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江苏省盐城市五校联考2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．所有梯形的对角线相等 B．
C．存在一个自然数小于0 D．
3．如果 ，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．“ ”是“ ”（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
6．学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13
人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有
人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有（ ）人.
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
8．已知正数 满足 .若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．二、多选题
9．（多选）若集合 ， ，则集合 或 （ ）
A． B．
C． D．
10．下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为 或
三、填空题
12．不等式 的解集为 .
13．若“ ”为假命题，则实数 的取值范围为 .
14．已知方程 的两根一个比 大另一个比 小，则实数 的范围是 .
四、解答题
15．已知全集 ，集合 ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．16．已知全集 ，若集合 ， ．
(1)若 ，求集合 及 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
17．已知正数 满足 .
(1)求证： ；
(2)求 的最小值；
(3)求 的最小值.
18．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为 ，体育馆高 ，如果甲工程队报价为：
馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价
为每平方米250元，设体育馆前墙长为 米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为 元 ，
若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
19．已知有限集 ，定义集合 且 ， 表示集合 中的元素个数．
(1)若 ，求集合 和 ，以及 的值；
(2)给定正整数 ，集合 ．对于实数集的非空有限子集 ，定义集合
．求证： ．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D C B A C BC BC
题号 11
答案 BD
1．A
先写出集合 ,然后逐项验证即可
【详解】由题知 ,对比选项知， 正确, 错误
故选:
2．D
根据各项的描述及相关数、式、形的概念和性质判断命题的真假.
【详解】不是所有梯形的对角线都相等，只有等腰梯形的对角线相等，A错误；
当 时， ，B错误；
所有的自然数均大于或等于0，C错误；
当 ， 时， ，D正确.
故选：D
3．C
利用赋值排除法及不等式的性质逐一分析即可判断.
【详解】取 ，
对于 ： ，故 错误；
对于 ： ，故 错误；
对于 ：因为 ，所以 ，故 正确；
对于 ： ，故 错误.
故选：C.
4．D
利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】若 ，则 或 ，不能推出 ，所以充分性不成立；
若 ，不一定有 成立，所以必要性不成立.
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
5．C
利用基本不等式的性质进行求解即可．
【详解】 ， ，且 ，
（1） ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号，
故 的最大值是： ，
故选： ．
6．B
设同时参加球类比赛和田径比赛的有 人，利用文氏图辅助解答.
【详解】不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有 人，
结合已知条件可知，只参加游泳比赛的有10人，只参加球类比赛的有 人，
只参加田径比赛的有 人，
故 ，解得 ，
从而只参加球类一项比赛的有8人.
故选：B
7．A
根据题意，分 和 两种情况讨论，即可求出 的取值范围．
【详解】当 时，不等式 化为 恒成立，当 时，不等式 不能恒成立，
当 时，要使不等式 恒成立，需 ，
解得 ，
综上所述，不等式 对任意 恒成立， 的取值范围是 ，
故选：A.
8．C
由基本不等式乘“1”法，求得 的最小值，进而可求解.
【详解】由题意知：不等式 恒成立，
即 ，
，
即： ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 即 时等号成立.
∴当 时， 取得最小值为8.
∴ 解得：
故选：C.
9．BC
根据选项分别求解，再判断.【详解】因为集合 ， ，所以 ， ，
或 ， 所以 或 ， .
故选 ：BC
10．BC
对于A，利用反例，可得其正误；对于BC，利用基本不等式，可得其正误；对于D，利用二次函数的性质，
可得其正误.
【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B，由 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C，由 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：BC.
11．BD
利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可.
【详解】 关于 的不等式 的解集为 或 ，
，故A错误；
对于B、C选项，已知 和3是关于 的方程 的两根，
由根与系数的关系得 ，
则 ， ，
不等式 ，即 ，又 ，解得 ，B正确；且 ，C错误；
对于D选项，不等式 ，即 ，即 ，
解得 或 ，
故不等式 的解集为 或 ，D正确.
故选：BD.
12．
直接解分式不等式即可.
【详解】由 可得 ，即 ，
解得 .
故答案为：
13．
根据题意，得到 为真命题，转化为 在 上恒成立，结合基本不等式，
即可求解.
【详解】因为“ ”为假命题，可得 为真命题，
即对于任意 恒成立，即 在 上恒成立，
当 时，可得 ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 取得最小值 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .14．
根据二次方程根的分布可得出关于实数 的不等式，即可解得实数 的取值范围.
【详解】因为方程 的两根一个比 大另一个比 小，
则 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
15．(1)
(2)
（1）根据补集、并集的定义求解即可；
（2）根据 推出 ，再求 的范围即可.
【详解】（1）因为集合 ，由 ，解得 ，
所以集合 ，
可得当 时，集合 ，
又因为全集 ，
所以 ，
又因为集合 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又因为集合 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 ．
16．(1) 或 ； 或
(2)
（1）将集合 化简，再由集合的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，分 与 讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由 可得 ，解得 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，
则 或 .
（2）当 时， ，即 ，
此时满足 ；
当 时，要使 ，
则 ，解得 ；
综上所述，实数 的取值范围 .
17．(1)证明见解析
(2)24
(3)50
（1）根据基本不等式 “1”的巧用求解最值即可；
（2）由 可得 ，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可；（3）由 ，可得 ，又 ，从而将所求最值转化为 即
可得最值.
【详解】（1）因为正数 满足 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ；
（2）由 可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为24；
（3）因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
又 ，所以 ，
则 的最小值为50.
18．(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功【详解】（1）因为体育馆前墙长为 米，地面面积为 ，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为 米 ，
设甲工程队报价为 元，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
故当 时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
19．(1) ， ，
(2)证明见解析
【详解】（1）根据定义直接得 ， ，
则 ，所以 .（2） 表示集合 中的元素个数，则 ，
若 中至少含有一个不在S中的元素，
则 ，即 .
若 ，且 ，则 ，
此时A中最小的元素 ，B中最小的元素 ，
所以C中最小的元素 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 .
