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专题 02 二元一次方程组的特殊解法五类热点题型
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题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘..........................................................................................1
题型二：不解二元一次方程组求代数式的值..........................................................................................................5
题型三：整体代入法解二元一次方程组..................................................................................................................7
题型四：换元法解二元一次方程组........................................................................................................................11
题型五：新定义型二元一次方程组........................................................................................................................18
题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘
1．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——代入消元法是解题的关
键．利用加代入消元法解答，即可求解．
【详解】解： ，
由①，得 ．③
将③代入②，得 ，
解得 ．
把 代入③，得 ．
所以原方程组的解为 ．
2．（20-21七年级下·广西贵港·期中）解下列二元一次方程组：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组；
（1）先化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先化简，再根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：方程组整理得： ，
得： ，即 ，
得： ，即 ，
则方程组的解为 ；
（2）解：方程组整理得： ，
由①得， ，
把 代入②得： ，解得 ，
则方程组的解为 ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先整理方程组得 ，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
（2）先整理方程组得 ，再运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：整理方程组，得
，得 ．
把 代入②，得 ．
∴方程组的解为 ；
（2）解：整理方程组，得
，得 ，
解得 ．
把 代入①，得 ，
则方程组转化为
由 得 ，
解得 ．
把 代入④，得 ，解得 ．
则方程组的解为
4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组
(1)
(2)【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
由②得到， ③
由 得： ，
解得
把 代入 得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：
整理得： ，
由 得： ，
解得： ，
把 代入 ，得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ．
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程组：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
（1）将方程组化简后，根据① ②×5求出 的值，代入②求出 的值即可；
（2）将方程组变形后，根据①+②求出 的值，代入①求出 的值即可．
【详解】（1）解：整理，得
①-②×5，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为
（2）原方程组可变形为
①+②，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为
题型二：不解二元一次方程组求代数式的值
1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若方程组 的解中 ，则k等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
利用 后整理可得： ，代入 求解即可．
【详解】解： ，可得： ，
∴同除以5可得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
2．（20-21七年级下·浙江·期末）已知方程组 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加
可得 ，由此即可得．
【详解】解： ，
将两个方程相加得： ，
则 ，
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知 ，则代数式
【答案】10
【分析】本题考查了方程组的解法以及求代数式的值．观察方程组中方程的特点，用两个方程相加，求得
，再整体代入求解即可．
【详解】解： ，
由 得， ，
∴ ．
故答案为：10．
4．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）代数式求值：已知实数 满足方程组 ，求
的值．
【答案】【分析】本题解二元一次方程组，代数式求值，运用加减法变形得到 ，再将所求代数式变形为
，然后整体代入计算即可．
【详解】解：
由 得： ，
∴ ，
，
．
5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，求代
数式 的值．
【答案】49
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到 ，进而
得到方程组 ，解方程组即可得到 ，然后代入求值即可．
【详解】解： ，
由 得 ，
∴ ，
由 得 ，解得 ，
将 代入③得 ，解得 ，
∴ ，
将 代入②得 ，
∴ ，
．题型三：整体代入法解二元一次方程组
1．（24-25七年级下·山东威海·期中）对于二元一次方程组 ，下列变形不正确的是（ ）
A．由①变形后代入②，得
B．把①×2整体代入②得：
C．由 得：
D．由 得：
【答案】D
【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，利用加减法或者代入法进行变形即可得到答案．
【详解】解：A. 得到 ，则 ，代入②得到 ，故选项正确，不符合
题意；
B. 得到 ，由 得到 ，故选项正确，不符合题意；
C. 得： ，故选项正确，不符合题意；
D. 由 得： ，故选项错误，符合题意；
故选：D
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①得， ③
把③代入②，得 ，解得 ，
把 代入③得 ，所以这个方程组的解为 ．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程
组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
由第一个方程求出 的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】解：
由①，得： ．③把③代入②，得： ，解得： ．
把 代入③，得 ，解得： ．
∴原方程组的解为 ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用整体代换思想变式解方程组 ，我们可以
把 看成一个整体，设 ，很快可以求出原方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
先根据题意建立新的方程组 ，再利用加减消元法解方程组，然后将方程组的解代入
，最后求解即可．
【详解】解：
设 ，
则原方程组转化为
①+②得， ，
解得 ，
将 代入①，得 ，
解得： ，
方程组 的解为 ，
，
，
故答案为： ．
4．（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．
例如在解方程组 时，把①变形： ③，把③代入②中，求得 ，；利用整体代入思想，已知 ，则 ．
【答案】 17
【分析】①②将 代入 即可解答；②给 两边同乘以 得到
，再 减去 即可解答；
【详解】（1）解： 代入 式即可得到 ，进而得到 ，
故答案为 ；
（2）解： ，
② 得： ，
③ ②得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
5．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知 ，求 的值．
解：②-①得： ③
③ 得： ，
所以 的值为3．
【类比迁移】
（1）已知 求 的值；
（2）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，那么关于x、y的二元一次方程组
的解______．
【实际应用】
（3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同
学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
【答案】（1）18；（2） ，（3）450元．
【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，
寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键．
（1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值；
（2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可；
（3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为 元， 元， 元，根据题意列出方程组，求出按照原价1
本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要
的钱．
【详解】解：（1）依题意， ，
∴ 得： ，
∴ ；
（2）解： 关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
∴关于x、y的二元一次方程组 中， ，
解得： ，
（3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为 元， 元， 元，
根据题意得： ，
∴ 得 ，
∴ （元），
∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元．
题型四：换元法解二元一次方程组
1．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）解方程组： ．
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设 ， 进行换元构造新的方程组，求解后再求
原方程组的解．【详解】解：设 ， ，则原方程组变形为，
，
得， ，
解得 ，
将 代入 得， ，
解得 ，
，
解得 ，
原方程组的解为 ．
2．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组 ．
解：设 ， ，原方程组可变为
解方程组得：即 ， ，所以 ．这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组： ；
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组 的解为 ．直接写出关于m、n的方程组
的解为______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键．
（1）利用换元法解方程组即可；（2）设 ，进而得到 ，求解即可．
【详解】（1）解：设 ， ，
原方程可变为： ，
解方程组得 ，即 ，
解得： ；
（2）解：原方程化为 ，
设 则方程可化为 ，
则方程的解为 ，即 ，
解得： ．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索：
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ，原方程组可化为 解得 ，即 ，解得 ；
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，把方程①代入③得， ，则
；把 代入①得， ，所以方程组的解为： ；
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于 ， 的方程组： 的解；(2)若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组
的解．
(3)已知 、 、 ，满足 ，试求y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键．
（1）根据题意，设 ，运用“换元法”求解即可；
（2）把 代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到 ，由此即可求解；
（3）根据题意变形，即 ，代入求解即可．
【详解】（1）解：设 ，则原方程组变形得 ，
解得， ，
∴ ，
解得， ；
（2）解：关于 ， 的方程组 的解为 ，
∴ ，
∴ ，
解得， ；
（3）解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
解得， ．
4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索：
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ， ，原方程组可化为 ，
解得 ，即 ，解得 ．
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，
把方程①代入③得， ，则 ；
把 代入①得， ，所以方程组的解为： ．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于a，b的方程组： 的解；
(2)若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于m，n的方程组 的
解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组
成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原
方程的解．
（1）用换元法替换 和 ，解方程组即可；
（2）用换元法替换 和 ，根据已知条件解方程组即可；【详解】（1）解：∵ ，
设 ， ，
∴原方程可以化为 ，
用 得： ，解得 ，
把 代入到①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ，即 ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：∵ ，
设 ，
∴原方程化为： ，
∵关于x，y的方程组 的解为 ，
∴ ，
解得 ；
5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）数学方法：
在解方程组： 时，如果把方程组中的 ， 分别看作一个整体，设
， ，则原方程组可化为 ，解此方程组得 ，代入 ，，得 ，解此方程组得 ，所以原方程组的解为 ．
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的
方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考这种做法，解决下面的问题：
(1)类比探究：已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 、 的二元一次
方程组 的解为：
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
（1）利用换元法解方程即可；
（2）利用换元法解方程即可．
【详解】（1）解：设 ， ，则方程组化为： ，
由已知，得 ，
则有 ，
解得： ；
（2）设 ， ，
则原方程组可化为 ，
解得： ，
即有解得 ，
原方程组的解为 ；
另解，设 ， ，
则原方程组可化为 ，
解得 ，
即有 ，
解得 ，
原方程组的解为 ．
题型五：新定义型二元一次方程组
1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于 的二元一次方程 （其中 ），
将其 的系数 与常数 互换．得到的新方程 称为原方程 的“对称方程”．例如方程
的“对称方程”为 ．
(1)方程 的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____；
(2)若关于 的二元一次方程 与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ，求 ， 的值．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可；
（2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，方程 的“对称方程”为 ，解 ，得： ；
（2）由题意，可得方程组为： ，
∴ ，得： ，
∴ ，
∵方程组的解为 ，
∴ ，
把 ， ，代入①，得： ，解得： ，
∴ ．
2．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如 与 的两个关于x，y的方程互为
“共轭二元一次方程”，其中 ．由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”，k，b称
为“共轭系数”.
(1)方程 的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
(2)若关于x，y的二元一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系
数．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可；
（2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”．
本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：根据定义，得方程 的“共轭二元一次方程”为 ，
由题意，得 ，
解得 ，故答案为： ， ．
（2）解：由二元一次方程组 为“共轭方程组”，
得 ，
解得 ，
故 ，
故此“共轭方程组”的共轭系数为 ．
3．（24-25七年级下·广东广州·期末）定义：关于 ， 的二元一次方程 （其中 ）中的
常数项 与未知数 系数 互换，得到的方程叫“变更方程”，例如： “变更方程”为
．
(1)求方程 与它的“变更方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于 ， 的二元一次方程 的系数满足 ，且 与它的“变更方程”组
成的方程组的解恰好是关于 ， 的二元一次方程 的一个解，求代数式
的值；
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，
理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到 ，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：方程 的“变更方程”为 ，
② ①得，
将 代入①得，
解得：方程组的解为：
（2）解：∵ ，
∴ ，
方程 与它的“变更方程”组成的方程组为 ，解得 ，
∴把 代入 可得 ，即 ， ，
∴ ．
4．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题．
解方程组 时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易
出错，如果把方程组中的 和 分别看作一个整体，设 ， ，原方程组可化
为 ，解得 ，即 ，所以原方程组的解为 ，这种解方程组的方法叫做
整体换元法．
(1)已知关于 、 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 、 的二元一次方程组
的解为 ；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组 ；
(3)关于 、 的二元一次方程组 的解为 ，求关于 、 的方程组 的
解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键．（1）设 ， ，则原方程组可化为 ，根据 的解为 ，即
可求解；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，解得 ，即 ，即可求解；
（3）原方程组可化为 ，设 ， ，则原方程组可化为 ，根
据 的解为 ，得 ，即可求解．
【详解】（1）解：设 ， ，则原方程组可化为 ，
根据题意，得 ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
（2）解：设 ， ，则原方程组可化为 ，
解得 ，即 ，
解得 ．
（3）解：原方程组可化为 ，
设 ， ，则原方程组可化为 ，根据题意，得 ，即 ，
解得 ．
5．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题
给出定义：对于关于x，y的二元一次方程 （其中 ），若将其x的系数a与常数c互换，
得到的新方程 称为原方程 的“镜像方程”．例如方程 的“镜像方程”为
．
(1)写出 的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
(2)若关于x，y的二元一次方程 与其“镜像方程”组成的方程组的解为 ，求 的平方根；
(3)若关于x，y的二元一次方程 的系数满足 ，且与它的“镜像方程”组成的方程组的
解恰是关于x，y的二元一次方程 的一个解，请直接写出代数式
的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，
理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到 ，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：根据定义可得： 的“镜像方程” ．
则 ；由 得： 则： ，带入得 ；
∴
（2）由题意可知， 的镜像方程为 ，
联立方程组得 ，
∵方程组的解为 ，∴ ．
解得 ．
∴ ．
故 的平方根为 ．
（3） ，
．
与其镜像方程所组成的方程组为 ，
解得 ．
将 代入方程 中，得 ．
6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数 ， ，定义新运算： ， ，其
中 ， 是常数．例如， ， ．
已知 ， ，则根据定义可以得到： ．
(1) ________， ________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；
(4)若关于 ， 的方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组
的解为________．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）用加减消元法解方程组即可；
（2）由 ，得到 ，代入 ，求解即可；
（3）根据题意得出关于 的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可；
（4）把所求方程组写成 ，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解
答即可．
【详解】（1）解： ，
得 ，
，
把 代入②，得 ，
，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
，
∵ ，
，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，解得： ，
，
，
解得： ；
（4）解：由方程组 得： ，
∵ 的解为 ，
，
解得： ．
