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专题 02 利用勾股定理解决折叠问题的六种模型
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题型一：长方形中折痕过对角线模型......................................................................................................................1
题型二：长方形中折痕过一顶点模型......................................................................................................................4
题型三：长方形中折痕过任意两点模型................................................................................................................11
题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型.........................................................18
题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型........................................................................................23
题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型.........................................................26
题型一：长方形中折痕过对角线模型
例题：如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若 ，求 的长．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明
，则 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线 折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得 ，∴ ．
【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
【变式训练】
1．如图，在长方形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，
，则 （ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF= -EF，在Rt 中，由勾股定理得： ，由
此即可求得EF值．
【详解】解：∵ ， ，∴AD= ， ，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED= ， ， ，
∵ ，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF= -EF，
∴在Rt 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得：EF= ，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
2．如图，在长方形纸片ABCD中，AB 8cm，AD6cm. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B落在点
E处，AE交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）25 15 13
A． cm B． cm C． D． cm
4 2 7cm 2
【答案】A
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-
x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm
25
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， x2 (8x)2 62 x
4
cm 故选择A.
【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
3．如图，长方形 中， ， ， ．点 为 上的
一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
【答案】(1)45
(2)
【分析】（1）由 知 ，结合 点落在 边上知 ，从而得
出答案；
（2）由折叠得出 ，再由 得出 ，从而得知 ，可得
，设 ，则 ，在 中，由 得到关于 的方程，解
之可得．
【详解】（1）解：由题意知 ，
，
点落在 边上时， ，
，
故答案为：45；
（2）如图2，由题意知 ，
四边形 是长方形，，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由 得：
，
解得 ，即 ．
【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的
性质，和勾股定理是解决问题的关键．
题型二：长方形中折痕过一顶点模型
例题：如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与对角线 重合，点B落在点F处，
折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到 ，进而得到 ，利用勾股定理进行求解
即可；
（2）根据折叠的性质，得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片 中， ，折叠纸片使 边与对角线 重合，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵折叠，
∴ ，设 ，则： ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
【变式训练】
1．如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折痕为 ，且D点落在对角线上 处，
若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先
利用勾股定理计算出 的长，再根据折叠可得 ，设 ，则
，再根据勾股定理可得方程 ，再解方程即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴根据勾股定理得 ，根据折叠可得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中： ，即 ，
解得： ，
故答案为：B．
2．如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该纸片使得 边与对角线 重合，
折痕为 ，点 落在 处，求 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ， ， ，求出
，然后在 中，利用勾股定理构建方程，即可求出 ．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠得： ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
3．如图，在长方形 中， ， ， ，沿边 所在直线翻折 ， 与 重
合，点F在 上，则 的长是 ．【答案】 /
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接 ．证明 垂直平分 得 ．
在 中，由勾股定理求出 ，然后根据 求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵四边形 是长方形，
∴ ．
根据题意， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．4．如图，长方形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与
相交于点 ， 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．
（1）根据折叠的性质可得 ， ， ，结合 ，可证明
，得到 ， ；
（2）推出 ，设 ，则 ， ，推出 ，在 中，
根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： 四边形 是长方形，
， ， ，
将 沿 翻折至 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，
，
在 和 中，
，
，
， ；
（2）解：∵ ，
，
即 ，
，
设 ，则 ， ，
， ，
在 中，根据勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
．
5．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
的第①②步骤是：
①先裁下了一张长 ，宽 的长方形纸片 ；
②将纸片沿着直线 折叠，点D恰好落在 边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求 ， 的长．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
由折叠的性质可知 ， ， ，由勾股定理得 ，则 ，设
，由勾股定理得，即 ，计算求解然后作答即可．
【详解】解：∵长方形 ，
∴ ， ，
由折叠的性质可知， ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ．
6．在四边形 中， ．(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
【答案】(1)5
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可
求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．
在 中， ．
则 ．
在 中， ，
即 ．
解得 ．
即 ；
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．
设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．在 中
．
则 ．
在 中
，即
解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
题型三：长方形中折痕过任意两点模型
例题：如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸片折叠，使点 与点 重合，点
落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知 ，设 利用勾股定
理进行分析计算即可．
【详解】解：由折叠可知 ，
设
由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
，
故选：B．
【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
【变式训练】
1．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则
的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
根据折叠的性质可证 ，得 ，设 ，则
，在 中运用勾股定理得到 ，由此列式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∵折叠，点 与点 重合，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故选：D ．
2．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折叠，使点D与点B重合，则 的长
度为 ．
【答案】【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到 ，设 ，利用勾股定理进行求解即可，掌
握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵将此长方形沿 折叠，使点D与点B重合，
∴ ，
设 ，
∵在长方形 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．如图，将边长为8的正方形纸片 折叠，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，点 ，
的对应点分别为 ， ，当点 为 三等分点时， 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接
，过点N作 于H，由折叠的性质可知： ， ，
， ， ，当点E是 靠近点D的三等分点时，可得 ， ，利
用勾股定理可求得 ， ， ，再利用勾股定理即可求得
的长；同理可求得，当点E为 靠近点C的三等分点时， 的长即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点N作 于H，则 ， ，
由折叠的性质可知： ， ， ， ， ，
当点E是 靠近点D的三等分点时，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
，即 ，
解得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，由勾股定理得： ，
，
解得 ，
，
，
；
当E为 靠近点C的三等分点时，如图，同理， ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
4．如图，长方形 中 ，边 ， ．将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，
点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得 ，通过 即可证明 ，可得结论；
（2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明： 四边形 是长方形，
， ，
将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，
， ， ，
， ，
，
，
在 和 中，，
，
；
（2）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ，
，
，
的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾
股定理列方程是解题的关键．
5．如图，把一张长方形纸片 折叠起来，使其对角顶点 与点 重合，点 与点 重合，若
，求：
(1)求 的长；
(2)求阴影部分 的面积．
【答案】(1)
(2)阴影部分 的面积为
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用：
（1）由折叠可知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，求出
的长；过 点作 于 ，在 中，由勾股定理 的长，在 中，由勾股定理即可
得出答案；
（2）过 点作 于 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根据
三角形面积求出结果即可．【详解】（1）解：由折叠可知 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
；
过 点作 于 ，则 ，
在 中，
，由勾股定理： ，即 ，
．
，
，
，
；
（2）解：过 点作 于 ，
，
， ，
，
，
．
题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
例题：如图，有一块 的纸片， ， ， ，将 沿 折叠，使点 落在
上的 处，连接 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得 的长. 由题意可得 ，
，由勾股定理即可求得 的长，则可得 的长，然后设 ，则
，由勾股定理 ，即可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解： 点 是沿 折叠，点 的对应点，连接 ，
， ，
在 中， ， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
．
故选：A．
【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
【变式训练】
1．如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使得点B恰
好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出 ，设 ，根据折叠前后对应边
相等得出 ， ，再用勾股定理解 即可．
【详解】解： ， ， ，
，
设 ，则 ，
由折叠的性质可得 ， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
，
故选B．
2．如图，在 中， ， ， ，按图中所示方法将 沿 折叠，使
点 落在边 的 点．
(1)求 的长度；
(2)求 的面积．
【答案】(1)3(2)15
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）由勾股定理得 ，设 ，由折叠的性质得 ，从而可得 ，
，再由勾股定理得 ，代入数值并求解即可；
（2）由三角形面积公式得 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
设 ，由折叠可得， ， ， ，
∴ ， ， ，
在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
故 的长度为3 ；
（2）解：结合（1），可知 ， ， ，
∴ ，
故 的面积为15 ．
3．如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1） ，（2） ， 理由见解析．【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．
（1）先求出 ，由由翻折的性质可得 ， ，再进一步得到 即可求解．
（2）过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ，得到
，进一步即可得到 ．
【详解】（1）解：在 中，
，
由翻折的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） ， 理由如下：
过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，如图：
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
例题：如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重
合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出
，再根据勾股定理求出 的值．
【详解】解：设 ，则 ，
是 翻折而成，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：C．
【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
【变式训练】
1．如图，在 中， ， ， ．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两
点重合，折痕为 ．求 的长．【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在 中由于 ， ， ，
所以根据勾股定理可求出 的长，由折叠可知， ，设 ，则 在
中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
【详解】解：在 中由于 ， ， ，
由勾股定理得： ，
∵由折叠可知， ，
设 ，则 ．
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ．
2．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ，将 折叠，使点B与点A重合，
折痕为 ．
(1)求 的周长．
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题
【分析】（1）由翻折易得 ，则 的周长 ；
（2）由翻折易得 ，利用直角三角形 ，勾股定理即可求得 长．
本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将 折叠，使点B与点A重合，折痕为 ，∴ ，
则 的周长 ；
（2）解：由题意得 ；
设 ，则 ，
，
在 中，根据勾股定理得： ，
即 ，
解得 ；
即 ．
3．如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得 ，由折叠可知 ， ， ，设 ，
则 ， ，在 中，根据 ，列出方程即可求解；
（2）由折叠知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，列出
方程即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
．
由题意知 ， ， ．
．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
．解得 ．
．
（2）由题意知 ，
设 ，则 ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．
【答案】 的长度为 或3
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出 的三边的长度，然后利
用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设 ，则 ，再根据翻折
的性质可得 ，然后分两种情况求出 ，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
沿直线 折叠B落在 处，
，
点 为 的三等分点， ，
或 ，
当 时，在 中，
，即 ，
解得： ；
当 时，在 中，，即 ，
解得： ，
综上所述， 的长度为 或3．
【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
【变式训练】
1．如图，在 中， ，D、E分别是斜边 和直角边 上的点．把
沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．若点 落在直角边 的中点上，则 的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】根据题意，得 ， ，则 ，
根据勾股定理，得 ，解答即可．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．且点 落
在直角边 的中点上，
∴ ， ，
则 ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，则 ，
故选：D．
2．如图，在 中， ， ， ，将它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点
处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ，
则 ，再勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解： 点 为 的中点，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
，
故选：D．
3．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点， 是 上一点，连接 、
．将 沿 翻折，点 落在 上的点 处，则 的长是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 的长，折叠得到 ，
，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，D是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 翻折，点C落在 上的点F处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ；
∴ ；
故选：A．
4．如图，已知 为等腰直角三角形， ，点E为 上一点，且 ，点D为边 上一
点，连接 ，将 沿 折叠得到 ，若 的延长线恰好经过点B，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设 ，由折叠得，
， ，由勾股定理求出 在 中，由勾股定理，求出 的值即可．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，在 中，
∴ ，
∴ ，
设 ，
由折叠得， ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
5．在 中， ， ， ， 分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿
着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键．
（1）由折叠可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理进行计算即可得出答案；
（2）由题意得 ，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，再由勾
股定理计算即可得解．
【详解】（1）解：若点 和顶点 重合，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
；
（2）解： 点 落在直角边 的中点上，
，
由折叠的性质可得： ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
解得： ，
∴ ．
