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专题 02 三角形证明之直角三角形
题型一 直角三角形的性质与判定
1．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是
A．三内角之比为 B．三边之比为
C．三边长分别为41，40，9 D．三边长分别为7，24，25
【解答】解： 、根据三角形内角和公式，求得各角分别为 ， ， ，所以此三角形不是直角三角
形；
、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
、 ，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
、 ，三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形．
故选： ．
2．如图， 中， ， ， 的平分线 交 于点 ， 平分 ．给
出下列结论：① ； ② ； ③ ；④ ．正确结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ， ，
，
，
，故①正确；
是 的平分线，
，
，，
，
又 （对顶角相等），
，故②正确；
，
只有 时 ，故③错误；
，
，
平分 ，
，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④．
故选： ．
3．在 中， ，点 为 中点． ， 绕点 旋转， ， 分别与
边 ， 交 于 ， 两 点 ． 下 列 结 论 ： ① ， ② ， ③
，④ 始终为等腰直角三角形．其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
【解答】解：连接 ，如图，
，点 为 中点． ，
， ， ，
，即 ，
而 ，
，
在 和 中，
，，
， ，
，故①正确；
，
始终为等腰直角三角形，故④正确；
，
，
，故③正确；
， ，
，
，
，故②正确．
故选： ．
4．一个三角形三边长分别为3，4， ，若此三角形是直角三角形，那么 的值为 5 或 ．
【解答】解：（1）若4是直角边，则第三边 是斜边，由勾股定理，得
，所以 ；
（2）若4是斜边，则第三边 为直角边，由勾股定理，得
，所以 ；
所以第三边的长为5或 ．
故答案为：5或 ．5．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点
落在点 处．当 为直角三角形时， 的长为 或 3 ．
【解答】解：当 为直角三角形时，有两种情况：
①当点 落在矩形内部时，如答图1所示．
连接 ，
在 中， ， ，
，
沿 折叠，使点 落在点 处，
，
当 为直角三角形时，只能得到 ，
点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，
， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
，解得 ，；
②当点 落在 边上时，如答图2所示．
此时 为正方形， ．
综上所述， 的长为 或3．
故答案为： 或3．
6．如图， 中， ， 于点 ， 于点 ， ， 与 交于点 ，
连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【解答】（1）证明： ， ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，，
；
（2）解： ，
，
在 中， ，
， ，
，
．
题型二 直角三角形全等的判定
7．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等
【解答】解： 、斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
、一直角边及斜边分别相等，可利用 定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选： ．
8．如图， 、 ，垂足分别为 、 ， ， ， ，点 为 边上一动
点，当 2 时，形成的 与 全等．【解答】解：当 时， ，
， ，
，
、 ，
，
在 和 中 ，
，
故答案为：2．
9．下列说法正确的有 3 个．
（1）两条边对应相等的两个直角三角形全等．
（2）有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．
（3）一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等．
（4）面积相等的两个直角三角形全等．
【解答】解：
（1）当这两条边都是直角边时，结合直角相等，则可用 可判定两个三角形全等，当这两条边一条是
斜边一条是直角边时，可用 判定这两个直角三角形全等，故（1）正确；
（2）有一锐角和斜边对应相等时，结合直角，可用 来判定这两个直角三角形全等，故（2）正确；
（3）当一条直角边和一个锐角对应相等时，结合直角，可用 或 来证明这两个直角三角形全等，
故（3）正确；
（4）当两个三角形面积相等时，这两个直角三角形不一定会等，故（4）不正确；
综上可知正确的有3个，
故答案为：3．
10．如图， ， ， ， ，点 和点 从 点出发，分别在线段 和射线上运动，且 ，当点 运动到 5 或 1 0 ， 与 全等．
【解答】解： ，
，
，
分两种情况：
①当 时，
在 和 中， ，
；
②当 时，
在 和 中， ，
；
综上所述：当点 运动到 或10时， 与 全等；
故答案为：5或10．
11．已知：如图（1）四边形 和四边形 为正方形， 、 、 在同一直线．
（1）试判断 、 的位置关系，请直接写出结论： ；
（2）若正方形 绕 点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，
若不成立？请说明理由．
（3）在图（2）中，若正方形 的边长为6，正方形 边长为3，连接 ， 求 的
值．【解答】（1）解：延长 与 交于点 ，
四边形 、四边形 都是正方形，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
（2）仍成立．
证明： 四边形 、四边形 都是正方形
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，又 ， ，
，
，
．
（3） ，
，
又 ， ，
， ，
，
．
12．这是一道我们曾经探究过的问题：如图 1．等腰直角三角形 中， ， ．直线
经过点 ，过 作 于点 ，过 作 于点 ．易证得 ．（无需证明），
我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“ 形图”．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型应用】
（1）直线 与 轴负半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点．分别以 、 为边，点 为
直角顶点在第一、二象限内作等腰直角 和等腰直角 ，连 交 轴于 点，如图2， 的
面积是否确定？若确定，请求出具体的值；若不确定，请说明理由．（2）如图3，直线 分别与 、 轴交于 、 两点， 为 点右侧 轴上的一动点，
以 为直角顶点， 为腰在第一象限内作等腰直角 ，连接 并延长交 轴于点 ，当 点运动
时，求经过 点且平行于直线 的直线的函数表达式．
【拓展延伸】
（3）已知直线 与坐标轴交于点 、 ．将直线 绕点 逆时针旋转 至直线 ．如图4，
直线 在 轴上方的图象上是否存在一点 ，使得 的面积与 的面积相等？若存在，求出 的
坐标；不存在，说明理由．
【解答】解：（1）直线 与 轴负半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点．
， ，
过 点作 轴，由“ 形图”可得 ，
， ，是等腰直角三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
故， 的面积是确定的，值为 ．
（2）由直线 分别与 、 轴交于 、 两点，可得 ， ，过 点作
轴，设点 ，由“ 形图”，可得 ；
， ，
，即，即
过 点且平行于直线 的直线的函数表达式为 ．
（3）过 点作 交 于点 ，过 点作 轴，
直线 与坐标轴交于点 、 ．
由“ 形图”，得 ，
， ，
的坐标为
故过 两点的直线 的解析式为： ，
设 点坐标为 ，
的面积为 ，
的面积为 ，
依题意得：
解得 ，
点为
故直线 在 轴上方的图象上存在一点 点为 ，使得 的面积与 的面积相等题型三 直角三角形中的特殊角度（30°，45°）的应用
13．如图， ，且 平分 ， 于点 ，点 是射线 上的一个动点，若
，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：当 时， 的值最小，
平分 ， ， ，
，
故选： ．
14．已知等腰 中， ，且 ，则等腰 的顶角度数为 或 或 ．
【解答】解：如图1中，当 时，
， ，
，
，
如图2中，当 ，， ，
，
，
，
如图3中，当 ，
， ，
，
，
，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
15．如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若 ，
则
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过 作 ，交 于点 ，在 中， ， ，
，
， ， ，
，
．
故选： ．
16．如图，在 中， ， ， ，点 在 上，将 沿直线 翻折后，
点 落在点 处，如果 ，那么 的面积是 1 ．
【解答】解： ， ， ，
，
，
沿直线 翻折后，点 落在点 处，
， ， ，
，
，
，在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
．
故答案为：1．
17．如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上方一点，连接 ，点
是 的中点， 垂直平分 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，当 为直角三角形时，
线段 的长为 6 或 ．
【解答】解：如图1中，当 时，
在 中， ， ， ，
， ，， ，
，
，
，
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
， ，
，
．
如图 2 中，当 时，连接 ， 交于点 ，过点 作 于 ．设 ，则
， ．
， ，
垂直平分线段 ，
，
， ，
，
，
，
， ，，
，
，
，
解得 ，
，
，
解法二：过点 作 交 的延长线于 ．
设 ，则 ， ，
在 中，则有 ，
解得 ，
，
综上所述，满足条件的 的值为6或 ．
故答案为6或 ．
18．如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值
为 3 ．【解答】解：作 ，过 作 交 于 ，
在 中， ，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
在 中， ，
， ，
，
在 中， ，
，
最小值为 ，
的最小值为3．
故答案为：3．
19．如图（将一个有 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另
一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 角，如图，则三角板的最大边的长为A． B． C． D．
【解答】解：给各点标上字母，过点 作 于点 ，如图所示．
在 中， ， ， ，
．
为等腰直角三角形，
．
故选： ．
20．如图， ， ， ，若 ，则 的长为 2 ．
【解答】解：过 作 ，交 与点 ，
， ， ，
，
，
，
又 ，
，
又 为 的外角，
，
在直角三角形 中， ， ，
，
则 ．故答案为：2．
21．如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ， ，
， ．
（1）求 的长：
（2）求四边形 的面积．
【解答】解：（1）过点 作 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
又 ， ，
；
（2） 在 中， ，
，
，
， ， ，
，
，．
22．如图：在等腰直角三角形中， ，点 是斜边 上的中点，点 、 分别为 ， 上的
点，且 ．
（1）若设 ， ，满足 ，求 及 的长．
（2）求证： ．
（3）在（1）的条件下，求 的面积．
【解答】（1）解：由题意得 ，
解得 ，
则 ，
所以 ， ，
， ，
即 ， ；
（2）证明：延长 到 ，使 ，连接 ， ，
在 和 中，，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，即 ，
在 中，根据勾股定理得： ，
， ，
；
（3）解：连接 ，
为等腰直角三角形， 为 的中点，
， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，， ，即 为等腰直角三角形，
，
，
在 中，根据勾股定理得： ，
设 ，
根据勾股定理得： ，
解得： ，即 ，
则 ．
题型四 斜边上的中线等于斜边一半的应用
23．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：
【解答】解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图， 中， 是 边的中点，且
求证： 是直角三角形
证明： 是 边的中点，且 ，，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
是直角三角形．
24．在 中， 边上的中线 ， ， ，则 的面积为 7 ．
【解答】解：如图，在 中， 是 边上的中线，
， ，
，
，
， ，
，
，
是直角三角形，
，
又 ，
，
，又 ，
．
25．已知锐角 中， ， 分别是 ， 边上的高， 是线段 的中点，连接 ， ．
（1）若 ， ，求 的周长；
（2）若 ，求证： ；
（3）若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， 分别是 ， 边上的高，
，
是线段 的中点， ，
， ，
的周长是 ；
（2）证明： ，
，
， 是线段 的中点，
， ，
， ，
，
；
（3）解：过 作 于 ，，
， ，
， ， ，
，
，
由勾股定理得： ，
即 ，
，
同理 ，
，
，
， ，
，
．
26．在 中， ， ，点 是 的中点， ，垂足为点 ，连接 ．
（1）如图1， 与 的数量关系是 ；
（2）如图2，若 是线段 上一动点（点 不与点 、 重合），连接 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，得到线段 ，连接 ，请猜想 、 、 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点 是线段 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出 、、 三者之间的数量关系．
【解答】解：（1） ， ，
，
点 是 的中点，
，
为等边三角形，
，
；
故答案为 ．
（2） ．理由如下：
线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
， ，
而 ，
，
，
在 和 中
，，
，
而 ，
，
，
，
；
（3）如图，
与（2）一样可证明 ，
，
而 ，
，
．
