文档内容
专题 03 等边三角形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用等边三角形的性质求角......................................................................................................................1
题型二、利用等边三角形的性质求线段长..............................................................................................................4
题型三、等边三角形的性质与判定多结论问题......................................................................................................8
题型四、等边三角形的性质与判定综合问题........................................................................................................14
题型五、等边三角形的性质与判定动点问题........................................................................................................20
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用等边三角形的性质求角
1．（25-26八年级上·吉林·期末）如图，将等边三角形 的边 向两边延长，使 ，则
的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．由等边三角形的性质可得 ， ，结合
题意可得 ， ，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出 ，
，即可得出结果．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，直线 ，等边 的顶点C在直线b上， ，则
为 度．【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题
关键．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，已知 是等边三角形，点E为边 上一点，点D，F为
延长线上的点，连接 ，且 ，点C是线段 上的点，连接 ，且 ，则 的度
数为 °．
【答案】15
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的外角定义．根据等边三角形的性质
得出 ，再由 得出 ，根据三角形外角定义得出
，进而求得 ，同理可求得 ．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
由三角形的外角定义可知： ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，即 ，
故答案为：15．
4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图， 是等边三角形，在 中， ，
连接 交 于点E，则 的度数为 ．
【答案】 /105度
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角
形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
根据等边三角形的性质得 ，再根据 得 ，由此得 ，
再求出 ，由三角形内角和定理得 ，然后在 中，再由三角形内角和定理即可
得出 的度数．
【详解】解： 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
，
∴ ，
∴在 中，
即 的度数为 ．
故答案为： ．
题型二、利用等边三角形的性质求线段长
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把等边三角形 沿 折叠，使点 恰好落在 边上的
点 处， 于点 ．若 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
根据折叠得到 ，进而得到 ，从而得到 的长.
【详解】解： 是等边三角形，
， ．
，
，
．
，
，
．
由折叠的性质，得 ， ，
，
，
．
，
，
．
故答案为： .
6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知 为等边三角形， 为中线，延长 至点 ，使
，连接 ，则 ．
【答案】3【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出 ，再根据等边三角形的
性质得出 ，从而求出 即可．
【详解】解：∵ 为等边三角形， 为中线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：3．
7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， 为等边三角形， ， 相交于点
P， 于Q， ， ． 的长是 ．
【答案】7
【分析】由已知条件，先证明 得 ，可得 ， ．即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ °．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质．
熟练掌握这些知识是正确解答本题的关键．
8．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形 中，点D是 的中点，点E在 的延长
线上，且 ，连接 ， 时，P，Q分别为射线 、射线 上的动点，且若 ，则 ， 的长为 ．
【答案】 9或1
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，
熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段
的延长线上时，当点Q在线段 上时，分别求解即可得到答案．
【详解】解： 是等边三角形，点D是 的中点，
， ， ，
， ，
，
，
，
；
当点Q在线段 的延长线上时，
如图③，作 交AC于点M，
由 知 为等边三角形，
， ，
为等边 的边 的中点，
， ，
，
，，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
当点Q在线段 上时，如图④，
同理可证明 ，
则 ，
综上所述， 的长为9或
故答案为： ，9或
题型三、等边三角形的性质与判定多结论问题
9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图， 是等边三角形，D是 上一点，E是 上
一点， ， 相交于点F，过点B作 交 的延长线于点G，过点B作 于
点H，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是
．
【答案】①②④【分析】①根据等边三角形性质证 ，即可求证；
②在①前提下，根据 是 外角，即可求证；
③依据以上结论，过 作 于 ，求证 ，再证 得 ，则
和 无固定数量关系；
④依据以上结论，结合平行线的性质，证得 ，找到线段关系，即可求证．
【详解】解：①判断 是否正确
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②判断 是否正确，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 外角，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
③判断 是否正确；
过 作 于
∵ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
但 和 无固定数量关系，
∴ 不一定等于 ，
故③错误；
④判断 是否正确
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故答案为①②④．
【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角定理及直角三角形全等判定（
）；解题核心是通过构造全等三角形转化线段和角的关系，结合平行线性质推导结论；易错点在于误
判 与 的数量关系，忽略辅助线构造后线段的对应逻辑．
10．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图， 是等边三角形，D，E分别是 的延长线和 的延
长线上的点， ，延长 交 于点F，G是 上一点，且 ， 交 于点H．下列结
论：① ；② ；③ ；④H为 中点；⑤ ．其中正确
的是 （填序号）．【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质及多
边形的内角和定理的应用．设 ，证明 ，可得①符合题意；连接 ，求解
，证明 ，可得②符合题意；通过角度计算得出 ，证明
，可得③符合题意；通过角度计算得出 从而证明出H不是 中点，可得④不符
合题意；过G作 交 于I，截取 ，连接 ，而 ，证明 ，
可得⑤符合题意，从而可得出答案．
【详解】解：设 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
如图，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
又∵ 为等边三角形，
要使H为 中点，
则 需垂直平分 ，即 ，
而 ， ，
∴ ，
∴H不是 的中点，故④错误；
过G作 交 于I，截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ， 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，故⑤正确，
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
11．（22-23八年级下·河南郑州·月考）如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，E在同一
条直线上， 与 相交于点O， 与 交于点G， 与 相交于点F，连接 ， ，则下列结
论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．先证明 ，得到 可判断①，结合
，得到 ，可判断②，接着证明 ，得到
，可判断③，最后证明 是等边三角形，可得到 ，从而判断④．
【详解】解：∵ 和 均是等边三角形，
∴ ，
∵点B，C，E在同一条直线上，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①②③④．
12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知线段 上一点 ，分别以 和 为边作等边
和等边 ，连接 和 ，在 和 上截取 ，连接 、 、 ．以下说法正确
的是 ．（填写正确语句序号）
① 平分 ；② ；③ ；④ 是等边三角形．
【答案】①②④
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键
是熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等．
通过等边三角形的性质得出角的关系、边的关系，进而证明三角形全等，再据此对每个说法进行判断．
【详解】解：①： 和 都是等边三角形，
，
，
平分 ，①正确；
②： ，
（同位角相等，两直线平行），②正确；
③： 和 都是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，在 和 中， ，
，则 ， ．
，
，
是等边三角形，④正确；
而 与 不一定相等，③错误．
综上，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
题型四、等边三角形的性质与判定综合问题
13．（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在等边 的 ， 上各取一点 、 ，使 ．
， 相交于点 ，过点 作直线 的垂线 ，垂足为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求线段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质，灵活运
用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得 ， ，从而可证得 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ， ，再根据角的和差关系等量代换可得
，从而得到 ，最后根据含 角直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
， ，
在 和 中，，
；
（2）解： ，
， ，
，
又 ，
，
，
．
14．（25-26八年级上·山东滨州·月考）已知：如图， 和 都是等边三角形， 是 延长线上
一点， 与 相交于点 ， 、 相交于点 ， ， 相交于点 ．
(1)求 的度数；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1) 的度数为
(2) 为等边三角形，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确找出等量关系是解题的关键．
（1）由 和 都是等边三角形，结合边长与角度的等量关系，证出 ，即
，结合 ，可得 ，进一步得出 的度数；
（2）由（1）中的 ，得出 ，结合边长和角度关系，证出 ，故
，又因为 ，可证 为等边三角形．
【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故 的度数为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
在 与 中：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
故 为等边三角形．
15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点 是等边 内一点， 是 外的一点，
， ， ， ，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)当 时， 是等腰三角形．
【答案】(1)见解析；
(2) 是直角三角形，理由见解析；
(3) 或 或 ．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．（ ）根据全等三角形的性质得到 ，再根据等边三角形的判定定理证明即可；
（ ）根据全等三角形的性质得到 ，结合图形计算即可；
（ ）分 ， ， 三种情况，再根据等腰三角形的判定定理计
算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ，
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
16．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图1，图2，点O是线段 的中点， ， ；(1)如图1，按边分类， 的形状为______；
(2)如图1，若点D在射线 上，点D在点C右侧，且 是等边三角形， 的延长线交直线 于
点P，求证： ；
(3)如图2，若点M在线段 上， 是等边三角形，求 的度数．
【答案】(1)等边三角形
(2)见解析
(3)
【分析】 根据全等三角形的判定与性质得出 ， ，进而利用等边三角形的
判定解答即可；
根据等边三角形的性质得出 ， ，进而利用 证明 与 全等，利用全等
三角形的性质解答即可；
作 交 于点E，可证明 是等边三角形，则 ，而 是等边三角形，所以
， ，则 ，进而证明 ，得
．
此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、等边三角形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于
考试压轴题．
【详解】（1）解： 点O是线段 的中点，
，
，
，
在 与 中，
，
，， ，
，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）证明： 是等边三角形， 是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 与 中，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作 交 于点E，则 ， ，
， ，
是等边三角形，
，
是等边三角形；， ，
，
在 和 中，
，
，
，
的度数是 ．
题型五、等边三角形的性质与判定动点问题
17．（25-26八年级上·吉林·期末）如图， 是边长为 的等边三角形， ， 两点分别从点 ，
同时出发，点 以 的速度沿折线 向终点 匀速运动，点 以 的速度沿线段 向终点
匀速运动．设点 的运动时间为 （ ）．
(1)当点 在线段 上时， _______ ， _______ ．（用含x的代数式表示）
(2)当 为等边三角形时，求 的值．
(3)若 为等边三角形，则 的值为_______．
(4)当 为直角三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) 的值为
(3)
(4)当 为直角三角形时， 的值为 、
【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）根据运动的起点，以及运动的方向和速度计算即可；
（2）当 为等边三角形时， ，代入计算即可；
（3）当 为等边三角形时， ，代入计算即可；
（4）根据 或 进行分类讨论，再结合 度所对的直角边是斜边的一半，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：当点 在线段 上时，
， ，
∴ ，
故答案为： ； ．
（2）解：当点 在线段 上时，
， ，
若 为等边三角形，
则 ，
∴ ，
解得 ，
当点 在线段 上时，
，
该情况下 不可能为等边三角形，
综上， 的值为 ．
（3）解：若 为等边三角形，只能点 在 上，如下图所示：
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
（4）解：当 时，如下图：
图中 ，，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
解得 ，此时点 恰与点 重合，满足要求；
当 时，如下图：
图中 ，
，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
得 ，
解得 ，满足要求；
综上，当 为直角三角形时， 的值为 、 ．
18．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）问题情境：在等边 中，E为边 中线 上的一动点，连
接 ，在 的下方作等边(1)如图1， 当 时， 连接 ．
的度数为 ；
②猜想 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接 ， 是否有最小值，若有请求出此时 的度数；若没有请说明理由．
【答案】(1)① ；② ，理由见解析
(2) 有最小值，
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性
质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得 ， ，再根据等腰直角三角形的性质可
得 ，即可求解；
②根据等边三角形的性质可得 ，再由三线合一得出
，根据全等三角形的判定和性质得出 ， ，即可求解；
（2）连接 ,可得 ，作点D关于 的对称点G，连接 、 、 、 ，则
，当B、F、G三点共线， 的最小值为 ，且 时， 最小，再根据等边三角
形的性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵ 、 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
② ，理由如下:
∵ 是等边三角形， 是边 上的中线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ,
∴ ,∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 边上的中线， ，
∴ ，
如图，作点D关于 的对称点G，连接 、 、 、 ，则 ，
∴当B、F、G三点共线， 的最小值为 ，且 时， 最小，
∵轴对称，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
19．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）在 中， ，点 为 所在直线上的一个动点（不与
、 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，过点 作 ，
交直线 于点 ，连接 ．
【初步思考】（1）如图 ，当点 在线段 上，若 ， ，则 的周长是________；
（2）若 ：
【深入探究】 如图 ，当点 在线段 上时，请判断 的形状？并说明理由；【拓展延伸】 当点 在 的延长线上时，请判断 的形状？并说明理由．
【答案】（ ） ；（ ） 为等腰三角形，理由见解析； 为等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）先证明 ，则有 ，再证明 为等边三角形，从而求
解；
（2） 先证明 ，所以 ，则 ，根据平行线的性质可得
，所以 ，从而有 ，然后通过等腰三角形的判定即可求解；
证明 ，则有 ，又 ，所以
，根据平行线性质可得 ，所以 ，则 ，根据等
角对等边即可求解．
【详解】（1）解：如图 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长是 ，
故答案为： ；
（2） 为等腰三角形，
证明：如图 ，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
如图 ， 为等腰三角形，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判
定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
20．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点 是边长为3cm的等边 的边 上的动点，
点 从点 出发，沿线段 向点 运动．(1)如图1，若另一动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，动点 ， 都以 的速度同时出发，设
运动时间为 ，连接 ， 交于点 ，连接 ．
①当 为何值时， 是直角三角形？
②在 ， 运动的过程中， 会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
(2)如图2，若另一动点 从点 出发，沿射线 方向运动，连接 交 于点 ，动点 ， 都以
的速度同时出发，设运动时间为 ，连接 ，当 为何值时， 是等腰三角形？
【答案】(1)① 或 ；②不会发生变化，
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根
据题意分情况讨论是本题的关键．
（1）①当 是直角三角形时，分 或 时两种情况列方程，即可算出t的值；②
根据 证得 ，得到 ，根据三角形外角的性质得到
，即可证明；
（2）当 是等腰三角形时， ，然后即可证明 ，即可根据题意求出t的值．
【详解】（1）解：①∵等边 的边长为3cm，
∴ ， ，
根据题意得： ， ，
∵ 是直角三角形，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
，
解得 ．当 的值为1或2时， 是直角三角形．
②不会发生变化， ．
是等边三角形，
， ．
在 和 中，
，
，
．
，
．
故不会发生变化， ．
（2）解： ，
当 是等腰三角形时， ，
．
，
，
，即 ．
，
，解得 ．
故当 的值为1时， 是等腰三角形．
一、单选题
1．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在 中， ， ， ，则 的长
是（ ）A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一
半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半可得 即
可得到答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故选：A．
2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示， 是等边三角形，D为AB的中点， ，
垂足为E．若 ，则 的边长为（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中 角所对的
直角边是斜边的一半．
根据 为等边三角形和 ，可得 ，利用直角三角形中 角所对的直角边是斜边的
一半，即可求解．
【详解】解： 为等边三角形，
，
，
，
，
，
D为AB的中点，
，
等边三角形 的边长为 ．
故选： ．
3．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知 是等边三角形，点D在 上，点E在 的延长
线上， ， 交 于点F， ，若 ，且 ，则BE的长为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含 角直角三角形的性质，过点D作
交 于点 ．先证明 ，可得 ，求出 ，设
，则 ， ，然后利用含 角直角三角形的性质得到
，然后代入求解即可．
【详解】解：如图，过点D作 交 于点Ｈ．
∵ 是等边三角形，
∴
∵
∴ ，
∴ 是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵ 是等边三角形，
∴
∴
∴设
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
故选：A．
4．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）如图，等边三角形 的边长为 是 边上的中线， 分
别是 边上的动点．当 取得最小值时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置．根
据对称性和等边三角形的性质，过点B作 交 于点F，连接 ，此时 取得最小值，借
助等边三角形的性质得 ， ，即可求解．
【详解】解：过点B作 交 于点F，连接 ，
∵等边三角形 的边长为 是 边上的中线，
∴ 垂直平分 ，
∴
∴
∴当 时， 取得最小值
∵等边三角形 的边长为4，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
5．（25-26八年级上·广东韶关·期中）如图，已知： ，点 、 、 …在射线 上，点 、
、 …在射线 上， 、 、 …均为等边三角形．若 ，则 的边长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及 度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行
线的性质得出 ，以及 ，得出 ， ， …进
而得出答案．
【详解】解：如图所示
为等边三角形，
， ．
， ，
．
．
．
．
，
．
、 …均为等边三角形．．
，
．
， ．
， ．
．
同理 ， ，
以此类推： ．
即 的边长为 ．
故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在 中， ， ， ，则
的度数是 度．
【答案】13
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，还涉及三角形内角和定理，三角形外角的性质．
设 ，构建方程即可解决问题．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，
，
∴∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 的周长为 ，且 ，以 为边作等边三角
形 ，若 周长为 ，那么 为 ．【答案】10
【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，
先根据等边三角形的周长求出其边长，再根据等腰三角形的性质得出其底边长即可．
【详解】解：∵等边 的周长为45cm，
∴ ，
，
，
∵等腰 的周长为40cm，
∴ ，
故答案为：10．
8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，等边三角形 的边长为10， 为 边上一动点，过点
作 于点 ，过 作 于点 ．若 ，则 ；
【答案】7
【分析】本题考查了等边三角形的性质及含 角的直角三角形的性质，解题的关键是利用等边三角形的
内角为 ，结合直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半计算线段长度．
由 得 的长度；在 中求 得 ；在 中求 ，进而得 ．
【详解】解： 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ，
∵ ， ，
∴
，
∴
．
∴，
∵ ， ，
∴
，
∴
．
故答案为： ．
∴
9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们
之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的 ．则一个梯形的面积与内部
三角形的面积之比是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理和等边三角形的性质．熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质是解题的关键．
利用勾股定理和等边三角形的性质可以推导出等边三角形的面积公式为 ，其中 为等边三角形的边长．
设大等边三角形的边长为 ，那么内部小等边三角形的边长为 ，求出两者面积后得到三个梯形的总面
积，进而得出一个梯形的面积，最后即可求出一个梯形的面积与内部三角形的面积之比．
【详解】解：假设一个等边三角形的边长为 ，高为 ，
， ，
，
在 中，
根据勾股定理，有 ，
解得 ，
等边三角形的面积可以表示为 ．
设大等边三角形的边长为 ，那么内部小等边三角形的边长为 ，， ，
它们之间的区域面积为 ，
，
一个梯形的面积与内部三角形的面积之比为 ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等边 的边长为 ，点 在射线 上运动，点 在
线段 的延长线上．若 ，且 ，则 的长为 ．
【答案】6或10
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质，点 在射线 上，
，需分两种情形讨论：当点 在线段 上时，根据等边对等角可知 ，根据三
角形外角的性质可知 ，根据等角对等边可得 ，从而可以求出 的长度；当点
在 延长线上时，过点 作 ，含 角的直角三角形的性质，可知 ，根据等腰三角形
的三线合一定理可以求出 ．
【详解】解：如下图所示，当点 在线段 上时，
等边 的边长为 ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
；如下图所示，当点 在 的延长线上时，过点 作 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
；
综上所述， 的长度为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形 边 、 上的点，且
， 与 交于点F．
(1)求证 ．
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
（1）根据等边三角形的性质得出 ， ，然后根据 证明 ，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）由（1）知 ，推出 ，再利用三角形外角的性质结合等边三角形的性质即
可求解．
【详解】（1）证明∶∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）知 ，
∴ ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
12．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在等边 中，点D是 的中点，点E，F分别是边 ，
上的点，连接 ， ，且 ， ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质及解直角三角形．
（1）根据 为等边三角形得出 ，由 利用同位角相等的定理得出 ，
，此时 ，进而得出 是等边三角形；
（2）利用解直角三角形的性质得出 ，进而得出等边 的边长，随后得出等边
的边长，进而求得其周长．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．（2）解：∵ ， ， ，
∴在 中， ，
又∵点D是 的中点，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
13．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在 与 中， ， ，
，过点C作 ，交 于E，交 于F，连接 ，交 于H．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)求证： 平分 ．
【答案】(1)等边三角形，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证
明 是解题的关键．
（1）先证明 是等边三角形，可得 ，由平行线的性质可得
，可得结论；
（2）根据 ， ，推出直线 是线段 的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得
证；
【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下；
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 是等边三角形；
（2）证明：∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，即 ，
∵ ，
∴ 平分 ；
14．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰 中， ， ， ，点D在线段
上运动（不与 ， 重合），将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ．
(1) 的长度为_______；
(2)求 的度数；
(3)当点D是 的中点时，判断 是何种三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 是等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质即可得出结果；
（2）由折叠的性质可得 ， ，结合题意求出 ，即可得
出结果；
（3）由折叠的性质可得 ， ，证明 为等边三角形，得出 ，
，同理可得 是等边三角形，得出 ， ，求出 ，结合题
意得出 ，即可得证．
【详解】（1）解：∵将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（3）解： 是等边三角形，理由如下：
∵将 与 分别沿直线 ， 翻折得到 与 ，
∴ ， ，
∵等腰 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
同理可得： 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
15．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）已知：在 中，D、E分别在边 上， 交于点
F．
(1)如图1， ， 分别是 和 的平分线，求 的度数．
(2)如图2， ， ， ，且 ．
①求证： 为等边三角形；
②如图3，点H在 上， . 交 于点G，求证： ．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得到 ，根据三角形外角的性质和角平分线定义即可得到
答案；
（2）①在 上截取 ，连接 ，证明 ，和 ，则
，即可得结论；②延长 至K，使 ，连接 ， ，证明
和 ，即可得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 分别是 和 的平分线，
∴ ，
∴
（2）①证明：如图1，在 上截取 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
②证明：延长 至K，使 ，连接 ， ，如图3所示：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在 中， ，点 ， 是边 上的两点．
(1)如图 ，若 ，点 在 边上，点 在 的延长线上，且 ，连接 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ， ， ，求 的值；
(2)如图 ，若 ，点 在 的延长线上，连接 ， ， ，且 ， ，
求证： ；(3)如图 ，连接 ， ，若 ，且 ， 平分 ， ， 的面积为
，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ，直接写出 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据题意得到 是等边三角形，证得 是等边三角形，再证明
，即可解答；
（2）利用角的等量代换证明 ，过点 作 ，交 于点 ，得到 是等
边三角形，证明 ，即可得证；
（3）根据题意求出 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用
三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
如图，过点 作 ，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
