文档内容
2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 02 二次函数的图像和性质
一．选择题
1．（2020秋•汉寿县期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y ），B（2，y ），C
1 2
（3，y），则y，y，y 的大小关系为（ ）
3 1 2 3
A．y＝y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＝y D．y＜y＝y
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2
【思路引导】将x值代入函数关系式计算y，y，y，再比较大小可求解．
1 2 3
【完整解答】解：当x＝0时，y＝1+h，
1
当x＝2时，y＝1+h，
2
当x＝3时，y＝4+h，
3
∵1+h＝1+h＜4+h，
∴y＝y＜y，
1 2 3
故选：A．
2．（2020秋•潜山市期末）如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，有三个结
论，其中正确的个数是（ ）
①ab＞0；
②a+b+c＞0；
③当x＜﹣2时，y＜0．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路引导】由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab＞0，即可判断
①；由x＝1时，得到y＝a+b+c＞0，即可判断②；根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个
交点，然后根据图象即可判断③．
【完整解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0
∴ab＞0，故①正确；
②∵观察图象知；当x＝1时y＝a+b+c＞0，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于（0，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴当x＜﹣2时，y＞0，故③错误；
故选：C．
3．（2021春•阳信县期末）将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后抛
物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+1 B．y＝2（x﹣4）2+1
C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x﹣4）2﹣3
【思路引导】先把抛物线y＝2x2﹣4x+1化为顶点式的形式，再根据二次函数变化规律：左加右减，上加
下减，即可得出平移后解析式．
【完整解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+1可化y＝2（x﹣1）2﹣1，
将抛物线y＝2x2﹣4x+1向下平移2个单位，再向右平移3个单位，
则平移后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1﹣3）2﹣1﹣2，即y＝2（x﹣4）2﹣3，
故选：D．
4．（2021•江汉区校级自主招生）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函
数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x ，x ，且x ＜2＜x ，则c的取值范围是（
1 2 1 2
）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣8 C．c＜﹣6 D．c＜﹣1
【思路引导】由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y＝x上，故二次函数与直线y＝x有两个交点，
且横坐标满足x＜2＜x，可以理解为x＝2时，一次函数的值大于二次函数的值．
1 2
【完整解答】解：由题意得：不动点在一次函数y＝x图象上，
∴一次函数y＝x与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵两个不动点x，x 满足x＜2＜x，
1 2 1 2
∴x＝2时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
∴2＞22+2×2+c，∴c＜﹣6．
故选：C．
5．（2021•黄州区校级自主招生）如图所示，已知抛物线 y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二
次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B，A作x轴的垂线、垂足
分别为C，D，连接PA，PD，PD交AB于点E，则（ ）
A．PA＝PD﹣PE B．PD＝PA•PE C．PD＝PE+AD D．PA2＝PE•PD
【思路引导】先求出点P的坐标，得到OP的长，设点A的横坐标为m，分别表示出OD、PF、AF，再
根据勾股定理表示出PA2、PE、PD，即可求得PA2＝PE•PD．
【完整解答】解：当x＝0时，y＝1，
∴OP＝1，
设点A的横坐标为m，
∴AD＝OF＝﹣m2+1，OD＝AF＝m，
∴PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，
在Rt△POD中，PD＝ ＝ ，
∵AB∥x轴，
∴ ，
即 ，
解得：PE＝m2 ，
∴PD•PE＝ •m2 ，＝m2（1+m2）＝m4+m2，
∴PA2＝PD•PE，
故选：D．6．（2020秋•宁都县期末）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形ABCD的四条边上，四边形
EFGH也是正方形，正方形EFGH的面积最小时，AE的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【 思 路 引 导 】 因 为 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 3 ， 设 AE ＝ x ， 则 BE ＝ 3﹣ x ， 易 证
△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利
用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【完整解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，设AE＝x，
∴BE＝3﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，
，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝3﹣x，
∴EF2＝BE2+BF2＝（3﹣x）2+x2＝2x2﹣6x+32，
∴正方形EFGH的面积S＝EF2＝2x2﹣6x+32＝2（x﹣ ）2+ ，
即：当x＝ （即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，∴AE＝ ．
故选：D．
7．（2021•滨州）对于二次函数y＝ x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x
＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝ x2向左平移6个单位长度，
再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路引导】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结
论是否正确，从而可以解答本题．
【完整解答】解：∵二次函数y＝ x2﹣6x+21＝ （x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y＝0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝ x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
8．（2020秋•思明区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）经过不同两点A（1﹣
b，m），B（2b+c，m），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．
A．y＝x+2 B．y＝﹣x+2 C．y＝﹣2x+1 D．y＝2x+1
【思路引导】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，
m），也可以得到对称轴为 ，可得b＝c+1，求出顶点的坐标代入四个函数中，如果能求出b的值说明在，反之不在．
【完整解答】解：由抛物线的对称轴x＝﹣ ＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，
m），
b＝ ，即c＝b﹣1，
抛物线的顶点纵坐标为 ＝b2﹣4c＝b2﹣4b+4，
∴顶点坐标为（b，b2﹣4b+4），
将顶点坐标代入A得，b2﹣4b+4＝b+2，整理得b2﹣5b+2＝0，∵52﹣4×2＞0，故顶点可能在A上；
将顶点坐标代入B得，b2﹣4b+4＝﹣b+2，整理得b2﹣3b+2＝0，∵32﹣4×2＞0，故顶点可能在B上；
将顶点坐标代入C得，b2﹣4b+4＝﹣2b+2，整理得b2﹣2b+2＝0，∵22﹣4×2＜0，故顶点不可能在C上；
将顶点坐标代入D得，b2﹣4b+4＝2b+2，整理得b2﹣6b+2＝0，∵62﹣4×2＞0，故顶点可能在D上；
故选：C．
9．（2021•广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，
过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（ ）
A． B． C． D．1
【思路引导】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得 AE＝
a2，BF＝b2，作 AH⊥BH 于 H，交 y 轴于点 G，连接 AB 交 y 轴于点 D，设点 D（0，m），易证
△ADG∽△ABH，所以 ，即 ．可得 m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以
，即 ，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C
是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即 时最大．
【完整解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴ ，即 ．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴ ，
即 ，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为 ＝ 时，点C到y轴距离的最大．
故选：A．二．填空题
10．（2021春•昌江区校级期末）设函数f（x）＝|x2﹣2|．若f（a）＝f（b），且0＜a＜b，则ab的取值范
围是 0 ＜ a b ＜ 2 ．
【思路引导】根据函数f（x）的表达式，结合条件f（a）＝f（b），且0＜a＜b，确定a，b的取值范围，
然后利用基本不等式即可得到结论．
【完整解答】解：f（x）＝|x2﹣2|＝ ，
作出函数的图象如图：
若f（a）＝f（b），且0＜a＜b，
则b＞ ，0＜a＜ ，则ab＞0，
则由f（a）＝f（b），
得：2﹣a2＝b2﹣2，即a2+b2＝4，
∵0＜a＜b，
∴4＝a2+b2＞2ab，
∴ab＜2，
综上所述，0＜ab＜2，故答案为：0＜ab＜2
11．（2020秋•龙岩期末）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下
列结论正确的是 ①②③ ．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c＜0；
③若A（﹣3，y），B（﹣0.5，y），C（3.5，y）三点都在抛物线上，y＜y＜y；
1 2 3 1 2 3
④当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
【思路引导】由对称轴为x＝2，可得﹣ ＝2，所以b＝﹣4a，可判断①正确；由图象知a＜0，当x＝
﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，可得b＝a+c＝﹣4a，从而c＝﹣5a，又2b＝﹣8a，代入24a+2b+3c中化简即可
判断②正确；找到C（3.5，y ）的对称点C'，使A、B、C'三点在抛物线对称轴的左边，利用增减性即
3
可判断③正确；观察图象可知④错误．
【完整解答】解：∵对称轴为x＝﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，故①正确；
由图象可知，a＜0，
∴2b＝﹣8a，
又图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c＝﹣4a，
∴c＝﹣5a，
∴24a+2b+3c＝24a﹣8a﹣15a＝a＜0，
故②正确；
设点C（3.5，y）关于对称轴对称的点为C'，则C'（0.5，y），
3 3此时，A、B、C'三点都位于对称轴的左侧，
∵﹣3＜﹣0.5＜0.5，且在x＜2时，y随x的增大而增大，
∴y＜y＜y，
1 2 3
故③正确．
由图象可知，当x＞﹣1时，y随x的先增大，后减小，
故④错误．
综上，①②③正确．
故答案为：①②③．
12．（2020秋•安丘市期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴相交于A（﹣2，0）、B（1，
0）两点．则以下结论正确的有 BC ．（多选）
A．ac＞0
B.4ac＜b2
C.2a+c＝0
D．a﹣b+c＝0
【思路引导】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的
关系综合判断即可．
【完整解答】解：二次函数开口向下，故a＜0，与y轴的交点在y的正半轴，故c＞0，故ac＜0，故A
错误；
二次函数的图象与x轴相交于A（﹣2，0）、B（1，0），故b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故B正确；
设二次函数y＝ax2+bx+c的交点式为y＝a（x+2）（x﹣1）＝ax2+ax﹣2a，比较一般式与交点式的系数可
知：b＝a，c＝﹣2a，故2a+c＝0，故C正确；
当x＝﹣1时，y＞0，，故a﹣b+c＞0，故D错误．
∴B、C是正确的．
故答案为BC．13．（2020秋•兰陵县期末）已知二次函数y＝x2+2mx+1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范
围是 m ≥﹣ 1 ．
【思路引导】根据二次函数的性质构建不等式即可解决问题．
【完整解答】解：∵二次函数y＝x2+2mx+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣ ≤1，
∴m≥﹣1，
故答案为m≥﹣1．
14．（2020秋•阜南县期末）如图，抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，已知 A
（﹣1，0），B（1，1），则a的取值范围是 或 a ≤﹣ 2 ．
【思路引导】分情况讨论，a＞0时，二次函数与直线AB由两个交点，且两个交点的横坐标满足 0＜
x≤1；a＜0时，当x＝﹣1时，y≤0．
【完整解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则
，解得： ，
∴直线AB的解析式为：y＝ x+ ，
当a＞0时，开口向上，
∴线段AB和抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）的图象有两个交点，且当x＝1时，y≥1，
∴ax2﹣x+1＝ x+ ，
∴Δ＝（﹣ ）2﹣4a× ＞0，a﹣1+1≥1，解得：1≤a＜ ；
当a＜0时，开口向下，
∵线段AB与抛物线的图象有两个交点，
∴当x＝﹣1时，y≤0，
∴a+1+1≤0，
∴a≤﹣2，
综上所述：1≤a＜ 或a≤﹣2．
故答案为：1≤a＜ 或a≤﹣2．
15．（2020秋•桃江县期末）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1
上的两点，则抛物线y＝x2+bx+1的顶点坐标为 （ 2 ，﹣ 3 ） ．
【思路引导】根据点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后
将函数解析式化为顶点式，从而求得顶点坐标．
【完整解答】解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴﹣ ＝ ，
解得，b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线y＝x2+bx+1的顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
16．（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴
作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．
【思路引导】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣ ）2+ ．根据二次函数的性质来求最值即可．
【完整解答】解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2 + ．
∴当x＝ 时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为 ．
故答案为 ．
17．（2021•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y ），C（c，0）三点，x ＜x ，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m
2 1 2
＜x ，则y ＜y ；③若m＝2，y ＝y ，则x+x ＝4；④对于x+x ＞8，都有y ＜y ，则m＜4．则结论正确
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的为 ①②③ ．（填序号）
【思路引导】根据二次函数图象的性质逐个求解即可．
【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
y），C（c，0）三点，x＜x，抛物线的对称轴为直线x＝m．
2 1 2
∵过C（c，0），
∴0＝ac2+bc+c
∵c≠0
∴o＝c（ac+b+1），
∴ac+b+1＝0，m＜x，故①正确；
1
∵m＜x，x＜x，
1 1 2
∴A、B两点，在对称轴右侧，
∵a＞0，开口向上，
∵在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y＜y，故②正确；
1 2
当m＝2，则对称轴x＝ ，
∴b＝﹣4a，
∵y＝y，
1 2
∴ ，
∴
∴a（x+x）（x﹣x）＝﹣4a（x﹣x），
1 2 1 2 2 1
∴x+x＝4，故③正确；
1 2
若点m≤4，则y＜y，
1 2
∴﹣ ＜4，
∴b＞﹣8a，
，
，
a（x+x）＞﹣b＞8a，
1 2
a（x+x）＞8a，
1 2
x+x＞8，都有y＜y，则m≤4．
1 2 1 2
故④错误；
故答案为：①②③．
18．（2021•灞桥区校级模拟）已知矩形长与宽分别为a、b（a＞b），截一个面积最大的菱形，使菱形的
顶点落在矩形的边上，该菱形最大面积为 ．【思路引导】当菱形对角线最长上时，菱形面积最大，用含a，b代数式求出菱形底边，通过菱形面积
＝底×高求解．
【完整解答】解：∵菱形顶点都落在矩形边上，
∴菱形的高为b，
当底最长时菱形面积最大，
此时菱形两个顶点与矩形顶点重合，如图，
设BF＝DF＝x，则CF＝a﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
FC2+CD2＝DF2，
即（a﹣x）2+b2＝x2，
解得x＝ ，
∴S ＝BF•CD＝ ．
菱形BFDE
故答案为： ．
三．解答题
19．（2020秋•泰兴市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过点C（0，2）、点A（2，0）．
（1）求证：b＝﹣2a﹣1；
（2）若平行于x轴的直线y＝2﹣a与抛物线有交点，求a的取值范围．
（3）若a为整数，n为正整数，当n＜x＜n+2时，对应函数值有且只有9个整数，求a、n的值．
【思路引导】（1）将点A和点C代入解析式，化简得证结论；
（2）将函数与直线有交点转化为方程有解，求a；
（3）将x＝n和x＝n+2分别代入解析式，然后将函数值作差列出方程，结合 a为整数和n为正整数求a
和n的值．【完整解答】（1）证明：将点A和点C代入解析式，得：
，
化简得：b＝﹣2a﹣1；
（2）解：由（1）得函数解析式为：y＝ax2+（﹣2a﹣1）x+2，
∵平行于x轴的直线y＝2﹣a与抛物线有交点，
∴方程ax2+（﹣2a﹣1）x+2＝2﹣a有解，
∴Δ＝（﹣2a﹣1）2﹣4a2＝4a+1≥0，
∴﹣ ≤a＜0；
（3）解：∵x＝﹣ ＝﹣ ＝1+ ＜0，a＜0，
∴当n＜x＜n+2时，y随x的增大而减小，
当x＝n时，y＝an2+（﹣2a﹣1）n+2，当x＝n+2时，y＝a（n+2）2+（﹣2a﹣1）（n+2）+2，
∵当n＜x＜n+2时，对应函数值有且只有9个整数，
∴an2+（﹣2a﹣1）n+2﹣[a（n+2）2+（﹣2a﹣1）（n+2）+2]﹣1＝9，
化简得：a（1﹣2n）＝4，
∵a为整数，n为正整数，
∴n＝1时a＝﹣2；n＝2时，a＝﹣1．
20．（2020秋•岳阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣ x+ 与直线y＝ x+b交于
A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0）．点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与
点A、B重合），过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．【思路引导】（1）将点A坐标代入求出b值即可写出直线解析式，再联立抛物线与直线方程即可找到
B点坐标；
（2）设P（x，﹣x2﹣ x+ ），则C（x， ），PC＝（﹣x2﹣ x+ ）﹣（ ）＝﹣x2﹣
4x+5，则S ＝ |x ﹣x |，再结合二次函数最值问题即可求解．
△APB A B
【完整解答】解：（1）∵点A（1，0），将其代入y＝ 得，
0＝ ，
解得：b＝ ，
∴直线的解析式为：y＝ ，
由 解得： ， ，
∴点B坐标为（﹣5，﹣3）；
（2）设P（x，﹣x2﹣ x+ ），则C（x， ），
∴PC＝（﹣x2﹣ x+ ）﹣（ ）＝﹣x2﹣4x+5，
∴S ＝ |x ﹣x |＝ ＝﹣3（x+2）2+27，
△APB A B
∵﹣3＜0，
∴当x＝﹣2时，S取得最大值27，
将x＝﹣2代入解析式中的得：y＝ ，
∴点P（﹣2， ），
综上，当x＝﹣2时，当△APB面积最大时，最大面积为27，此时点P的坐标（﹣2， ）．
21．（2020秋•黄岛区期末）（1）解方程：x2＝4﹣2x；
（2）求二次函数y＝x2﹣x﹣5的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象的交点坐标．【思路引导】（1）利用配方法求解即可；
（2）令x2﹣x﹣5＝2x﹣1，解方程求得x ＝﹣1，x ＝4，然后分别代入y＝2x﹣1求得y ＝﹣3，y ＝7，
1 2 1 2
从而得出两函数图象的交点坐标．
【完整解答】解：（1）x2＝4﹣2x，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝5，即（x+1）2＝5，
解得 ， ．
（2）解根据题意得：x2﹣x﹣5＝2x﹣1，
解得：x＝﹣1，x＝4，
1 2
把x＝﹣1，x＝4别代入y＝2x﹣1得y＝﹣3，y＝7，
1 2 1 2
∴二次函数y＝x2﹣x﹣5的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象的交点坐标为（﹣1，﹣3），（4，7）．
22．（2020秋•郑州期末）已知关于x的二次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为 （ 0 ，﹣ 1 ） ；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）原函数是否存在最小值﹣1？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【思路引导】（1）令x＝0，求得y＝﹣1，即可证得无论k取何值，此函数图象一定经过 y轴上一点
（0，﹣1）；
（2）把x＝﹣1代入解析式，求得y＝0，故无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）当一次项系数为0时，二次函数的最值就是抛物线与y轴交点的纵坐标．
【完整解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，
∴无论k取何值，一次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）图象一定经过y轴上一点（0，﹣
1），
故答案为（0，﹣1）；
（2）把x＝﹣1代入y＝kx2+（k﹣1）x﹣1得，y＝k﹣k+1﹣1＝0，
∴无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）存在，
当k﹣1＝0，即k＝1时，函数为y＝x2﹣1，此时函数有最小值﹣1，
故当k＝1时，原函数存在最小值﹣1．
23．（2020秋•宁德期末）已知抛物线y＝ （x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．
（1）请用含n的代数式表示c；（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝kx，直线OC为y＝
1
kx．
2
①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k•k 的值；
1 2
②求证：无论k为何值时，k•k 的值不变．
1 2
【思路引导】（1）把原点代入解析式即可；
（2）①先设出点B，C的坐标，根据它们关于y轴对称得出k的值，即可确定B和C的坐标，从而求出
k 和k 的值，即可求出kk 的值；
1 2 1 2
②先将直线BC和抛物线联立，得出x 和x 的关系，再把kk 用含有x 和x 的式子表示出来，化简即可．
1 2 1 2 1 2
【完整解答】解：（1）∵y＝ （x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O，
∴0＝ （0﹣n）（0+n）+c，
整理得c＝ n2，
（2）①由（1）知抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为y轴，
设B（x，kx+2），点C（x，kx+2），
1 1 2 2
∵B，C两点关于y轴对称轴，
∴x＝﹣x，kx+2＝kx+2，
1 2 1 2
∴k＝0，
∴直线BC和x轴平行，
∴ ，
解得x＝﹣ 或x＝ ，
∴B（﹣2 ，2），C（2 ，2），
∴直线OB的解析式为y＝﹣ x，直线OC的解析式为y＝ x，
∴ ， ，
∴ ，②证明：联立抛物线和直线BC得： ，
得：x2﹣4kx﹣8＝0，
∴x+x＝4k，xx＝﹣8，
1 2 1 2
∵点B在直线OB上，
∴kx+2＝kx，即k＝ ，
1 1 1 1
∵点C在直线OC上，
∴kx+2＝kx，即k＝ ，
2 2 2 2
∴kk＝ • ＝ ＝ ，
1 2
∴无论k为何值时，k•k 的值不变．
1 2
24．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，设抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点为A．直
线y＝kx（k＞0）与抛物线y＝x2﹣2bx﹣4交于A，B两点OA＝OB．
（1）求k，b的值；
（2）若点P在线段OB上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为C，PC的延长线交抛物线y＝x2﹣2bx
﹣4于点D，求线段PD+OC的最大值．
【思路引导】（1）由y＝kx的对称性及点A坐标可得点B坐标，再由点A，B横坐标之和为0可得k，b
的关系．
（2）设点P横坐标为m，用含m代数式分别表示出C，D坐标求解．
【完整解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx﹣4＝（x﹣b）2﹣b2﹣4，
∴点A坐标为（b，﹣b2﹣4），
由y＝kx的对称性可得点B坐标为（﹣b，b2+4），
把x＝﹣b代入y＝kx得y＝﹣kb，
∴﹣kb＝b2+4，
联立方程x2﹣2bx﹣4＝kx化简得x2﹣（2b+k）x﹣4＝0，
∵x +x ＝2b+k＝0，
A B
∴k＝﹣2b，把k＝﹣2b代入﹣kb＝b2+4得2b2＝b2+4，
解得b＝﹣2或b＝2（舍）．
∴k＝﹣2b＝4．
（2）由（1）得y＝x2+4x﹣4，y＝4x，
设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，4m），点C坐标（m，0），点D坐标（m，m2+4m﹣4），
∴PD+OC＝4m﹣（m2+4m﹣4）+m＝﹣m2+m+4＝﹣（m﹣ ）2+ ，
∴PD+OC的最大值为 ．
25．（2021春•海曙区校级期末）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）a＝ 1 ；
（2）若抛物线的顶点为P，直线y＝9与抛物线交于两点G、H，求△PGH的面积；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝4（x﹣1）2交于点C，
D，则线段AB与线段CD的长度之比为 2 ．
【思路引导】（1）由抛物线对称轴直线方程x＝﹣ 求解．
（2）求出点G，H坐标然后根据三角形面积公式求解．
（3）分别将y＝m代入两抛物线解析式，求出AB，CD长度作商求解．
【完整解答】解：（1）抛物线对称轴为直线x＝ ＝ ＝1，
∴a＝1．
故答案为：1．
（2）由（1）得y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴点P坐标为（1，0），
把y＝9代入y＝x2﹣2x+1得9＝x2﹣2x+1，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴G，H坐标为（﹣2，9），（4，9），
∴S ＝ GH•（y ﹣y ）＝ ×（4+2）×9＝27．
△PGH G P
（3）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
把y＝m代入y＝（x﹣1）2得m＝（x﹣1）2，
解得x＝1+ 或x＝1﹣ ，
∴AB＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 ．把y＝m代入y＝4（x﹣1）2得m＝4（x﹣1）2，
解得x＝1+ 或x＝1﹣ ．
∴CD＝1+ ﹣（1﹣ ）＝ ，
∴ ＝ ＝2．
故答案为：2．
26．（2021•盐城）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的
抛物线相应的函数表达式．
【思路引导】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．
【完整解答】解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
．
解得 ．
所以a＝1，h＝﹣4．
（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平
移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
27．（2021•金东区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a≠0），顶点为P，直线y＝
ax+1与抛物线交于点A，点B．
（1）求抛物线顶点P的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当a＝﹣ 时，求抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标；
②当抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求a的取值范围．【思路引导】（1）将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出结论；
（2）①先确定出抛物线与直线AB的交点坐标，进而得出封闭区域的整数的横坐标只有 1，2，将x＝
1，x＝2代入直线和抛物线求出y值，比较即可得出结论；
②先求出点A，B坐标，进而得出封闭区域的整数的横坐标只有1，2，将x＝1，x＝2代入直线和抛物线
求出y值，分两种情况，根据封闭区域内只有一个整数点，进而建立不等式求解，即可得出结论；
【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+1＝a（x2﹣2x+1）+1﹣a＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴抛物线的顶点P的坐标为（1，1﹣a）；
（2）①∵a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+1（Ⅰ），直线AB的解析式为y＝﹣ x+1（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得， 或 ，
∴A（0，1），B（3，0），
令抛物线为y＝﹣ x2+ x+1，直线AB的解析式为y＝﹣ x+1，
1 2
当x＝1时，y＝﹣ + +1＝ ，y＝﹣ +1＝ ，
1 2
而 和 之间存在整数1，
∴抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为（1，1），
当x＝2时，y＝﹣ ×4+ ×2+1＝1，y＝﹣ ×2+1＝ ，
1 2
而 于1之间不存在整数，即抛物线与直线AB围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为（1，1）；
②联立抛物线与直线AB的解析式得， ，
解得， 或 ，
∴A（0，1），B（3，3a+1），
令抛物线为y＝ax2﹣2ax+1，直线AB的解析式为y＝ax+1，
1 2
当a＞0时，
当x＝1时，y＝a﹣2a+1＝1﹣a，y＝a+1，
1 2
而1﹣a＜1，a+1＞1，
∴点（1，1）必在区域内，
∵抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点，
∴点（1，0），（1，2）不在区域内，
∴1﹣a≥0且a+1≤2，
∴a≤1，即0＜a≤1，
当x＝2时，y＝4a﹣4a+1＝1，y＝2a+1，
1 2
∵抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点，
∴（2，2）不在区域内，
∴2a+1≤2，
∴a≤ ，
∴0＜a≤ ，
即：0＜a≤ ；
当a＜0时，
当x＝1时，y＝a﹣2a+1＝1﹣a，y＝a+1，
1 2
而1﹣a＞1，a+1＜1，
∴点（1，1）必在区域内，
∵抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点，
∴点（1，0），（1，2）不在区域内，∴a+1≥0且1﹣a≤2，
∴a≥﹣1，即﹣≤a＜0，
当x＝2时，y＝4a﹣4a+1＝1，y＝2a+1，
1 2
∵抛物线与直线AB围成的封闭区域内有且只有1个整点，
∴（2，0）不在区域内，
∴2a+1≥0，
∴a≥﹣ ，
∴﹣ ≤a＜0，
即：﹣ ≤a＜0；
即：满足条件的a的取值范围为0＜a≤ 或﹣ ≤a＜0．
28．（2021•西湖区校级三模）在平面直角坐标系中，设二次函数y ＝（ax+1）（bx+1），y ＝（x+a）
1 2
（x+b）．（a，b是实数，且a•b≠0）
（1）已知a•b＝1，若y 的对称轴为直线x＝1，求y 的对称轴；
2 1
（2）若函数y 图象经过点A（1，1），点B（﹣1，m），求证：函数y 的图象也经过A、B两点；
1 2
（3）设函数y 和函数y 的最小值互为相反数．求a﹣b的值．
1 2
【思路引导】（1）先求出y 对称轴直线方程，再联立方程a•b＝1，求出a，b的值再代入y 求解．
2 1
（2）分别将A，B两点代入y 和y 求解．
1 2
（3）将y 和y 的对称轴方程分别代入两个解析式求出y 和y 的最小值表达式，根据函数有最小值可确
1 2 1 2
定ab＞0进而求解．
【完整解答】解：（1）抛物线y 与x轴交点为（﹣a，0），（﹣b，0），对称轴为直线x＝ ，
2
∵y 的对称轴为直线x＝1，
2
∴ ＝1，
∴a+b＝﹣2，
联立方程 ，
解得a＝b＝﹣1，∴y＝（﹣x+1）（﹣x+1）＝（x﹣1）2，
1
∴y 的对称轴为直线x＝1．
1
（2）证明：y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
1
把A（1，1）代入y 得1＝ab+a+b+1，
1
把B（﹣1，m）代入y 得m＝ab﹣a﹣b+1，
1
∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
2
把x＝1代入y 得y＝ab+a+b+1，
2 2
把x＝﹣1代入y 得y＝ab﹣a﹣b+1，
2 2
∴函数y 的图象也经过A、B两点．
2
（3）由题意得ab＞0，
∵y＝（ax+1）（bx+1）与x轴交点坐标为（﹣ ，0），（﹣ ，0），
1
∴y 对称轴为直线x＝ ＝﹣ ，
1
把x＝﹣ 代入y 得y 最小值为 ，
1 1
同理将x＝ 代入y 得y 最小值为 ，
2 2
∴ ＝0，
整理得（ab+1）（a﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0．
