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专题05构造新图或用公式求函数值
1．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照
如图所示的方法折叠（如图①②③）：
重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察
之后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请你直接写出tan67.5°=_____．
【答案】
【分析】设EC=x，根据折叠的性质求出∠BEC=67.5°，DE= x，根据正切的概念计算即可．
【详解】设EC=x，
由折叠的性质可知，EF=EC=x，∠BFE=∠C=90°，∠BDC=45°，∠EBC=22.5°，
∴DE= EF= x，∠BEC=67.5°，
∴CD= x+x，
由正方形的性质可知，BC=CD= x+x，
∴tan67.5°=tan∠BEC= =
故答案为
【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，掌握翻转变换是一
种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键
2．阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在 中， ， ，则
______小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形 如图 ，他发现 不是特殊角，但它是特殊角
的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题 于是小天尝试着在CB边上截取
，连接 如图 ，通过构造有特殊角 的直角三角形，经过推理和计算使问题得到
解决．
请回答： ______．
参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰 中， ， ，请借助 ，构造出 的角，并求出该角
的正切值．
【答案】 ,2- .
【分析】如图2，设 ， 为等腰直角三角形，则 ，易得
，所以 ，再在 中，利用正切定义可计算出
，即 ；
如图3，延长BA到D，使 ，则 ，则 ，利用三角形外角性质易
得 ，作 于H，设 ，利用含30度三边的关系得到 ， ，
则 ， ，然后在 中，利用正切的定义可计算出
，即 ．
【详解】解：如图2，设 ，则 ，， ，
，
，
，
，
在 中， ，
即 ；
故答案为 ； ；
如图3，延长BA到D，使 ，则 ，
，
，
，
作 于H，设 ，则 ， ，
，
，
在 中， ，
即 ．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角
三角形 解决本题的关键是构建含 度和15度的直角三角形．
二、解答题
3．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了
浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan
∠A（填“＝”或“≠”）；
(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan ∠A；
小明想构造包含 ∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝ ∠A，即转
化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ．求tan2A的值．
【答案】(1) ， ，≠
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；
（2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论；
（3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求
出EC，求tan∠BEC得结果．
(1)解：tan60°＝ ，tan30°＝ ，
发现结论：tanA≠2tan ∠A
故答案为： ， ，≠；
(2)
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB= = ，
如图1，延长CA至D，使得DA=AB，
∴AD=AB= ，
∴∠D=∠ABD，
∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+ ，
∴tan ∠A=tan∠D= ；
(3)
如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=∴BC=1，AB= ，设AE=x，则EC=3-x，
在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x= ，
即AE=BE= ，EC= ，
∴tan2A=tan∠BEC= ．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三
角形中添加辅助线构造2∠A是解题的关键．
4．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有
关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan
∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan ∠A的值；小明想
构造包含 ∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝ ∠A，
即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝ ．
①tan2A＝ ；
②求tan3A的值．
【答案】（1） ， ，≠；（2） ﹣2；（3）① ；② .
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；
（2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论；
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果；
②作BM交AC于点M，使∠MBE=∠EBA，则∠BMC=3∠A．利用角平分线的性质和勾股定理求出
EM的长，求tan∠BMC得结果.
【详解】（1）tan60°＝ ，tan30°＝ ，
发现结论：tanA≠2tan ∠A，
故答案为 ， ，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝ ＝ ，
如图1，延长CA至D，使得DA＝AB，
∴AD＝AB＝ ，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+ ，
∴tan ∠A＝tan∠D＝ ＝ ﹣2；
（3）①如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝ ，∴BC＝1，AB＝ ，
设AE＝x，则EC＝3﹣x，
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝ ，即AE＝BE＝ ，EC＝ ，
∴tan2A＝tan∠BEC＝ ＝ ，
故答案为 ；
②如图3，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，
则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．
设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝ ﹣y，
∵∠MBE＝∠EBA，
∴ ，即 ，
∴BM＝ y，
在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2
即（ y）2＝（ ﹣y）2+1，
整理，得117y2+120y﹣125＝0，
解得，y ＝ ，y ＝﹣ （不合题意，舍去）
1 2
即EM＝ ，CM＝ ﹣ ＝ ，
∴tan3A＝tan∠BMC＝ ，＝ ＝ ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角
三角形中作辅助线构造2∠A、3∠A是解决本题的关键．
5．阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 中，
，求 （用含 的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
则 ，然后利用锐角三角函数在 中表示出 ，在 中表示出 ，
则可以求出 ．
阅读以上内容，回答下列问题：
在 中， ．
（1）如图3，若 ，则 __， _____；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 的式子表示）．【答案】（1） ； ；（2）
【分析】（1）根据勾股定理求得 ，再根据三角函数的定义即可求得 和 ，再根据
求解即可；
（2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 ， ，在
中表示出 ，勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理可得：
由三角函数的定义可得 ，
由材料可得：
故答案为 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，如下图：
则 ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
则
则
故答案为
【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形．
6．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了
浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道： ______， ______，发现结论： ______ ；
（选填“=”或“≠”）
（2）实践探究：如图1，在 中， ， ，求 的值；
小明想构造包含 的直角三角形：延长 至点D，使得 ，连接 ，所以得到
，即转化为求 的正切值．请按小明的思路进行余下的求解；
（3）拓展延伸：如图2，在 中， ．求 的值．
【答案】（1） ， ，≠；（2）见解析；（3）
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得出结论；
（2）根据题意，利用勾股定理求AB，即可得结论；
（3）作 的垂直平分线交 于点E，连接 ，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理
求出EC，求 即可得结果．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ≠ ，
故答案为： ， ， ≠；
（2）在 中， ，∴ ，
如图1，延长 至点D，使 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图2，作 的垂直平分线交 于点E，连接 ．
则 ．
∵ 中， ．
∴ ．
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，难度较大，在直角三
角形中作辅助线构造2∠A是解决本题的关键．
7．同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
例：sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝
(1)试仿照例题，求出cos 15°的准确值；
(2)我们知道，tanα＝ ，试求出tan 15°的准确值．
【答案】(1)cos 15°= ；(2)tan 15°＝2－ .
【分析】根据题目所给公式进行解答即可，（1）把15°化为45°-30°直接代入三角函数公式：cos
（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ计算即可；（2）把tan15°代入tanα= ，再把（1）及例题中的数值
代入即可．
【详解】(1)cos 15°= cos (45°-30°)=cos45°cos 30°＋sin45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ ；
(2)tan 15°＝ ＝ ＝2－ .
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三
角函数值来求解．
8．对钝角α，定义三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．
(1)求sin120°，cos120°的值；
(2)若一个钝角三角形的三个内角比是1：1：4，点A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是
方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
【答案】（1） ， ；（2）0，30°，120°．
【分析】(1)按照题目所给的信息求解即可;
(2)分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°，∠B=30°时;
③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可.
【详解】（1）
(2)三角形的三个内角的比是1:1:4,三个内角分别为30°,30°,120°，
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ，
将 代入方程得: 解得:m=0,经检验 是方程 的根,m=0符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 ，不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 ，将 代入方程得: 解得:m=0,经检验
不是方程4x2-1=0的根.
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解方程，解决本题的关键是正确理解题意，根据新的
运算计算120°的正弦、余弦值.
9．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：① ；②
；③ ．利用这些
公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．
【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求 的值；
(2)如图，一架直升机在一建筑物 上方的点 处测得建筑物顶端点 的俯角 为 ，底端点
的俯角 为 ，此时直升机与建筑物 的水平距离 为 ，求建筑物 的高；
(3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点 处往正东方向飞多远，居
民在点 处看飞机的仰角恰好是 ．
【答案】(1)
(2)84米
(3)飞机再飞168米可使点 看飞机的仰角为
【分析】（1）根据 ，可求 的值；
（2）根据 求得AB，再根据ED= 求得A、E两点垂直距离ED，最
后CD的长即可求得；
（3）延长 交 于点 ，作 交 于点 ，并使 ，根据 可
求EF的值，即可求解．
（1）
解：
；（2）
解：如图，延长 交 于点 ，
∵ ， 米，
∴
米，
∵ ， 米
∴ 、 垂直距离为ED= 米，
∴ 米．
答：建筑物 的高为84米．
（3）
解：延长 交 于点 ，
作 交 于点 ，并使 ，∴ 米，
由（2）得 、 垂直距离 米，
∵ ，
，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米．
答：飞机再飞168米可使点 看飞机的仰角为 ．
【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三角
函数并结合图像解直角三角形．
10．阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ ； tan(α±β)=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
例：tan15°=tan(45°−30°) = =
根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题
(1)计算sin15°；
(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图）,小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度,小华站
在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助
小华求出该信号塔的高度.(精确到0.1米,参考数据： ≈1.732, ≈1.414)【答案】（1） ；（2）27.7．
【分析】（1）把15°化为45°-30°以后，再利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出
sin15°的值；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
【详解】(1)sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=
(2)在RT BDE中，DE=AC=7，
∠BDE=7△5°，
tan∠BDE=BEDE，
∴BE=DEtan∠BDE=DEtan75°，
∵tan75°=tan(45°+30°)= =
∴BE=7( )≈26.12，
∴信号塔AB的高度≈26.12+1.62≈27.7(米)，
答：该信号塔AB的高度约为27.7米.
【点睛】本题考查了：
（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的
三角函数值来求解．
（2）解直角三角形的应用-仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键．
11．阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1．sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得
∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin
45°cos 30°-cos 45"sin 30°=
任务∶
（1）计算∶sin 75°=_____
（2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2 一2，求 AB和BC的长．
【答案】（1） ；（2）AB= ，BC=
【分析】（1）根据题目中给的公式计算即可；
（2）过点A作AD⊥BC，根据题目中的三角函数值即可求得AB和BC的长．
【详解】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
＝
＝ ，
故答案为： ．
（2）解：过点A作AD⊥BC于D，在BC上找一点E，使BE=AE，
∵∠C＝45°，AC=2 一2，
∴∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，，即 ，
∴AD＝ ，
∵∠B＝15°， ，即 ，
∴AB＝ ，
∵BE=AE，
∴∠B＝∠EAB＝15°，
∴∠AED＝30°，
∴AE＝2AD＝ ，
，即 ，
∴ED＝ ，
CB＝ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形和三角函数公式，解题关键是理解题目中的三角函数公式并运
用它求值，恰当构建直角三角形求边长．
12．阅读材料：
一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan
（α±β）= ．
例如：tan15°=tan（45°﹣30°）= = == = ．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求tan75°的值；
（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔，文峰塔的木塔年久倾毁，仅
存塔基，1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用
所学知识来测量该铁搭的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的
仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确
到1米，参考数据 ≈1.732， ≈1.414）
【答案】（1） ；（2）23．
【详解】试题分析：（1）利用题中的公式和特殊角的三角函数值计算75度的正切值；
（2）如图2，先在Rt△BDE中利用正切的定义计算出BE，然后计算BE+AE即可．
（1）tan75°=tan（45°+30°）= = = = ；
（2）如图2，易得DE=CA=5.7，AE=CD=1.72，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE= ，
∴BE=DEtan75°=5.7×（ ）≈21.2724，∴AB=BE+AE=21.2724+1.72≈23（m）．
答：文峰塔AB的高度约为23m．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与
已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中
边角关系问题加以解决．
