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2008年数学(三)真题解析
一、选择题
(1) 【答案】(B).
【解】 因为 lim ------------= lim/(jr ) =/(0),
工~ JC
0 x*O~
所以工=0为gQ)的可去间断点，应选(B).
方法点评：本题考查函数在一点处连续与间断的判断.
若lim/(j; ) #：/(«)，则于(工)在x =a处间断，间断，虽分为如下两类：
(1) 当f (a —0) ,f (a +0)都存在时，称x = a为/(z)的第一类间断点,其中当f(a —0)=
/(a +0)时，称工=a为/'(•z)的可去间断点；当/(a —0) # /(« +0)时，工=a为/(je)的跳
跃间断点；
(2) 当f(a — 0) if (a + 0)至少有一个不存在时，称x —a为/(jc )的第二类间断点.
(2) 【答案】(C).
【解】 因为[—JcfCx) — [ /(j: )dj; =af(a) — [ f ,
J 0 J 0 0 Jo < c
又因为"(a)为矩形OBAC的面积，[“于&)血为曲边梯形OBAD的面积，所以 J xf\x )dz
J 0
表示曲边三角形ACD的面积，应选(C).
方法点评：本题考查定积分的几何应用.
当曲线y )位于工轴上方时，『/'(H)d工的值即为曲边梯形面积的值；当曲线
夕=f(x)位于工轴下方时，「于(工)(1工的值等于曲边梯形面积值的相反数.
J a
(3) 【答案】(E).
【解】 因为lim于& ‘°)_」门_ 1不存在，所以/：(0,0)不存在，
JC x
x->0 x-*o
2
又因为 lim----= lim -------------------- =。9所以 (0,0)
y—o y lo y
(4) 【答案】(A).
\x = rcos 9 ,
【解】令 则0口={(厂90)丨0€0£匸91€厂€况}9
\y = r sin 9 9
F(",Q)=r/(r2)dr =^p/(r*2 )3d 4r ,
Jo J i r J
1
3F
于是—=vf Cu2 )，应选(A).方法点评：本题考查二重积分计算的极坐标法及变积分限函数的求导.
具有如下两个特征时，通常使用极坐标法计算二重积分：
(1) 积分区域的边界曲线函数中含川+/；
(2) 被积函数中含x2 .
(5)【答案】(C).
【解】 方法一 因为所以E=E-A3 = (E-A)(E+A+A2)，由矩阵可逆的定义
得 E-A 可逆，同理由 E=E+A3 = (E+A)(E-A+A2),M E+A 可逆，应选(C).
方法二 令 AX =AX(X 7^ 0),
由 A3 =O 得"X =A3X =0,
因为X工0,所以入b = 0,即A的特征值为A j =A 2 = ••• = A „ = 0,
则E -A与E +A的九个特征值都为1,故E-A,E+A都可逆，应选(C).
方法点评：本题考查矩阵可逆及逆矩阵的定义.
设A为"阶矩阵,若存在n阶矩阵B ,使得AB =E，则称A可逆，且B称为A的逆阵.
【例】 设A为7?阶矩阵，且A2-A+E= O,证明：A+E可逆，并求其逆阵.
【解】由 A2~A+E= O,得(A+E)(A — 2E) + 3E=O,
于是(A+E) - *(2E —A)=E,故 A+E 可逆，且(A+ E)^=~(2E~A).
3 a
(6)【答案】(D).
入 一 ] 一 2
【解】 由\XE~A | = =A2 — 2A —3—0,得入i= —1,入2=3,即A的正、负
一 2 A — 1
惯性指数都是1.
_ 2 ] \ 入 + 2 _ ]
)，由 =^'+4入+3=0,得特征值为入i= —1,入2=—3,正惯
1 - 2/ - 1 A +2
性指数为0,负惯性指数为2,不与A合同；
/ 9 — ]\ 入 一 £ ]
对( )，由 =入2—4入十3=0,得特征值为入1=1,入2=3,正惯性指
\一 1 2) 1 A - 2
数为2,负惯性指数为0,不与A合同；
/2]\ 入 一 2 —]
对] )，由 =入2—4入+3=0,得特征值为入1=1,入2 =3,正惯性指数为2,
4 2/ -1 A-2
负惯性指数为0,不与A合同；
_ J , -1 2
对「 由 =A2 — 2A —3=0,得特征值为A ! =一1,入2 = 3,正、负
2 1 / 2 A — 1
惯性指数都是1,与A合同，应选(D).
(7)【答案】(A).
【解】 Fz(z)=P{ZWz}=P{ max(X ,Y) x } = P {X W 工，Y Wz}
= P{X = F2(jc),
应选(A).方法点评：设(X,Y)为二维随机变量，Z=°(X,Y)为(X,Y)的函数.求Z的分布时,
一般采用定义法.即
Fz(z) = P{Z《z} = P{°(X,Y) £ z}.
如下两种常见的随机变量的函数的分布需要熟练掌握：
(1) Z = max{X ,Y}.
Fz(z) =P{Z £ z} =P{max{X,Y} z} = P {X < z ,Y < x},
若X,Y相互独立，则
Fz(z) =P{X < z,Y < z} =P{X < ^}P{Y < z} =Fx(z)Fy(z).
(2) Z = min{X ,Y}
Fz(z) = P {Z Wz} = P {min{X , Y} £ z}
=1 -P{min{X,Y} > z} =1- P{X > z ,Y > z},
若X,Y相互独立，则
Fz(z) =1-P{X > z}P{Y> z} =1 -：1-P{X < z}]・[l — P{Y£z}]
=1 — [1 — Fx(Z)] • [1 — Fy(Z)l.
(8) 【答案】(D).
【解】由pXY = 1 得 P{Y=aX +b} =1,其中 a > 0,
从而 E(Y) =aE(X)+b,D(Y) =/D(X),
0 = 1 9
再由 X 〜N(0,l),Y 〜N(l,4)得, 解得 a =2,6=1,应选(D).
U* 2 =4,
方法点评:(l)pxY = 1的充分必要条件是P {Y =aX +6} =l(a > 0)；
(2)pxy= —1 的充分必要条件是 P {Y —aX + 6} =1(<2 V0).
二、填空题
(9) 【答案】1.
2
【解】 /(c —0) = /(c) =c2 + 1, /(c + 0)=—，因为/ (工)在 x —c 处连续，
C
9
所以C2 + 1=-，解得c=l.
C
(10)【答案】 —In 3.
•Z +丄
. 3 工---
【解】由/•(#+丄)=音务=——V X
9得于(工)
2
1 + 工 jc2 _ 2
\ X / 2 , 1 -2
* F X
3C
'242 '242 T 1 242 1
于是 /(jc )dj?= —；------djr = —ln(j? 2 — 2) = yln 3.
2 X2 -2 2 2 厶
(11)【答案】F
【解】方法一由对称性得
jJ(j?2 — 3/) d:c dj/ =jjjc2 dj? dy = 1 2 + 3/2 ) ddj/ = | 2k 3dr =4-
D D 2JJ D 0 0 4方法二 由奇偶性得
•2n fl
一夕)dr djy d<9 r3 cos2 0 dr
0 J 0
D
丄 IL =r cos钿刖=£x£ 7T
I cos'0 d0 cos'OdO J
0 J o 2 2
方法点评：本题考查二重积分的以下几个知识点：
(1) 对称性与奇偶性的应用；
(2) 极坐标变换计算二重积分.
(12)【答案】丄.
3C
r
【解】 方法一 由2夕'+ y — Q,得(工夕)'=0,即xy = C，或y = — .
JC
由夕(1)=1,得C = l,于是y .
x
方法二 由 zj/+ _y=0,得学• +丄 y=0,解得 y =Ce =—.
d_z x . x
由了(1) =1,得C = 1,于是夕=丄.
工
(13)【答案】3.
【解】 因为A的特征值为1,2,2,所以A-】的特征值为1,** 1, * ;
于是4A_1-E的特征值为3,1,1,故|4AT—=3.
方法点评：本题考查关联矩阵特征值之间的关系及特征值的基本性质.
设 A 为九阶矩阵，且 Aa=Aoa ,又设 f(A ) =a”A"+a”_iA"i ------aiA+a()E,则
(1) /(A)a = /(A0)a；
1
(2) 若 A 可逆，则 A'^a = —a,A
.. --. ^ ' - '■ ■:
(3) 设A的特征值为入1，入2,…，入
(14)【答案】 士.
【解】 设 X 〜P(l)，则 E(X)=D(X)=1,于是 E(X2) = D(X) + [E(X)]2 = 2,
故 P {X = 2} = -y-e-1 = .
厶! Ze
三、解答题
sin x 一 x
1 sin x [. 1 , . sin x — x \ .. x sin x —x
(15)【解】方法一 lim—In------= lim —Ini 1 H----------------I = lim--------------= lim-------------
X 工 00 丿 HfO X X
^•-*0 o \ X—0
cos X — 1 丄
3jc2sin x x cos x — sin x
In------- ------- •-----------;---------
1 [ sin jc jc v sin r x
方法二 lim —yin--------= lim--------；----= -----------------云-----------
x x-^Q x C3C
x*0- JC x*0-
1 cos x 一 x sin jc 一 cos x 1
机----------
方法点评：本题考查不定型极限的计算.不定型极限计算过程中通常需要掌握如下几个
习惯性的做法；
(1) 题中出现"(工”⑺ 时，通常化为e^)lnMU);
(2) 题中出现指数函数时，通常使用/ — I〜△ (△〜())；
(3) 题中出现对数函数时，通常使用ln(l + A)〜△ ( △ — ()).
(16)【解】(I )方法一 jc 2 + y2 一 z —(p{jc + 3/ + z)两边对X求偏导，
，解得J=芋,由对称性得字-皱二^
得 2j?—产=(p' • fi)
dx 】+ dx 丄十爭 dy 1+卩'，
工曰」 .3Z」 生二+字二 gd 八
于是血=狂山+石曲 ]+忙“，1 + ^
方法二 X2 + ^2 —z —(p{x y +z)两边求微分,
得 2工 dz + 2y Ay — Az =(pr • (dz + dy + dz ),
2工 _ ©、 , —(pr
解得dz =亍盯山+亓严・
方法三 令 F(_z ,夕，z) -X1 +)2 — N —申(工+夕+之)9贝4
dz FX fX 2 工—(pf 2 j? 一 心
djC xF 'z _ —1 一 cpf l + 卩‘
dz Ffy 2y — 19(1 +r)T +28(1 +r)~2 H------k (10 + 9“)( 1 + r )一" + …，
而 19(1 +r)_1 +28(1 + 厂厂彳 H-------h (10+ 9")(1 +『)一"+ …
1略讥)”
10
1
n—\
r1 0:―1+r +, i+9 7 十 § n /( r+1 ;\)
1_T+7
W +丄歹屛丄)"T,
r 1 + r ” = 1 (1 + r■丿
令 S(E ) = Y TlX "T (一 1 V 无 V 1 ) 9
n = 1
所以 00 卽讦 .. 丰) (l + r)2
7) =s
于是 A > —+ 9(1tr)=3 980(万元).
r r(20)【解】(I )方法一：数学归纳法
当”=1时,| A | =Dj —2a，结论显然成立;
设当 n —k 时，|A| =Dk — (k +1)«^ ；
当 n —k + 1 时，| A | = D屮=2aD丘—a2Dk i — 2,a (k + 1 )*a — kak+x
=2(怡 + 1 )ai+1 一 kak+x = Ck + 2*)a +1 ,
由数学归纳法，对一切的自然数"，有|A| =G + l)a".
2a 1 0 . • 0
2a 1 0 ・・・ 0 3a
0 1 . .0
a2 2a 1 ・・・ 0 T
方法二 • •・・・ = 0 ciJ 2a ••• 0
0 0 0 … 1 • $ :
0 0 0 ・・・ 2a 0 0 0 ••• 1
0 0 0 .•• 2a
2a 1 0 0
3a
0 1 • • • 0
T
4a
0 0 … 0
3 =(n + l)a".
0 0 0 ••• 1
(x + 1 )a
0 0 0 ••
n
(II )当r(A)=”或IA | #0,即a工0时，方程组有唯一解,
1 1 0 •'•- 0
0 2a 1 •'•• 0
Di _ n
由 Di = 0 a2 2a •'•- 0 =nan~l，得 z ]
D (z? + 1 )a
0 0 0 ••• 2a
(HI)当rCAXn或|A | =0,即a = 0时，方程组AX = b有无数个解,
'0 1 0 . .0 1'
0 0 1 . .0 0
0 0 0 . .1 0
0 0 0 . .0 0.
1 0 '
0 1
原方程组的通解为x= c 0 + 0 (C为任意常数)
0, 0,(21) 【解】(I )Aai =— 2 时,Fz(z) =1；
当一1 £ z < 2 时，
Fz(z) =P{X= -1} • P{X+Y — l£z<2,
故 fz(z)=j 3
k 其他.
(23)【解】(I )由 乂〜N 〃，空，得 E(5?)=d(乂)+ [E(x)]2 = —+^2,
' n ' n
_ i
2 2
再由 E(S2) =F ,得 E(T) =E(X2) - —E(S2) = —+/z2 - —=^2,
n n n
于是T = —— X 2 —— 1 匸为“2的无偏估计量.
n(U)当〃 =Oy = 1 时 9X 〜N(C)9 — ) 9 标准化得 X~N(O，1) 9 于是 nX2 ~ (1) 9
又 W !)— (n — 1) S2 〜— 1)9 且 X 与 S?独立 9 得
(T
一
1 1 —— 1
D(T) =D(X2)+-yD(S2) + —— D[(n — 1)S2]
n n n (n — 1)
2 , 25 — 1) 2 , 2 2
---- —I— ----------------------- = —I— --------------------- ------------------- .
n2 7?2 (n ——1 )2 n2 n2 (n ——1) n{n ——1)
