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专题 02 利用勾股定理解决折叠问题的六种模型
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题型一：长方形中折痕过对角线模型......................................................................................................................1
题型二：长方形中折痕过一顶点模型......................................................................................................................4
题型三：长方形中折痕过任意两点模型................................................................................................................11
题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型.........................................................18
题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型........................................................................................23
题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型.........................................................26
题型一：长方形中折痕过对角线模型
例题：如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若 ，求 的长．
【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
【变式训练】
1．如图，在长方形ABCD中， ，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，
，则 （ ）A． B．3 C． D．6
2．如图，在长方形纸片ABCD中，AB 8cm，AD6cm. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B落在点
E处，AE交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
25 15 13
A． cm B． cm C． D． cm
4 2 7cm 2
3．如图，长方形 中， ， ， ．点 为 上的
一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
题型二：长方形中折痕过一顶点模型
例题：如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与对角线 重合，点B落在点F处，
折痕为 ，且 ．
(1)求 的长；(2)求 的长．
【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
【变式训练】
1．如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折痕为 ，且D点落在对角线上 处，
若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
2．如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该纸片使得 边与对角线 重合，
折痕为 ，点 落在 处，求 ．
3．如图，在长方形 中， ， ， ，沿边 所在直线翻折 ， 与 重
合，点F在 上，则 的长是 ．4．如图，长方形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与
相交于点 ， 与 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
5．八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
的第①②步骤是：
①先裁下了一张长 ，宽 的长方形纸片 ；
②将纸片沿着直线 折叠，点D恰好落在 边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求 ， 的长．
6．在四边形 中， ．
(1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时，
求 的长；
(2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求的长．
题型三：长方形中折痕过任意两点模型
例题：如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸片折叠，使点 与点 重合，点
落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
【变式训练】
1．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则
的长为（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折叠，使点D与点B重合，则 的长
度为 ．3．如图，将边长为8的正方形纸片 折叠，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，点 ，
的对应点分别为 ， ，当点 为 三等分点时， 的长为 ．
4．如图，长方形 中 ，边 ， ．将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，
点 落在点 处．
(1)证明 ；
(2)求 的面积．
5．如图，把一张长方形纸片 折叠起来，使其对角顶点 与点 重合，点 与点 重合，若
，求：
(1)求 的长；
(2)求阴影部分 的面积．
题型四：直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型例题：如图，有一块 的纸片， ， ， ，将 沿 折叠，使点 落在
上的 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
【变式训练】
1．如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使得点B恰
好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ， ，按图中所示方法将 沿 折叠，使
点 落在边 的 点．
(1)求 的长度；(2)求 的面积．
3．如图、 为一块直角三角形纸片， ．
【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而
通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若
，求 的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则
之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
题型五：直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
例题：如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重
合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
【变式训练】1．如图，在 中， ， ， ．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两
点重合，折痕为 ．求 的长．
2．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ，将 折叠，使点B与点A重合，
折痕为 ．
(1)求 的周长．
(2)求 的长．
3．如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
题型六：直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点
处，求 的长．
【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；【变式训练】
1．如图，在 中， ，D、E分别是斜边 和直角边 上的点．把
沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．若点 落在直角边 的中点上，则 的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
2．如图，在 中， ， ， ，将它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点
处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．如图，在 中， ， ， ， 是 的中点， 是 上一点，连接 、
．将 沿 翻折，点 落在 上的点 处，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知 为等腰直角三角形， ，点E为 上一点，且 ，点D为边 上一
点，连接 ，将 沿 折叠得到 ，若 的延长线恰好经过点B，则 ．5．在 中， ， ， ， 分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿
着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ．
(1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长；
(2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长．
