文档内容
专题 02 三角形证明之直角三角形
题型一 直角三角形的性质与判定
1．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是
A．三内角之比为 B．三边之比为
C．三边长分别为41，40，9 D．三边长分别为7，24，25
2．如图， 中， ， ， 的平分线 交 于点 ， 平分 ．给
出下列结论：① ； ② ； ③ ；④ ．正确结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在 中， ，点 为 中点． ， 绕点 旋转， ， 分别与
边 ， 交 于 ， 两 点 ． 下 列 结 论 ： ① ， ② ， ③
，④ 始终为等腰直角三角形．其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
4．一个三角形三边长分别为3，4， ，若此三角形是直角三角形，那么 的值为 ．
5．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点
落在点 处．当 为直角三角形时， 的长为 ．6．如图， 中， ， 于点 ， 于点 ， ， 与 交于点 ，
连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
题型二 直角三角形全等的判定
7．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是
A．斜边相等 B．面积相等
C．两对锐角对应相等 D．一直角边及斜边分别相等
8．如图， 、 ，垂足分别为 、 ， ， ， ，点 为 边上一动
点，当 时，形成的 与 全等．
9．下列说法正确的有 个．（1）两条边对应相等的两个直角三角形全等．
（2）有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等．
（3）一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等．
（4）面积相等的两个直角三角形全等．
10．如图， ， ， ， ，点 和点 从 点出发，分别在线段 和射线
上运动，且 ，当点 运动到 ， 与 全等．
11．已知：如图（1）四边形 和四边形 为正方形， 、 、 在同一直线．
（1）试判断 、 的位置关系，请直接写出结论： ；
（2）若正方形 绕 点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，
若不成立？请说明理由．
（3）在图（2）中，若正方形 的边长为6，正方形 边长为3，连接 ， 求 的
值．12．这是一道我们曾经探究过的问题：如图 1．等腰直角三角形 中， ， ．直线
经过点 ，过 作 于点 ，过 作 于点 ．易证得 ．（无需证明），
我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“ 形图”．接下来，我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型应用】
（1）直线 与 轴负半轴、 轴正半轴分别交于 、 两点．分别以 、 为边，点 为
直角顶点在第一、二象限内作等腰直角 和等腰直角 ，连 交 轴于 点，如图2， 的
面积是否确定？若确定，请求出具体的值；若不确定，请说明理由．
（2）如图3，直线 分别与 、 轴交于 、 两点， 为 点右侧 轴上的一动点，
以 为直角顶点， 为腰在第一象限内作等腰直角 ，连接 并延长交 轴于点 ，当 点运动
时，求经过 点且平行于直线 的直线的函数表达式．
【拓展延伸】
（3）已知直线 与坐标轴交于点 、 ．将直线 绕点 逆时针旋转 至直线 ．如图4，
直线 在 轴上方的图象上是否存在一点 ，使得 的面积与 的面积相等？若存在，求出 的
坐标；不存在，说明理由．题型三 直角三角形中的特殊角度（30°，45°）的应用
13．如图， ，且 平分 ， 于点 ，点 是射线 上的一个动点，若
，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
14．已知等腰 中， ，且 ，则等腰 的顶角度数为 ．
15．如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ， 在边 上， ，若 ，
则
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，在 中， ， ， ，点 在 上，将 沿直线 翻折后，
点 落在点 处，如果 ，那么 的面积是 ．17．如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上方一点，连接 ，点
是 的中点， 垂直平分 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，当 为直角三角形时，
线段 的长为 ．
18．如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值
为 ．
19．如图（将一个有 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另
一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 角，如图，则三角板的最大边的长为
A． B． C． D．
20．如图， ， ， ，若 ，则 的长为 ．21．如图，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ， ，
， ．
（1）求 的长：
（2）求四边形 的面积．
22．如图：在等腰直角三角形中， ，点 是斜边 上的中点，点 、 分别为 ， 上的
点，且 ．
（1）若设 ， ，满足 ，求 及 的长．
（2）求证： ．
（3）在（1）的条件下，求 的面积．
题型四 斜边上的中线等于斜边一半的应用
23．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：24．在 中， 边上的中线 ， ， ，则 的面积为 ．
25．已知锐角 中， ， 分别是 ， 边上的高， 是线段 的中点，连接 ， ．
（1）若 ， ，求 的周长；
（2）若 ，求证： ；
（3）若 ，求 的度数．
26．在 中， ， ，点 是 的中点， ，垂足为点 ，连接 ．
（1）如图1， 与 的数量关系是 ；
（2）如图2，若 是线段 上一动点（点 不与点 、 重合），连接 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，得到线段 ，连接 ，请猜想 、 、 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点 是线段 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出 、
、 三者之间的数量关系．
