减
法进行消元．
（1）利用 求出x的值，然后代入①求出y的值，从而得出方程组的解；
（2）首先将方程组进行化简，然后利用加减消元法得出方程组的解．
【详解】（1）解： ，
得： ，解得： ，
将 代入①可得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ；
（2）解：将方程组进行变形可得： ，
得： ，解得： ，
将 代入①可得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ．
6.解方程组：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先化简方程组为 ，再利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：由 ，得 ，
解得： ，
把 代入，①得
解得： ，
∴ ；
（2）解：化简整理，得 ，
由 ，得 ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
∴ ．
7.解下列方程组：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，得 ，
∴ ，
把 代入①，得 ，
∴ ；
（2） ，
，得 ，
∴ ，
把 代入①，得 ，
∴ ．
8.解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得．
【详解】（1）解： ，， ，
解得 ，
把 代入①， ，
解得 ，
∴原方程组的解是 ；
（2）解： ，
化简方程组可得， ，
得， ，
解得 ，
将 代入②，得 ，
∴方程组的解为 ．
题型三、二元一次方程组的错解复原问题
9.甲、乙两人同求方程 的整数解，甲正确的求出一个解为 ，乙把 看成 ，
求得一个解为 ，则 、 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由
题意易得 ，然后进行求解即可．
【详解】解：把甲的解 代入方程 可得： ，
把乙的解 代入方程 可得： ，联立可得： ，
解得： ；
故选C．
10.甲、乙两人共同解方程组 时，甲看错了方程②中的a，解得 ；乙看错了方程①中
的b，解得 ，求 的值．
【答案】0
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组
中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键．
根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出 和 的值，
最后代入所求式子计算．
【详解】解：甲看错了方程②中的 ，但方程①中的 是正确的，
所以将甲得到的解 ，
代入方程① 中，可得： ，
移项，得 ．
乙看错了方程①中的 ，但方程②中的 是正确的，
所以将乙得到的解 ，代入方程② 中，
可得： ，解得 ．
所以
．
11.甲、乙两人同时解关于 ， 的方程组 ，甲解对了，得 ，乙看错了 ，得 试
求出原方程组中的 ， ， 的值．
【答案】 ， ， 的值分别为：
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把甲的结果代入方程组求出 的值，得到关于 与 的方程，将乙结果代入第一个方程得到 与 的方程，
联立求出 与 的值即可．
【详解】解：把 代入方程组得： ，
解得： ，
把 代入方程组中第二个方程得： ，即 ，
联立得： ，
整理得： 得： ，
把 代入②得： ．
答： ， ， 的值分别为： ．
12.已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②
中的b，得到方程组的解为 ，试求出 的值及原方程组的解．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲
得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出
正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解．
【详解】解：将 代入②，得 ．
将 代入①，得 ，
解得 ．
把 代入方程组，得
，得 ，
解得 ．
将 代入③，得 ，则原方程组的解为 ．
题型四、已知二元一次方程组的解求参数
13.（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于 的方程组 的解为 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将 代入 得出
关于 的二元一次方程组，求得 的值，即可求解．
【详解】解：∵关于 的方程组 的解为 ，
∴ ，解得：
∴ ，
故选：C．
14.（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组 的解为 ，则“ ”“ ”表示的数
分别是（ ）
A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将
代入方程组即可得到以“■”“ ”为未知数的方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：将 代入方程组得： ，
解得： ， ．
故选：A．
15.若关于 、 的方程 的一个解是 ，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将 代入原方程，可得出 ，解之即可得出 的值．
【详解】解：将 代入原方程得： ，
解得： ，
的值为7．
故答案为：7．
16.（2025·山东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 ，
．
【答案】 3 1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题
的关键．
将 代入 ，即可求解 ．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：3；1．
题型五、已知二元一次方程组解的情况求参数
17.若关于x，y的方程组 的解满足 ，则k的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出 ，代入
计算即可求出k的值．
【详解】解：记 ，
则① ②，得 ，
整理，得 ．
代入 得 ，
解得 ．
故选：B．18.若关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的值为 ．
【答案】15
【分析】通过加减消元法先解二元一次方程组，用k表示x、y，再将x、y代入 ，解关于k的方程
即可；本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解： ，
得 ，
解得 ；
把 代入 得 ，
解得 ；
把 、 代入 得 ，
解得 ．
故答案为：15．
19.已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得 ，结合题干已知
即可列出方程 或 或 或 ，解得m，求得对应的x和y验证即可．
【详解】解： ，
得 ，即 ，
∵ 是整数，方程组有正整数解，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 （舍去），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
综上， ．
故选：C．20.已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若方程组的解满足 ，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
（1）根据 可得 ，代入①求出 与 的解，然后将解代入②即可求出 ；
（2）无论数 取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含 的项不影响等式，即 的系数
必须为0，由此求解．
【详解】（1）解： ，
，
把 代入 得：
，
解得： ，
，
把 代入 得：
，
解得：
（2）解： ，
,
无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，
，解得：
固定解为： ．
题型六、构造二元一次方程组求解
21.若 ，则 的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到 ，解方程组求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选：D．
22.已知方程 是关于x和y的二元一次方程，则 ， ．
【答案】 1 1
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且
含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义列出关于 ， 的方程组，求出 ， 的值即可．
【详解】解： 方程 是关于 ， 的二元一次方程，
，
解得 ．
故答案为：1，1．
23.已知关于x，y的二元一次方程 ，当 时， ；当 时， ．求k，b的值．
【答案】
【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组 、 的值代入函数表达式，得到关于 、
的二元一次方程组，再求解该方程组得到 、 的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函
数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关
键．
【详解】解：根据题意，得
解这个方程组得
24.已知方程组 的解是 ，则方程组 的解是 ．【答案】
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，先把 化成
，再根据方程组 的解是 ，列出关于 、 的方程组，求解即可．
解题关键是掌握二元一次方程组的解的定义：使各个方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，
解得： ，
∴方程组 的解是 ．
故答案为： ．
题型七、利用同解方程组的问题求解
25.若方程组 和 同解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二
个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组
就能得到a的值．
【详解】解： ，
得： ，解得： ，
把 代入①，得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ，
∵方程组 和 同解，
∴把 代入 ，得 ，
解得： ，
故选：B．
26.已知关于 的方程组 与 有相同的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】将 与 组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，
即可得到结论．
【详解】解：由题意可将 与 组成方程组 ，
解得： ，
把 代入 得： ①，
把 代入 得： ②，
①与②组成方程组得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
27.（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于 ， 的方程组 与 有相同的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于 ， 的方程组 与
有相同的解，则 ，解得： ，然后代入 得 ，求出
，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵关于 ， 的方程组 与 有相同的解，
∴ 与 有相同的解，
由 ，解得： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
28.已知方程组 和方程组 的解相同，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值，掌握二元一次方程组解的定
义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
由题意可得方程组 ，利用加减消元法解方程组得出 ，把 代入方程组
，得 ，利用加减消元法求出 ， 的值，最后把 ， 的值代入 计算
即可．
【详解】解：由题意，得方程组 ，
解得： ，
把 代入方程组 ，得 ，解得： ，
．
题型八、二元一次方程组的有关的新定义、新运算问题
29.（24-25七年级下·山东威海·期中）定义运算“*”，规定 ，其中a，b为常数，且 ，
，则 （ ）
A．8 B．4 C．3 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键．
根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到 ，再代入求出答案即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，
即 ，
∴ .
故选：D．
30.（24-25七年级下·浙江湖州·期中）对x，y定义一种新运算“ ”，规定： （其中m，n
均为非零常数），若 ， ，则 的值是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
得： ，
把 代入 得： ，
∴
则 ，
故答案为：9．31.规定新运算： ，其中 是不等于0的常数，且 ．已知 ，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出 、 的值．
根据 ，其中 ， 是不等于0的常数，且 ． ，可以得到 ，
，然后两个式子相减或相加，可以求得 ， ，从而可以求得 、 的值，再计算
即可．
【详解】解：∵ ， ，
， ，
， ，
∵ ， 是不等于0的常数，且 ．
∴化简得： ， ，
即 ，
解得 ，
，
故选：C．
32.对于实数，规定新运算： ，其中a、b是常数．已知 ， ．
(1)求a、b的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是
熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值；
（2）根据新运算的定义即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可知： ，
解得： ；
（2）解：∵ ， ，∴ ，
∴ ．
一、单选题
1．（24-25七年级上·全国·课后作业）代数式 是二次三项式，则m，n的值是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次三项式的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二次三项式的定
义．
根据二次三项式的定义列出方程，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得， ， ，
由②式得 ，代入①中得 ，
整理得 ，
解得 ，
∴ ，
故选：B．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组 错误的解法是（ ）
A．先将①变形为 ，再代入② B．先将②变形为 ，再代入①
C．将②-①，消去 D．将① ②，消去
【答案】A
【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进
行消元求解是解题的关键．
根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确．
【详解】解：A、由 ，应变形为 ，而不是 ，所以该解法错误，符合题意；
B、由 ，变形为 ，代入 ，是正确的代入消元法，不符合题意；
C、用 ，可得 ，即 ，消去了 ，是正确的加减消元法，不符合题意；
D、 得 ，再减 ，可得 ，即 ，消去了 ，是
正确的加减消元法，不符合题意．故选：A．
3．（2025·四川巴中·模拟预测）已知二元一次方程组 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关
键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出 的值．
【详解】解： ，
得 ，
，
∴ ，
故选：B．
4．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则k的
值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出 ，代入
计算即可求出k的值．
【详解】解：记 ，
则① ②，得 ，
整理，得 ．
代入 得 ，
解得 ．
故选：B．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）关于 的方程组 有正整数解，则正整数 为（ ）
A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作
答．
【详解】解：∵方程组有正整数解，∴两式相加有 ，即 ，
∵a，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴ 时，不合题意，舍去，
时， ， ，符合题意；
时， ， ，符合题意；
时， ， ，不合题意，舍去，
∴ 或2．
故选：A．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知关于 的方程组 和 有相同的解，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了含参数二元一次方程组，求解关键是利用两个方程组解相同，联立无参数的方程
求解出 和 ，然后，代入另外两个含参数方程构成的方程组中 ，求解得出
和 的值，进一步计算即可得出结果．
【详解】解： 根据题意可知，由于两个方程组解相同，
联立方程得 ，
解得 ，
把 代入方程组 ，
得 ，
解得 ，
．
故选： ．
二、填空题
7．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知 ，则用含 的式子表示 为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另
一个未知数．
根据 ，把 用 表示出来，然后再把 代入 进行化简即可．
【详解】 ，
将①变形为 ③，
将③代入②中，
即 ，
所以 ，
故答案为： ．
8．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）已知 则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查绝对值非负性，算术平方根的非负性，解二元一次方程组；根据绝对值非负性，算
术平方根的非负性得到二元一次方程组，计算求出 的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理， 得，
，
解得： ，
把 代入②中，得，
，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则
的值是 ．
【答案】2
【分析】解方程组 ，用含 的代数式表示出 根据 ，得到关于 的一元一次方程，
求解即可．【详解】
①×2+②，得 ，
即 ．
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是利用整体思想，通过方程组的线性组合直
接求出 的表达式，进而建立关于 的方程求解．
10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则
的值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值．
把 代入方程组 ，得出关于a，b的方程组 ，再根据加减消元法解方程组
求解即可．
【详解】解：把 代入方程组 ，
得： ，
得： ，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：15．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知关于 的方程组 与 有相同的
解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】将 与 组成方程组，解之可得到x、y的值，然后把x、y的值代入另外两个方程，
即可得到结论．【详解】解：由题意可将 与 组成方程组 ，
解得： ，
把 代入 得： ①，
把 代入 得： ②，
①与②组成方程组得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
12．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于 ， 的二元一次方程组 ，给出下列结论中
正确的是 ．
当这个方程组的解 ， 的值互为相反数时， ； 当 时，方程组的解也是方程
① ②
的解； 无论 取什么实数， 的值始终不变； 若用 表示 ，则
③ ④
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目
①③④
中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答
本题．
【详解】解：
当这个方程组的解 ， 的值互为相反数时，
即 ，
两方程相加，得 ，
，
解得 ；故 正确；
当 时，原方程组可化简为
解得方程 ，
左边可化为： ，
右边可化为： ，
所以左边 右边，
故 错误；
可得： ，
即 ，
所以无论 取什么实数， 的值始终为 ，故 正确；
由 知 ，
，故 正确；
故答案为 ．
三、解答题
13．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）解二元一次方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）直接运用加减消元法求解即可；
（2）先化简方程组，然后再运用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解： ，
可得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
所以该方程组的解为： ．（2）解：方程组 可化为 ，
可得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
所以该方程组的解为： ．
14．（25-26八年级上·山东·阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程的解法．熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
（1）使用加减消元法求解即可；
（2）先将两个方程化简，然后使用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：
得 ③
得 ④
③ ④得 ，
解得 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
所以，方程组的解为 ．
（2）解：
去括号得 ，化简得
移项得： ③
将③代入 得：
解得 ，
将 代入③得 ．
所以，方程组的解为 ．
15．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下列解题过程，完成相应任务．
解方程组： ．
解：由①，得 ，③
把③代入②，得 ，．．．第一步
去括号，得 ，．．．第二步
解得 ．．．．第三步
将 代入③，得 ．．．．第四步
所以原方程组的解为 ．．．．第五步
任务一：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做________．
A．代入消元法
B．加减消元法
任务二：（2）第__________步开始出现错误，这步的正确格式应为___________；
任务三：（3）直接写出该方程组的正确解：__________．
【答案】（1）A；（2）二， ；（3）
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解；
（3）根据代入消元法可进行求解方程．
【详解】解：（1）由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法；
故选A；
（2）由题中所给过程可知：在第二步开始出现错误，这步正确的格式为 ；
故答案为二， ；（3） ．
由①，得 ，③
把③代入②，得 ，
去括号，得 ，
解得 ，
将 代入③，得 ，
所以原方程组的解为 ；
故答案为 ．
16．（2024·广东·模拟预测）若关于x，y的方程组 与 有相同的解．
(1)求 的值．
(2)阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ．例如
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，正确理解新定义是解
题的关键．
（1）关于x，y的方程组 与 有相同的解，得到 ，利用加减消元法求出
，再代入含有 的方程求出 ，即可求解 ；
（2）将 ， 代入 ，根据新定义计算即可．
【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组 与 有相同的解，
∴ ，
解该方程组得： ，
∴ ，
解得：∴
（2）解：将 ， 代入 ，
∴ ．
17．（25-26七年级上·全国·课后作业）运算能力规定：形如关于 的两个方程 与 互为
“共轭二元一次方程”，其中 ．由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”， 称之
为“共轭系数”．若关于 的二元一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程
组”的“共轭系数”及其解．
【答案】共轭系数为-3，-6，
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据题中共辄二元一次方程的定义得到关于 的方程组，求出 值即可求出共轭系数；得到共轭方
程组后，通过加减消元法即可求出方程组的解．
【详解】解：由题意，得
整理，得
由①-②×2，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ，
所以 ，
所以“共轭方程组”的“共轭系数”为 ，
所以此“共轭方程组”为
由③×3+④，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，
所以此“共轭方程组”的解为
18．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数 ， ，定义新运算： ， ，
其中 ， 是常数．例如： ， ，已知 ， ，则根据定义可以得到
．回答下列问题：
(1) ________， ________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于x，y的方程组 的解也满足方程 ，求 的值．
【答案】(1)1，
(2)
(3)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）由 ，得到 ， ，代入 ，求解即可；
（3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可．
【详解】（1）解：
，得 ，
∴ ，
把 代入②，得 ，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ， ；
（2） ，
， ．
，
．
解得 ；
（3）依题意得 ，
解得： ，
，．
解得∶ ．
