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专题 03 矩形的性质与判定(基础题型)
1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】
解： 直角三角形的斜边长为10，
斜边上的中线长为 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半是解题关键．
2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．中心对称图形 B．对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D
【分析】
根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．
【详解】
解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的
关键．
3．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】
根据平行四边形和矩形的性质容易得出结论．【详解】
解：A、两组对边分别相等，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
B、两条对角线互相平分，矩形和平行四边形都具有，故不合题意；
C、两条对角线互相垂直，矩形和平行四边形都不一定具有，故不合题意；
D、两条对角线相等，矩形具有而平行四边形不一定具有，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形
具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
4．关于矩形，下列说法错误的是（ ）
A．四个角相等 B．对角线相等
C．四条边相等 D．对角线互相平分
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质逐选项判断即可．
【详解】
解：选项A，矩形四个角均为直角，故正确；
选项B，矩形对角线相等，故正确；
选项C，矩形邻边不相等，故错误；
选项D，矩形两条对角线互相平分，故正确．
故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，解答关键是熟练掌握矩形的相关性质．
5．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：由勾股定理得，斜边= ，所以，斜边上中线长= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是
解题的关键．
6．四边形 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD
C．AB=BC D．AD=BC
【答案】B
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，
只需添加条件是对角线相等．
【详解】
可添加AC=BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选B．
【点睛】
考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是
矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
7．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可．
【详解】解：A.矩形的对角线互相平分且相等．选项说法正确.不符合题意.
B.矩形的四个角相等，等于90°，选项说法正确.不符合题意．
C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．选项说法正确.不符合题意.
D.矩形对角线互相平分但不一定垂直．符合题意.
故选D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形
具备而一般平行四边形不具备的性质．
8．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】A
【详解】
解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，
矩形的对角线互相平分、相等，
∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选A．
考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．
9．已知 中，下列条件：① ；② ；③ ；④ 平
分 ，其中能说明 是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】
根据矩形的判定进行分析即可．
【详解】
A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D. 平分 ，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
10．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
【答案】B
【分析】
根据矩形和菱形的性质逐一进行判定即可
【详解】
解：A. 两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，不符合题意；
B. 对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有，符合题意；
C. 对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，不符合题意；
D. 对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不一定具有，不符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握性质是解题的关键
11．下列命题中，假命题是（ ）．
A．矩形的对角线相等
B．矩形对角线的交点到四条边的距离相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质判定
【详解】
A、矩形的对角线相等，正确；
B、矩形对角线的交点到两条对边的距离相等，故不正确；
C、矩形的对角线互相平分，正确；D、矩形对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定知识点
12．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】
根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连
接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．
【详解】
解：如图，矩形 中，
分别为四边的中点，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的
中位线定理及菱形的判定．
13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条
件是（ ）
A．∠B＝90° B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
【答案】A
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只
需添加条件是对角线相等或有一内角为直角即可．
【详解】
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：对角线相等（AC＝BD）或有一个内角等于90°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理与矩形的判定定理．掌握对角线相等的平行四边形是矩
形；有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．14．如图：矩形 的对角线 、 相较于点 ， ， ，若
，则四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据矩形的性质可得OD＝OC，由 ， 得出四边形OCED为平行四边形，
利用菱形的判定得到四边形OCED为菱形，由AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD．
∵AC＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1．
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形．
∵OD＝OC，
∴四边形OCED为菱形．
∴OD＝DE＝EC＝OC＝1．
则四边形OCED的周长为4×1＝4．
故选：B．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解
本题的关键．
15．如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，已知 ， ，则矩形对角线 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质得到OA=OB=OD，结合 得到 ，进
一步得到BD=2AB．
【详解】
因为四边形 为矩形，
所以 ，
，
，
所以 ，
所以 ，
因为
所以
因为 ，
所以 ，
故 ．故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和含 的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质
和矩形的性质进行求解．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，
EF⊥CD于点F，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】
根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积
公式解答即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴ ，
∵D是AB的中点，
∴BD=DC=AD=5， ，
如图，连接DE，
∵E是BC的中点，
∴ ，
∵∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形的面积平分是
解题关键．
17．如图，折叠长方形的一边 ，使点D落在 边的点F处，已知 ，
则 （ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
∵四边形 为矩形，∴ ．由题意得: ，
设 ，则 ．由勾股定理得: ，∴
．由勾股定理得: ，解得 ．
18．求证：有三个角是直角的四边形是矩形
已知：如图，
求证：四边形 是矩形证明：∵
∴ ，
∴ ， （①）
∵
∴四边形 是矩形（②）
在证明过程中，依据①、②分别表示（ ）
A．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示对角线相等的平行四边形是矩形
B．①表示两直线平行，同旁内角互补：②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．①表示同旁内角互补，两直线平行，②表示有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．①表示同旁内角互补，两直线平行：②表示对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】C
【分析】
， ，表示的是同旁内角互补，推断直线平行，进而判断四
边形是平行四边形；然后根据直角，进而判断出四边形是矩形．
【详解】
①根据 ， ，推导出直线平行，利用了同旁内角互补，两直
线平行；②根据平行四边形和直角推导出矩形，利用了有一个角是直角的平行四边形是矩
形的定理；
故选：C．【点睛】
本题考查了平行线定理、平行四边形证明定理、矩形证明定理的相关知识，对数学定理的
熟记活用是解决问题的关键．
19．如图，在 中， ， 是角平分线， 是中线，则 的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
由等腰三角形的性质推出 ，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得 ．
【详解】
解：∵ ， 是角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决
问题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝ CD，若△ABD的中线BF＝2，则AC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
取AC的中点E，连接EF，DE，由三角形中位线定理得出EF∥BC，EF＝ DC，证明四边形
BDEF是平行四边形，由平行四边形的性质得出BF＝DE＝2，由直角三角形的性质得出答案．
【详解】
解：取AC的中点E，连接EF，DE，
∵BF是中线，
∴EF∥BC，EF＝ DC，
∵BD＝ CD，
∴EF＝BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE＝2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴DE＝ AC，
∴AC＝2DE＝4.
故选：B．【点睛】
此题主要考查三角形内线段长度求解，解题的关键是熟知平行四边形的判定及中位线的性
质．
21．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是 ， ，点C为线段
的中点，则 的长等于（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】A
【分析】
由点的坐标可OA=4，OB=2，根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半求解即可．
【详解】
解：∵A（4，0），B（0，2）
∴OA=4，OB=2，
在Rt△AOB中，
∵点C为AB的中点，
∴OC=
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟
练掌握以上知识是解答此题的关键．22．如图所示，点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点．若 ，
，则 的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
【答案】C
【分析】
易知OE是中位线，则 ，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得 ，
在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝10，根据矩形性质可求BO＝5，从而求出△BOE周
长．
【详解】
点 是矩形 的对角线 的中点，点 为 的中点，
∴ ， ，∴ ．
在 中，利用勾股定理求得 ．
在 中，利用勾股定理求得 ，
∴ ．∴ 的周长为 ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形
的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
23．如图，在 中， ，点D是斜边 的中点， ，垂足为
E，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，点D是斜边 的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故选：C．24．如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置，
的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形
的外角性质求出答案即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片 沿 折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，
∵ 是△EFG的外角，
∴ =∠GEF+∠EFG=128︒
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相
等，由三角形外角的性质求解．
25．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， 于点 ，交
于点 ，若 的周长为5， ，则 的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由矩形的性质可得AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BC＝AD，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵△ABE的周长为5，
∴AB+AE+BE＝5，
∴2+BC＝5，
∴BC＝3＝AD，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
26．如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 相交于点 ，过点
作 交 于点 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
连接 ，利用垂直平分线的性质可得 ，设 ，利用勾股定理列出方程，
结论可得．
【详解】
解：连接 ，如图，
是矩形，
，
，
为线段 的垂直平分线．
，
设 ，则 ，
，
在 中，
，．
解得： ．
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和勾股定理．利用勾股定理列出方程
是解题的关键．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，
且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点O，利用勾股定理求出AC，利用中位线求出OF，利用直角三
角形斜边中线求OE即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝ ，
∵AO＝OC，CF＝FD，∴OF＝ AD＝ BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝ AC＝ ＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF ＝4+5＝9．
最大
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线，掌
握矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，O、E、F三点共线是解题关键．
28．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，
若OA＝4，S ＝24，则OH的长为（ ）
菱形ABCD
A．.2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
由菱形的性质得出OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，则AC=8，由直角三角形斜边上的中线性质
得出OH= BD，再由菱形的面积求出BD=6，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=8，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，∴OH= BD，
∵菱形ABCD的面积= ×AC×BD= ×8×BD=24，
∴BD=6，
∴OH= BD=3；
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜
边上的中线性质求得OH= BD．
29．在 中， ， 、 分别为 边上的高和中线，若
，则 的度数为______．
【答案】35或55
【分析】
分AC>BC，AC<BC两种情况讨论，利用已知条件判定△ECB是等腰三角形，根据等腰三角形
的性质和三角形内角和定理求得答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，
∴CE=BE=AE，
∴∠BAC=∠ECA，
∵∠ECD=20°，
∴∠CED=90°-∠ECD=70°．
当AC>BC时，如图：∠BAC =∠ECA= ∠CED=35°；
当AC<BC时，如图：
∠BAC =∠ECA= =55°；
综上，∠BAC 的度数为35°或55°．
故答案是：35°或55°．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理．在直角三角形中，斜边上的中
线等于斜边的一半．
30．已知矩形 ，点 在 边上， ，连接 ，将 沿着 翻折
得到 ，射线 交 于 ，若点 为 的中点， ， ，则 的
长______．
【答案】1
【分析】
先设 ，根据 ， ，可得 ， ，再根据
，可得 ，进而得出方程 ，即可得到 的长．
【详解】
解：设 ，， ，
， ，
又 为 的中点，
，
由折叠可得， ，
由 ，可得 ，
，
，
，
解得 ，
即 ，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
31．如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在
边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____．
【答案】1.5
【分析】
由折叠可得 ， ．再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF的长，从
而求出CF的长．设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列出关
于x的等式，解出x即可．【详解】
解：由折叠可知 ， ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴在 中， ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴在 中， ，即 ，
解得： ．
故EC的长为1.5．
故答案为1.5．
【点睛】
本题考查折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
32．如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形
ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
33．如图，在 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，
连接 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）已知 ， 是 的平分线，若 ，求平行四边形 的
面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由 是平行四边形， ，即可证明 且 ，即证明四边
形 是平行四边形，再ED⊥AB，得到BFDE为矩形．（2）由 平分 ， ，易证 ，即 ．再由含
角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出 ， ， ，最后
利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：∵ 是平行四边形，
∴ 且 ，
又∵ ．
∴ 且 ，
∴四边形 是平行四边形
又∵ED⊥AB
∴∠DEB=90°
∴四边形BFDE为矩形
（2）∵ 平分
∴
∵
∴
∴
又∵ 且
∴ ， ，
∴
∴ ．【点睛】
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，角平分线的性质，含 角的直角三角
形的性质以及勾股定理．掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
34．如图，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过 点作 的平行线
交 的延长线于 ，且 ，连结 ．
（1）求证： ．
（2）若 时，试证明四边形 是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那么AE=DE，
∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又
AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四
边形AFBD是矩形．
【详解】
证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
【点睛】
本题考查矩形的判定，关键是利用了矩形的判定、全等三角形的判定和性质、等量代换、
平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
35．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点A作AF∥BD，过点B作
BF∥AC，两线相交于点F．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）连接CF，交BD于点G，若BD⊥CF，请直接写出∠AED的度数为 度．
【答案】（1）证明见解析；（2）60
【分析】（1）根据矩形的性质得到AE=BE，然后证得四边形AEBF为平行四边形即可；
（2）连接EF，由题意推出 AFC为直角三角形，从而结合“斜中半”定理以及菱形的性质推
出 AEF为等边三角形，从而△求出角度即可．
【△详解】
（1）∵四边形ABCD 为矩形，对角线AC与BD相交于点E，
∴AE=BE，
又∵AF∥BD，BF∥AC，
∴四边形AEBF为平行四边形，
∵AE=BE，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）如图所示，连接EF，
∵BD⊥CF，AF∥BD，
∴AF⊥CF，∠AFC=90°，
∵E为AC的中点，
∴在Rt△AFC中，AE=FE=CE，
又∵四边形AEBF为菱形，
∴AE=AF，
∴AE=AF=FE，即： AEF为等边三角形，
∴∠AEF=60°， △
根据菱形的性质可得，∠BEF=∠AEF=60°，
∴∠AED=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查矩形的性质以及菱形的判定与性质，理解并掌握各类图形的基本性质以及判定方法是解题关键．
36．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE
的延长线于点F．
（1）求证： AEF≌△DEB；
（2）证明四△边形ADCF是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定
义判定即可．
【详解】
（1）∵ ，
∴ ，
∵E是AD的中点，
∴ ，
在 AEF与 DEB中，
△ △
∴ ；
（2）由（1）可知， ，
∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵ ABC为直角三角形，
△
∴ ，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等
于斜边的一半是解题关键．
37．已知：四边形 中， 为对角线， ， ，
．
（1）如图，求证：四边形 是矩形．
（2）如图，将 沿着对角线 翻折得到 ， 交 于点 ，请直接写出
图中所有的全等三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2） ； ；
； ．
【分析】
（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形 是平行四边形，
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可直接证得结论．（2）根据对折性质可证 ，根据平行四边形对边相等可证
，根据HL定理可证 ，根据对折性质和平行四边形性质
可证 ，进而证得 ，根据AAS可证 ．
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
∵在 中， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2） ； ； ； ．
∵ 沿着对角线 翻折得到 ，
∴
∴ (SSS)；
根据上题结论四边形 是矩形，∴
∴ (SSS)；
在 、 中，
∵
∴ （HL）；
∵ ，
∴ ，
∵将 沿着对角线 翻折得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 、 中，
（AAS）．
【点睛】
本题考查了矩形性质与判定定理，全等三角形的判定定理，掌握矩形性质与判定定理及全
等三角形判定定理是解题关键．
38．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上－点，DF＝DC，DF⊥AE于P．若AB＝3，AF＝4，
求EC的长．【答案】1
【分析】
根据矩形的性质可得∠AFD=∠B，AB=DF，由AAS证明 ABE≌△DFA，得出AE=BC，
BE=AF=4，由勾股定理求出AE=5，得出BC=5，即可得出△答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD//BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF＝DC，
∴AB＝DF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
在△ABE和△DFA中，
∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD，AB＝DF
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴BE＝AF＝4，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC．
∵∠B＝90°，
∴AE＝ ，
∴BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握矩形的性质，
证明三角形全等是解决问题的关键．39．如图所示，把一张矩形ABDC纸片沿对角线BC折叠，重合部分 是什么图形，试
说明理由；若AB=4，BD=8，求AF的长．
【答案】等腰三角形，见解析，3
【分析】
由题意易得∠CBD=∠FBC，AC∥BD，进而可得BF=CF，设AF=x，则BF=CF=8-x，然后根据勾
股定理可求解．
【详解】
解：重叠部分 BCF为等腰三角形，
理由如下：由△折叠及矩形的性质可知∠CBD=∠FBC，AC∥BD，
∴∠FCB=∠CBD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF，
∴重叠部分 BCF为等腰三角形，
设AF=x，则△BF=CF=8-x，
在直角三角形ABF中，由勾股定理得AB2+AF2=BF2，即42+x2=(8-x)2
解得：AF=x=3．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与判定、折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握
等腰三角形的性质与判定、折叠的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
