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专题 03 图形的平移与旋转必刷常考题
选择题必练
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．4．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′
的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′
的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
6．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
7．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角
度到A BC 的位置，使得点A，B，C 在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
1 1 1
A．120° B．90° C．60° D．30°
8．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为
1 1
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
9．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图
形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
10．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M N P ，则其旋
1 1 1
转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°．将△ABC绕着点 B逆时针方向旋转得
△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝（ ）A．90° B．80° C．75° D．70°
12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转
60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）
A．2﹣ B． C． ﹣1 D．1
填空题必练
13．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定
角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
15．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，D 是 BC 的中点，将△ABD 绕点 A 旋转后得到
△ACE，那么线段DE的长度为 ．
解答题必练
16．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A B C ．
1 1 1
（2）将△A B C 向右平移4个单位，作出平移后的△A B C ．
1 1 1 2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使PA +PC 的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，
1 2
直接写出结果）17．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ．将△BOC绕点C按顺
时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． α
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
α
19．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针
方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之
间关系的等式，并加以证明．专题 03 图形的平移与旋转必刷常考题
选择题必练
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′
的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（ ）A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′
的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，
∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．
故选：C．
6．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【答案】
【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．故选：D．
7．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时针方向转动一个角
度到A BC 的位置，使得点A，B，C 在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
1 1 1
A．120° B．90° C．60° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC＝60°，
∴旋转角∠CBC ＝180°﹣60°＝120°．
1
∴这个旋转角度等于120°．
故选：A．
8．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为
1 1
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
故a+b＝2．
故选：A．9．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图
形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【答案】D
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
10．在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M N P ，则其旋
1 1 1
转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M N P ，
1 1 1
∴连接PP 、NN 、MM ，
1 1 1
作PP 的垂直平分线过B、D、C，
1
作NN 的垂直平分线过B、A，
1
作MM 的垂直平分线过B，
1
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．
故选：B．
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝40°．将△ABC绕着点 B逆时针方向旋转得
△DBE，其中AC∥BD，BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，则∠FBG＝（ ）
A．90° B．80° C．75° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝40°，
∴∠CAB＝∠CBA＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
由旋转的性质得：△ABC≌△DBE，
∴∠C＝∠E＝40°，∠CAB＝∠CBA＝∠EBD＝∠D＝70°，BC＝BE，AC＝DE，
∵BF、BG分别为△ABC与△DBE的中线，
∴CF＝ AC，EG＝ DE，
∴CF＝EG，
∴△BCF≌△BEG（SAS），
∴∠CBF＝∠EBG，
∵AC∥BD，∠CAB＝∠EBD＝70°，
∴A在BE上，
∴∠FBG＝∠ABF+∠EBG＝∠ABF+∠CBF＝∠CBA＝70°，
故选：D．
12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转
60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ ）A．2﹣ B． C． ﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB＝BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′＝∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝ ，
∴AB＝ ＝2，
∴BD＝2× ＝ ，
C′D＝ ×2＝1，
∴BC′＝BD﹣C′D＝ ﹣1．
故选：C．填空题必练
13．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
【答案】 （﹣ 2 ， 3 ）
【解答】解：根据中心对称的性质，得点 P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是
（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
14．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定
角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
【答案】 1.6
【解答】解：由旋转的性质可得：AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵AB＝2，BC＝3.6，
∴CD＝BC﹣BD＝3.6﹣2＝1.6．
故答案为：1.6．
15．如图，在等边△ABC 中，AB＝6，D 是 BC 的中点，将△ABD 绕点 A 旋转后得到
△ACE，那么线段DE的长度为 ．【答案】3
【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝ABcos30°＝6× ＝3 ．
根据旋转的性质知，∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠EAC+∠CAD＝60°，
∴△ADE的等边三角形，
∴DE＝AD＝3 ，
即线段DE的长度为3 ．
故答案为：3 ．
解答题必练
16．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A B C ．
1 1 1
（2）将△A B C 向右平移4个单位，作出平移后的△A B C ．
1 1 1 2 2 2
（3）在x轴上求作一点P，使PA +PC 的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，
1 2
直接写出结果）【解答】解；（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：作出A 关于x轴的对称点A′，连接A′C ，交x轴于点P，
1 2
可得P点坐标为：（ ，0）．
17．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ．将△BOC绕点C按顺
时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． α
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形？
α【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：当 ＝150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将α△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∵∠ ＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠αAOD＝360°﹣∠ ﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°，
∴△AOD不是等腰直α角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣ ＝190°﹣ ，∠ADO＝ ﹣60°，
∴190°﹣ ＝ ﹣60°， α α α
∴ ＝125α°；α
②α要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．
∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣ + ﹣60°）＝50°，
∴ ﹣60°＝50°， α α
∴α＝110°；
③α要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣ ＝190°﹣ ，
α α
∠OAD＝ ＝120°﹣ ，
∴190°﹣ ＝120°﹣ ，
α解得 ＝140°．
综上所α述：当 的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
19．如图，等腰直α角△ABC中，∠ABC＝90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针
方向旋转90°后得到△CBQ．
（1）求∠PCQ的度数；
（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，求PQ的大小；
（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映PA2，PC2，PB2之
间关系的等式，并加以证明．
【解答】解：（1）由题意知，△ABP≌△CQB，
∴∠A＝∠ACB＝∠BCQ＝45°，∠ABP＝∠CBQ，AP＝CQ，PB＝BQ，
∴∠PCQ＝∠ACB+∠BCQ＝90°，∠ABP+∠PBC＝∠CPQ+∠PBC＝90°，
∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．
（2）当AB＝4，AP：PC＝1：3时，有AC＝4 ，AP＝ ，PC＝3 ，
∴PQ＝ ＝2 ．
（3）存在2PB2＝PA2+PC2，
由于△BPQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝ PB，
∵AP＝CQ，∴PQ2＝PC2+CQ2＝PA2+PC2，
故有2PB2＝PA2+PC2．
