文档内容
专题 02 利用三角函数解决实际问题
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题 考点二 利用三角函数解决方位角问题
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题 考点四 利用三角函数测高问题
考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题
1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向
前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高 米，已知
，E、F、G在一条直线上，求树高 是多少？（结果保留根号）
【答案】树的高是 米
【分析】先证明 得到 ，解直角三角形 求出 的长即可得到答案．
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ （米），
在 中，∵ ，
∴ 米，
∴ 米，
答：树的高是 米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，求出 的
长是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角
仪测得楼顶M的仰角为 ，再沿 方向前行 米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为 ，已
知测角仪的高 为1.5米，求此楼 的高为多少米？（结果精到0.1米，
）
【答案】 的高约为 米
【分析】根据正切的定义用 表示出 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据题意列方程，
解方程得到答案．
【详解】解：由题意知： ， ， ， ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答： 的高约为 米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的
定义是解题的关键．
2．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼 的正前方有一斜坡 （坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼 的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探
测器测得楼顶点B处的仰角为 ；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为
；已知 米， 米，其中点 在同一直线上．（参考数据： ， ）
(1)求斜坡 的高度 （精确到十分位）；
(2)求大楼 的高度（精确到十分位）．
【答案】(1) 米
(2) 米
【分析】（1）根据题意可得 是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得结果；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证明 是等腰三角形，可得 ，
然后根据 所对的直角边等腰斜边的一半可得 的值，然后根据矩形的判定与性质得出 ，
，结果可得．
（1）
解：∵ 米， ，
∴ 是等腰直角三角形，
设 ，则根据勾股定理得： ，
解得： 米（负值舍去），
∴ 米；
（2）
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 米，
在 中， ， ，
∴ 米，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米，
同理可得： 米，
∴ 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，
等腰三角形的判定与性质， 所对直角边等于斜边的一半等知识点，读懂题意，熟练掌握相关定理是解
本题的关键．
3．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡 的坡度为 ： ，坡面长 米， ，现
计划在斜坡中点 处挖去部分坡体 用阴影表示 修建一个平行于水平线 的平台 和一条新的斜坡
请将下面两小题的结果都精确到 米，参考数据： ．(1)若修建的斜坡 的坡角 即 恰为 ，则此时平台 的长为______米；
(2)坡前有一建筑物 ，小明在 点测得建筑物顶部 的仰角为 ，在坡底 点测得建筑物顶部 的仰
角为 ，点 、 、 、 、 在同一平面内，点 、 、 在同一条水平直线上，问建筑物 高为
多少米？
【答案】(1)7.0
(2)建筑物 高约为 米
【分析】（1）先利用勾股定理解直角 求出 ， ，再证 ，推出
，代入数值即可求解；
（2）过点 作 ，垂足为 ，利用矩形的性质求出 ， ，
，解 可得 ，进而得出
，再解 ，列等式求出 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意知， ， ， ，
∴设 ，则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
由题意， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 米 ；
则平台 的长为 ，
（2）解：过点 作 ，垂足为 ．
在矩形 中，
， ，
∴ ．
在矩形 中，
， ，
在 中， ，
∴ ，
，
，
解得： ，
（米），
即建筑物 高约为 米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性
质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
考点二 利用三角函数解决方位角问题
例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监
船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，
B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【答案】此时船C与船B的距离是 海里．
【分析】过点B作 于点D，进而利用 ， ，求出即可．
【详解】解：过点B作 于点D，
由题意可知： ，
则 ，
在 中， ，
在 中， ．
答：此时船C与船B的距离是 海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建
立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西
端A处测得轮船M在它的北偏东 方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东 方向上．（参考数据： ， ， ， ．）
(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
(2)如果轮船M沿着南偏东 的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
【答案】(1)167.79米
(2)能，理由见解析
【分析】（1）过点M作 ，交AC的延长线于D，设 ．解 ，得
，解 ，得 ，进而可得 ，解
方程即可；
（2）作 ，交l于点F．解 求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．
（1）
解：过点M作 ，交AC的延长线于D，设 ．
∵在 中， ，
又∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ （米）．
即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．（2）
解：作 ，交l于点F．
在 中，有： （米），
∴ ．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为
千米，灯塔B到航线l的距离为 千米，灯塔B位于灯塔A南偏东 方向．现有一艘轮船从
位于灯塔B北偏西 方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A
正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据： ， ， ，
）
(1)求两个灯塔A和B之间的距离；
(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．
【答案】(1)14千米
(2)40.7千米/小时
【分析】（1）根据题意利用特殊角的三角函数值分别求出 ，即可得解；
（2）根据三角函数值求出CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．（1）
解：由题意，得
，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 千米．
答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．
（2）
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
由题意，得
∴ ，∴ ，
∴ ，
设该轮船航行的速度是V千米/小时，
由题意，得 ，
∴ （千米/小时 ），
答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用：方向角问题．解题的关键是将实际问题转化为解直角三角形．
3．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北
偏东 方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东 方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参
考数据： ， ， ．
(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？
【答案】(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析
(2)没有触礁危险，证明见解析
【分析】（1）过C作 于O，通过证明 ，即可求出CB的长；判断C到AB的
距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；
（2）过C作 交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．
（1）
过C作 于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的 方向，
∴ ，
又∵B处测得岛C在北偏东 方向，
∴ ， ，
∴ ，∴ （海里），
∵ ， ，
∴ ，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（2）
过C作 交BF于D，交BO于E，
，
∴没有触礁危险．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件
和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题
例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的
“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡
脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为
45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2 m，AE=8m．
(1)求点B距水平面AE的高度BH．
(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ≈1.414 , ≈1.732 ）【答案】(1)点B距水平面AE的高度BH是2米
(2)广告牌CD的高度约为2.1米
【分析】（1）根据山坡AB的坡度为i=1：3，可设BH=a,则AH=3a,然后在Rt ABH中，利用勾股定理进行
计算即可解答； △
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，则BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt ADE中，利用锐角三角函
数的定义求出DE的长，再在Rt BFC中，利用锐角三角函数的定义求出CF的△长，最后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABH中△，
BH：AH=1:3，
∴设BH=a,则AH=3a，
∵AB=2 ，
由勾股定理得BH=2，
答:点B距水平面AE的高度BH是2米；
（2）解：在Rt△ABH中, BH=2，
∴AH =6，
在Rt△ADE中, tan∠DAE= .，
即DE=tan60 ·AE=8 ，
如图,过点B作BF⊥CE ,垂足为F，
BF= AH + AE=6+8 =14，
DF= DE- EF= DE- BH =8 —2，
在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，
∴ CF= BF= 14,∴CD=CF- DF =14—（8 —2）= 14—8 +2≈2.1
答:广告牌CD的高度约为2.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形
添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并
且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9
米．
(1)求水平平台DE的长度
(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．
（参考数据：取sin370.60，cos370.80，tan370.75）
【答案】(1)1.8米
(2)5：4
【分析】（1）延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，从而可得∠EFG
＝37°，四边形ADEF是平行四边形，进而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函
数的定义求出BF的长，从而求出AF的长，即可解答；
（2）根据题意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而
求出AD的长，再在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，从而求出CE的长，进行计算即
可解答．
（1）
解：延长CE交AB于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为G，由题意得：AD∥EF，
∴∠A＝∠EFG＝37°，
∵DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AD＝EF，DE＝AF，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴BF＝ ≈ ＝7.2（米），
∵AB＝9米，
∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），
∴水平平台DE的长度约为1.8米；
（2）
由题意得：
MN＝EG＝3米，
在Rt△EFG中，EF＝ ≈ ＝5（米），
∴AD＝EF＝5米，
在Rt△BCF中，BC＝5.4米，
∴CF＝ ＝ ＝9（米），
∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），
∴两段楼梯AD、CE的长度之比为：5：4．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，平行四边形的判定，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）风能作为一种清洁能源越来越受到世界各国的重
视，我市结合自身地理优势架设风力发电机利用风能发电．王芳和李华假期去明月峰游玩，看见风电场的
各个山头上布满了大大小小的风力发电机，好奇的想知道风力发电机塔架的高度．如图，王芳站在 点测
得 点与塔底 点的距离为 ，李华站在斜坡 的坡顶 处，已知斜坡 的坡度 ，坡面
长 ，李华在坡顶 处测得轮毂 点的仰角 ，请根据测量结果帮他们计算：(1)斜坡顶点B到CD所在直线的距离；
(2)风力发电机塔架 的高度． 结果精确到 ，参考数据 ， ， ，
，
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）在 中， ，可得 ，根据解直角三角形进行求解即可；
（2）根据 求解即可．
（1）
解：如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，
则 为坡顶B到 所在直线的距离，
则 ， ，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）
由题意得，四边形 是矩形，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
答：塔架高度 约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用以及勾股定理，根据题意构造直角三角形是解本题的关键．
3．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）小明在一段斜坡 上进行跑步训练．在训练过程中，
始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为 ，距水平地面的高度总为 （在直线
上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知 ，斜坡 的坡度 ： ，
斜坡 的坡角为 ．
(1)点 坐标为______， 段 关于 的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡 上的跑步速度是______ ，并求 段 关于 的函数解析式；
(3)若小明沿 方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据： ，， ）
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)9秒
【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定 段
的函数解析式．
（2）通过 段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明
所走的路程，进而解出小明在 段的速度，由A， 点确定 段解析式．
（3）通过 段和 段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为 时所用的时长，进而计算出
无人机与小明之间距离不超过 的时长．
（1）
解：如图，过A点作 于点 ，
，
，
，斜坡 的坡度 ： ： ，
， ，
点A坐标为 ，
设 段 关于 的函数解析式为 ，
代入 ， ，
解得： ，
段 关于 的函数解析式，
故答案为： ； ．
（2）
解：在 中， ， ，
，
，
， ，
在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为 ，
小明在斜坡 上跑步的时间为： ，
小明在斜坡 上的跑步速度是： ，
， ，
，
，
设 段 关于 的函数解析式为： 代入 ， ，
得： ，
解得： ，
段 关于 的函数解析式为 ；
故答案为： ．
（3）
解：在 段上无人机与小明之间的距离为 时，
则有： ，解得： ，
无人机飞行的时间为 ；
在 段上，无人机与小明之间距离为 时，则有： ，
解得： ，
无人机飞行的时间为 ，
无人机与小明之间距离不超过 的时长为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．
考点四 利用三角函数测高问题
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，－楼房AB后有一－假山CD，CD的坡度为 ，测得B与
C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离 米，小丽从楼房房顶A处测
得E的俯角为45°．
(1)求点E到水平地面的距离；
(2)求楼房AB的高．
【答案】(1)8米
(2)48米
【分析】（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=1：2得CF=2EF，再由勾股定理可得：
EF∶CF∶CE＝1∶2∶ ，可得EF=8米，CF=16米；
（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．
（1）
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F．在Rt△CEF中，
∵CD的坡度i＝EF∶CF＝1∶2，
∴ 占 （份），
∴EF∶CF∶CE＝1∶2∶ ，
∵CE＝8 米，
∴EF＝8米，CF＝16米
∴点E到水平地面的距离为8米．
（2）
作EH⊥AB于点H，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴四边形BFEH为矩形；
∴BH＝EF＝8（米），HE＝BF
∵BC＝24（米），CF＝16（米），
∴HE＝BF＝BC＋CF＝24＋16＝40（米）
在Rt△AHE中，
∵∠HAE＝90°－45°＝45°，
∴AH＝HE＝40（米），
∴AB＝AH＋HB＝48（米）．
∴楼房AB的高为48米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏 ，小明在自己家楼顶 处测得显示屏顶端 的仰角为 ，后退10米到达 处测得显示屏底端 处的仰角为 ，
已知商业楼的底端 与小明家楼底端 之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，
参考数据： ， ， ）
【答案】6.4米
【分析】延长 ，交 于点 ，则 ，解 ，求出 的长，解 ，求出 的长，
进而求出 的长．
【详解】延长 ，交 于点 ，则 ，
由题意： ， ， 米， 米，
由于四边形 是矩形，
∴ 米，
在 中， ，
∴ 米，
∵ 米，
∴ 米，
在 中， ，
∵ ，∴ ，
∴ (米)．
答：显示屏 的高度约为 米．
【点睛】本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解
本题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学
兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不
远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E
处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB
的高．（精确到1米，参考数据： ）
【答案】20米
【分析】延长EF交AB于点G，设AB为x，利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、AC，根据
CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．
【详解】延长EF交AB于点G，如图，
设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米，
在Rt△BGE 中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG= ，在Rt△BAC 中CA=AB÷tan∠ACB= ，
则CD=EG﹣AC= ，
解得： ．
答：大树AB的高约为20米．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在河流的右岸边有一高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡 ，
点 与点 在同一水平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在坡底
处测得楼顶 的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米（即 米）到达点 处，此时在 处
测得楼顶 的仰角为 ．（参考数据： ， ， ）
（1）求点 到点 的水平距离 的长；
（2）求楼 的高度．
【答案】（1） 米；（2）楼 的高度为 米．
【分析】（1）由 的坡度 ， 可得 设 则 由勾股定理可得
再列方程 解方程可得答案；
（2）如图，过 作 于 先证明四边形 是矩形，可得
设 证明 可得
由 建立方程，再解方程检验即可得到答案．
【详解】解：（1） 的坡度 ，设 则
（2）如图，过 作 于
四边形 是矩形，
设
由
解得：
经检验： 符合题意，
所以：建筑物 的高为： 米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是
解题的关键．
考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
例题：（2022·海南·九年级专题练习）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结
构如图实线所示，底座为 ，点 、 、 在同一条直线上，测得 ， ，
， ，其中一段支撑杆 ，另一段支撑杆 ，
(1)求 的距离；
(2)求支撑杆上的 到水平地面的距离 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据 ，
， ， ）
【答案】(1)16cm
(2)105cm
【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；
（2）如图作DG⊥EF， ，证明EF=EG+QC+CP，再分别运用解直角三角形求出EG、QC、CP即
可．
（1）
∵ ， ，AB=32cm
∴ (cm)
（2）
如图，作DG⊥EF于点G，过点C作 ，交DG于点Q，交AB于点P，∵DG⊥EF，AF⊥EF，
∴DG⊥PQ，AF⊥PQ，
∴四边形FPQG是矩形，FG=PQ，
∴ (cm)， (cm)，
∵
∴∠EDG=75°-60°=15°
∴ (cm)
∴EF=EG+FG=EG+PQ=EG+CQ+PC= (cm)
故E到地面的距离EF为105cm．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，作辅助线构造相等线段，熟练运用解直角三角形求线段长度是解题
关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，
固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，
此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，
∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面
的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36， ）【答案】点B到桌面得距离为28.78cm
【分析】
点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，在Rt△ABC中，解直角
三角形求得AB，继而求得 ，在Rt△AOD中，解直角三角形求得OD，继而即可求解．
【详解】
如图，过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，
由题意可知：OD⊥AC，AC=10cm， ，
∵∠AOM=160°，
∴∠AOD=20°，
∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=70°，
∵∠OAB=115°，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴AC=BC=10cm，
在Rt△ABC中，
cos∠BAC= ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△AOD中，
cos∠AOD= ，∴ ，
∴点B到桌面的距离为 ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，熟练掌握并应用三角函数定义．
2．（2022·重庆·模拟预测）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘 ，且 、 之
间的距离为30米，经测量 ， ， 长度为42米．（参考数据： ， ）
(1)求空地边缘 的长度；（结果精确到1米）
(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度
为2米的园林卵石步道 ，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗
粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？
【答案】(1)空地边缘 的长度为64米；
(2)此次修建费用足够
【分析】（1）过 作 交 于 ，过 作 交 的延长线于 ，证得四边形 是
矩形，从而 ，分别在 和 中，利用正切三角函数求得AK、BH的值，即可求解；
（2）分别求出 和梯形ABCD的面积，从而 ，再求出总费用，比较
即可.
（1）
解：（1）如图，过 作 交 于 ，过 作 交 的延长线于 ，， ，
，
，
， ，
∴四边形 是矩形，
， ，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
（米）
答：空地边缘 的长度为64米．
（2）
解：由题得，四边形 为平行四边形，
，
，
，
∴总花费为： （元），
答：此次修建费用足够．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造出含有特殊角的直角三
角形，属于中考常考题型．
3．（2022·上海·九年级专题练习）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将
平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板
CB长80mm，当 ， 时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到
1mm）．（参考数据： ， ， ， ， ）
【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．
【分析】过点B作 ， ，交CD于点G，过点A作 ，交BE于点F，由平行线的
性质可得 ，得出 ，在 与 中，分别利用锐角三角函数求
解得出 ， ，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．
【详解】解：如图所示：过点B作 ， ，交CD于点G，过点A作 ，交BE于点
F，
，
∵ ，
∴，
∴在 中，
，
，
∴
在 中，
，
，
∴ ，
∴答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为 ．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运
用锐角三角函数是解题关键．
一、选择题
1．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走
了100米，则小明上升的距离是（ ）
A． 米 B．20米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】根据坡度意思可知 ，设 米，则 米，由勾股定理可得： ，
即 ，求出h即可．
【详解】解：如图：由题意可知： ， 米，
设 米，则 米，
由勾股定理可得： ，即 ，
解得： 米， 米（舍去）．
故选：A
【点睛】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC，AC之间的关系．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学九年级阶段练习）如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面
MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，
则OC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6，
∴OB= AB=0.8，
在Rt OCB中，sin∠OBC= ，
△
∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2022·浙江·平阳苏步青学校九年级阶段练习）如 图，某游乐场矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋
转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中时间是（ ）
A．5min B．6min C．7min D．8min
【答案】A
【分析】设小明在 点和 点时距离地面 ，利用三角函数求出 的角度即可求出时间．
【详解】解：如图，设小明在 点和 点时距离地面 ，延长 交 于 ，
即 ，小明在 上时即为所求，
由题知， ， ， ，
，
，
，
，
摩天轮旋转1周用时 ，
小明在离地面 以上的空中时间是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的
高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为( )A． 米 B．( b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米
【答案】B
【分析】如图，过B作 ，过C作 ，解直角三角形，根据 进行计算即
可．
【详解】解：过B作 ，过C作
由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形．
二、填空题
5．（2021·广东·佛山市第十四中学九年级阶段练习）如图，在高度是18米的小山A处测得建筑物CD顶部
C处的仰角为30°，底部D处的仰角为45°，则这个建筑物的高度CD=__________米（结果可保留根号）；
【答案】 ##【分析】作 于点E，则 和 都是等腰直角三角形，即可求得 的长，然后在直角
三角形中国利用三角函数求得 的长，进而求得 的长．
【详解】解：作 于点E．
在 中， ，
（米）．
在 中， （米）．
∴ （米）．
故答案为： ．
【点睛】本题考查应用直角三角形解决仰角和俯角问题，要求学生能够借助仰角和俯角构造直角三角形并
解直角三角形．
6．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，
他测得仰角为 ；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为 ，若小明
的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．
【答案】2
【分析】过该建筑物的顶端 点作 ，交 的延长线于点 ，可得 ，即
，则 千米，在 中， ，即可求得 ．
【详解】解：如图，过该建筑物的顶端 点作 ，交 的延长线于点 ，由题意得， ， ， 千米，
，
，
千米，
在 中， ，
解得 ，
该建筑物离地面的高度为2千米．
故答案为：2．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
7．（2022·上海·九年级专题练习）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼
底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教
学楼的高 ________米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点A作 于点D．则 米，在Rt ACD中， ，解得
△
，在 中， ，解得 ，由 可得出答案．
【详解】解：过点A作 于点D．则 米， ， ，
在 中， ，
解得 ，
在 中， ，
解得 ，
∴ 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
8．（2022·广东·深圳市观澜第二中学模拟预测）如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地
面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高 米，她乘电梯会有碰头
危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值： ， ， ）
【答案】否
【分析】求出 长，比较大小即可．
【详解】解：根据天花板与地面平行，可知 ，
（米）．
因为 ，
所以小敏不会有碰头危险．
故答案为：否．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．
三、解答题
9．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 可以绕点O旋转一定的
角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线 与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此
时测得 ，求 的长度．(结果精确到 )（参考数据：
）
【答案】
【分析】过 点作 交 于 点．构造直角三角形，在 中，计算出 ，在
中， 计算出 .
【详解】解：如图所示：过 点作 交 于 点．
在 中，
又∵在 中，答： 的长度为
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D
处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10
米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1： （坡度是指坡面
的铅直高度与水平宽度的比）．求楼房AB高度．（结果保留根式）
【答案】（15+5 ）米
【分析】)过点D作DF⊥BC，垂足为F，设AB=x，AG=x-5，则 ，
，根据DG＝FC+CE+BE，列出方程，即可求解.
【详解】解：过D作DF⊥BC，垂足为F，∵i＝1： ，∴DF：FC＝1： ，CD＝10，
∴DF＝5，CF＝5 ，
过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AB＝x，则AG＝x﹣5，
在Rt△ABE中， ，
在Rt△ADG中， ，
由DG＝FC+CE+BE得，
（x﹣5）＝5 +10+ x，解得，x＝15+5 ，
答：AB的高度为（15+5 ）米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．
11．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行
数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏
东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2) 米
【分析】（1）过点A作 交 于点 ，根据 且 ，可得 ，
利用外角的性质根据 可求出结果
（2）过点B作BG⊥AD于G，则有 ，可得 ， ，
，可求得 ，再根据 可得结果．（1）
如图示，过点A作 交 于点 ，
∵ 且
∴
∵ 且
∴ ；
（2）
过点B作BG⊥AD于G．
∵
∴
在 中， ，
在 中，
∵
∴
∴
答：两颗银杏树B、C之间的距离为 米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关
系是解题的关键．
12．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水
坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：
(1)坝底AB的长；
(2)坡BC的长；
(3)迎水坡BC的坡度．
【答案】(1) 米
(2)9米
(3)
【分析】（1）过D点作DE⊥AB于E点，先证明四边形CDEF是矩形，即有CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，根
据∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，可得 ，AE=1.2DE=5.4，则问题得解；
（2）根据 即可求解；
（3）利用坡比的定义，即可得出迎水坡BC的坡比的值．
（1）
解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，
根据题意有： ， ，∠B=30°，
∵ ，
∴四边形CDEF是矩形．∴CF=DE，EF=CD，
∵CF=4.5，CD=2.5，
∴CF=DE=4.5，EF=CD=2.5，
∵CF=4.5，CD=2.5，∠B=30°，背水坡AD的坡度比为1:1.2，
∴ ，AE=1.2DE=5.4，
∴AB=BF+EF+AE= +2.5+5.4= +7.9（米），
故坝底AB的长为： 米；
（2）
∵∠B=30°，CF=4.5，
∴ （米），
即坡BC长为9米；
（3）
∵CF=4.5， ，
∴迎水坡BC的坡度为： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了坡度与坡角问题，通过构造直角三角形，矩形，利用直角三角形的性质和矩形的
性质，锐角三角函数的概念求解是解题关键．
13．（2022·浙江·九年级专题练习）小甬要外出参加“建党100周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，
图②分别是他上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，
拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，
∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．(1)求DE的长度（结果保留根号）；
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)（20+20 ）cm
(2)（20 +20 ）cm
【分析】（1）过点F作FH⊥CD，垂足为H，在Rt△DFH中，求出FH，DH，再在Rt△CFH中，求出
CH，从而求出CD，进而求出CE，然后进行计算即可解答；
（2）过点A作AG⊥ED，交ED的延长线于点G，根据题意可得AC＝40+40 ，然后在Rt△AGC中，利
用锐角三角函数求出AG即可解答．
（1）
解：过点F作FH⊥CD，垂足为H，
在Rt△DFH中，∠D＝30°，DF＝30，
∴FH＝ DF＝15cm，DH＝DFcos30°＝30× ＝15 cm，
在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，
∴CH＝FH＝15cm，
∴CD＝CH+DH＝（15+15 ）cm，∵CE：CD＝1：3，
∴CE＝ CD＝（5+5 ）cm，
∴DE＝CE+CD＝（20+20 ）cm，
∴DE的长度为（20+20 ）cm；
（2）
解：过点A作AG⊥ED，交ED的延长线于点G，
由题意得：
AB＝BC＝ED＝20+20 ，
∴AC＝AB+BC＝40+40 ，
在Rt△AGC中，∠ACG＝45°，
∴AG＝ACsin45°＝（40+40 ）× ＝（20 +20 ）cm，
∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20 +20 ）cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
14．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测
站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，
从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．
求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）
【答案】(1)点P到海岸线l的距离为（ -1）km；
(2)点C与点B之间的距离为 km．
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt PBD，用含x的代数式表示BD，再解
Rt PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列△出关于x的方程，解方程即可；
（△2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt ABF，得出BF=1km，再解Rt BCF，得出BC即可．
（1） △ △
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D．
设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD= PD= xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+ x=2，
x= -1，∴点P到海岸线l的距离为（ -1）km；
（2）
解：如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= BF= km，
∴点C与点B之间的距离为 km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
15．（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，
于点 ，底座 米，底座 与支架 所成的角 ，点 在支架 上，篮板底部
支架 . 于点 ，已知 米， 米， 米.
(1)求篮板底部支架 与支架 所成的 的度数．
(2)求篮板底部点 到地面的距离，（精确到0.1米）（参考数据： ， ）
【答案】(1)篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
(2)篮板底部点E到地面的距离约为2.2米【分析】（1）在Rt△HEF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，根据题意易证四边形ABMG是矩形，从
而得AB=GM，然后在Rt△AGF中求出FG，从而求出EG，最后在Rt△ABC中，求出AB，进行计算即可解
答．
（1）
∵EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
在Rt HEF中，HF= 米，HE= 米，
△
∴
∴∠FHE=45°，
∴篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）
延长FE交直线BC与点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，
∴∠AGM=∠AGF=90°，
∵ ，
∴FM⊥BC，
∴∠BMG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABMG是矩形，
∴AB=GM，∵ ，
∴∠FHE=∠FAG=45°，
∴ （米）， （米），
∴EG=FG-EF= （米），
在Rt ABC中， （米），
△
∴GM=AB= （米），
∴EM=EG+GM= （米），
∴篮板底部点E到地面的距离为2.2米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
辅助线是解题的关键．
16．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，
小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户
改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，
如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为
0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗
的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据
（tan60°= ≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________ ．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）
【答案】(1)60°，
(2)
【分析】（1）设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知 ，没有遮阳棚时，正
午 12 点时太阳照射到室内区域面积为：
（2）根据 ，求得， ，根据 ，即可求解．
（1）
设正午 12 点时， 太阳光线与地面的夹角为 ，由题意可知∶
，
，
正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为
由题意可知：没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为∶
没有遮阳棚时，正午 12 点时太阳照射到室内区域面积为 ，
故答案为： ；
（2）
由题意可知∶
，
，，
，
，
此时 的长为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
