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专题 02 二元一次方程组的特殊解法五类热点题型
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题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘..........................................................................................1
题型二：不解二元一次方程组求代数式的值..........................................................................................................5
题型三：整体代入法解二元一次方程组..................................................................................................................7
题型四：换元法解二元一次方程组........................................................................................................................11
题型五：新定义型二元一次方程组........................................................................................................................18
题型一：解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘
1．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：
2．（20-21七年级下·广西贵港·期中）解下列二元一次方程组：
(1)
(2)
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组：
(1)
(2)
4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组
(1)
(2)
5．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程组：(1)
(2)
题型二：不解二元一次方程组求代数式的值
1．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若方程组 的解中 ，则k等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
2．（20-21七年级下·浙江·期末）已知方程组 ，则 的值为 ．
3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知 ，则代数式
4．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）代数式求值：已知实数 满足方程组 ，求
的值．
5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知关于 ， 的方程组 的解满足 ，求代
数式 的值．
题型三：整体代入法解二元一次方程组
1．（24-25七年级下·山东威海·期中）对于二元一次方程组 ，下列变形不正确的是（ ）
A．由①变形后代入②，得
B．把①×2整体代入②得：
C．由 得：
D．由 得：
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组．
材料：解方程组
由①得， ③
把③代入②，得 ，解得 ，把 代入③得 ，所以这个方程组的解为 ．
这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程
组： ．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）利用整体代换思想变式解方程组 ，我们可以
把 看成一个整体，设 ，很快可以求出原方程组的解为 ．
4．（22-23七年级下·河北唐山·期中）整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．
例如在解方程组 时，把①变形： ③，把③代入②中，求得 ，
；利用整体代入思想，已知 ，则 ．
5．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知 ，求 的值．
解：②-①得： ③
③ 得： ，
所以 的值为3．
【类比迁移】
（1）已知 求 的值；
（2）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，那么关于x、y的二元一次方程组
的解______．
【实际应用】
（3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2
支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同
学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
题型四：换元法解二元一次方程组1．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）解方程组： ．
2．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组 ．
解：设 ， ，原方程组可变为
解方程组得：即 ， ，所以 ．这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组： ；
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组 的解为 ．直接写出关于m、n的方程组
的解为______．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索：
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ，原方程组可化为 解得 ，即 ，解得 ；
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，把方程①代入③得， ，则
；把 代入①得， ，所以方程组的解为： ；
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于 ， 的方程组： 的解；
(2)若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组的解．
(3)已知 、 、 ，满足 ，试求y的值．
4．（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索：
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ， ，原方程组可化为 ，
解得 ，即 ，解得 ．
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，
把方程①代入③得， ，则 ；
把 代入①得， ，所以方程组的解为： ．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于a，b的方程组： 的解；
(2)若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于m，n的方程组 的
解．
5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）数学方法：
在解方程组： 时，如果把方程组中的 ， 分别看作一个整体，设
， ，则原方程组可化为 ，解此方程组得 ，代入 ，
，得 ，解此方程组得 ，所以原方程组的解为 ．
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的
方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考这种做法，解决下面的问题：
(1)类比探究：已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 、 的二元一次方程组 的解为：
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
题型五：新定义型二元一次方程组
1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于 的二元一次方程 （其中 ），
将其 的系数 与常数 互换．得到的新方程 称为原方程 的“对称方程”．例如方程
的“对称方程”为 ．
(1)方程 的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____；
(2)若关于 的二元一次方程 与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ，求 ， 的值．
2．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）规定；形如 与 的两个关于x，y的方程互为
“共轭二元一次方程”，其中 ．由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”，k，b称
为“共轭系数”.
(1)方程 的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____．
(2)若关于x，y的二元一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系
数．
3．（24-25七年级下·广东广州·期末）定义：关于 ， 的二元一次方程 （其中 ）中的
常数项 与未知数 系数 互换，得到的方程叫“变更方程”，例如： “变更方程”为
．
(1)求方程 与它的“变更方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于 ， 的二元一次方程 的系数满足 ，且 与它的“变更方程”组
成的方程组的解恰好是关于 ， 的二元一次方程 的一个解，求代数式
的值；
4．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）阅读材料，回答问题．
解方程组 时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易
出错，如果把方程组中的 和 分别看作一个整体，设 ， ，原方程组可化为 ，解得 ，即 ，所以原方程组的解为 ，这种解方程组的方法叫做
整体换元法．
(1)已知关于 、 的二元一次方程组 的解为 ，那么关于 、 的二元一次方程组
的解为 ；
(2)用材料中的方法解二元一次方程组 ；
(3)关于 、 的二元一次方程组 的解为 ，求关于 、 的方程组 的
解．
5．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题
给出定义：对于关于x，y的二元一次方程 （其中 ），若将其x的系数a与常数c互换，
得到的新方程 称为原方程 的“镜像方程”．例如方程 的“镜像方程”为
．
(1)写出 的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______；
(2)若关于x，y的二元一次方程 与其“镜像方程”组成的方程组的解为 ，求 的平方根；
(3)若关于x，y的二元一次方程 的系数满足 ，且与它的“镜像方程”组成的方程组的
解恰是关于x，y的二元一次方程 的一个解，请直接写出代数式
的值．
6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数 ， ，定义新运算： ， ，其
中 ， 是常数．例如， ， ．
已知 ， ，则根据定义可以得到： ．
(1) ________， ________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；
(4)若关于 ， 的方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组的解为________．
