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2008年数学（二）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（D）.
【解】 方法一 f a） = 2工 G — 1）—2）+x* 2 {x—2） （x—1） — （4x2—9z+4）,
+j?2
由f'g = 0,得/（x）有三个零点，应选（D）.
方法二 /（O） =/（1） =/（2） =0,
由罗尔定理,存在& e（0,1）,乙e（1,2）,使得十（&）=厂（5）=o.
再由/（o）= o得十（工）至少有三个零点，因为FQ）为三次多项式，所以/■'（•z）恰好有
三个零点，应选（D）.
（2） 【答案】（C）.
【解】由分部积分公式得
[xfr （j： ）do- = f x d/（j;） =xfCx ） 一 J /（j： ）djr =af （a ） — | ） d j?,
J 0 J 0 0 Jo Jo
因为afM 为矩形OBAC的面积，p7（_z）ck为曲边梯形OBAD的面积，
所以「工y'Q）d_z表示曲边三角形ACD的面积，应选（C）.
J 0
方法点评：本题考查分部积分与定积分的几何应用.即当曲线
j/ ）（u <
j：
<6）
位
于 轴上方时， 表示曲边梯形的面积，当曲线 （.工 冬兀 位于久轴下
j? I /（a： ）dx y =f ）（a £b）
J a
方时，[ 表示曲边梯形面积的相反数.
f（jc）djc
J a
（3）【答案】（D）.
【解】 由微分方程的通解为夕=GJ +C2cos 2工+ C3sin 2_z，得三阶常系数齐次线性微分方
程的特征根为入1= 1,入2,3= 士 2i,特征方程为（入一1）（石+4） = 0,即A3-A2+4A-4= 0.
故所求的微分方程为yw 一『+ 4『一 4夕=0,应选（。）.
（4）【答案】（A）.
'n I " ' sin x的间断点.
【解】z=0及z=l为函数/(工)一-----n
丨工一1 |
.. ”/ 、 .. In x . .. In口 + ( — D]. .]
lim / (je ) = lim --------sm jc = 11m --------； 1 - - 一 --j -c X ---------sm x = — sm 1,
X—*■!
.. ”/ 、 .. In x . .. ln[l + (z—l)] . . 1
lim j ()+ 工-*。+ 工一。+ 工~*0十 工-*。+ 丄
ln(一 x )
lim/(jr )= lim ln(一 x ) sin x = lim ------ x ln(一 j;) = lim x ln(一 x)= lim 0,
1
r-*0_ x-*0 2
x
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淘宝店铺：光速考研工作室因为/(0 — 0) = /(0 + 0),所以x = 0为/(a：)的可去间断点，应选(A).
(5)【答案】(B).
【解】方法一极限存在定理
因为/■&)单调，所以当&”｝单调时，｛_/&”)｝单调；
又因为/■&)有界，所以｛/■(「)｝单调有界，由极限存在定理得｛/&”)｝收敛，应选(E).
方法二 反例法
j"1, JC < 0,
(-l)n
取f o = ： =0, x n 2 ，显然于(工)单调有界，匕”｝收敛,
f n
X > o,
-1, 22 “ 1 3 5 . • •
/(「)= 显然)｝发散,(A)不对;
1, n = 2,4,6 ,…，
2 2
取 f(^)= — =n ,/(j?„ ) = —7—，显然｛_/(工 ”)｝收敛，但｛jc „｝发散，(C)不对;
1 +x 1 +n
取心)=arctan x ,xn =孔，显然｛/(j?„ )｝单调增加，但｛z”｝发散，(D)不对，应选(E).
(6)【答案】(A).
_ ” [x = rcos 0, , ,
【解】 令｛ . 则D”” = ｛(厂，0)丨0 £ 0 £ q,1 M厂冬"｝,
» = rsin 0 ,
F(",q)=[ d(9 [""匚)d厂=q [ /(r2 )dr ,于是 = 77/ ( m 2),应选(A).
Jo J 1 r J 1 ou
方法点评：本题考查二重积分与变积分限求导数.本题需要掌握如下两个知识点：
(1) 若二重积分积分区域的边界曲线含x2 + >2或被积函数/'(•Z ,》)含•z'+jy', —般使
用极坐标变换计算；
(2) 变积分限的函数求导数的方法.
(7) 【答案】(C).
【解】方法一逆矩阵的定义
由 A3 = O,得 E=E-A3=(E-A)(E+A+A2).
由可逆矩阵的定义，得E — A可逆且(_E — A)-1 = E + A + A?；
再由 E =E +A3 =(E +A)(E—A+A2),得 E+A 可逆且(E +A)_1 =E-A +A2,
应选(C).
方法二 定义法求特征值
令 AX =AX(X 工 0),则 A3X =A3X,
由A3 =O得FX =0,从而A的特征值为入]=心=小=0.
于是E-A与E+A的特征值为1,1,1,由|E—A|= |E+A|= 1工0,得E—A与E+A都
可逆，应选(C).
(8) 【答案】(D).
入 _ ] 一 2
【解】 由| AE — A | = =A2 — 2A —3=0,得入1= —1,4=3,即A的正、负
—2 A — 1
惯性指数都是1.
2-1-2 — ] /——9 1 \
由 =入？+4入+ 3= 0,得」的特征值为入1=一1,入2=—3,
—1 入 + 2 '1—2/
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淘宝店铺：光速考研工作室P2 M的正惯性指数为o,负惯性指数为2,不与A合同；
\ 1 — 2/
人 _
由 9 1 =A2 — 4A+3=0,得（/ 9 — 1 I \ 的特征值为入1 = 1,入2 = 3,
1 A — 2 \— 1 2 '
（[的正惯性指数为2,负惯性指数为0,不与A合同；
\— 1 2 '
入 _ 一
9 1 /9 1 \
由 =A2 — 4A + 3= 0,得L J的特征值为入1=1,入2=3,
—1 A — 2 '12，
（；）的正惯性指数为2,负惯性指数为0,不与A合同；
人 一
由 ° 1 o =A2 — 2A —3=0,得（/ ] — 9\）的特征值为 A ! = — 1 ,A 2 = 3,
2 A — 1 \— 2 1 /
（\ 的正、负惯性指数都是1,与A合同，应选（D）.
\— 2 1 '
方法点评：本题考查实对称矩阵合同的判断.
实对称矩阵合同的定义为：设为两个实对称矩阵，若存在可逆矩阵P,使得PtAP= B,
称矩阵A,B合同.
A与B合同的充分必要条件是A与B的特征值中正、负特征值个数相同.
二、填空题
（9）【答案】2.
【解】 由 e^Z — 1 ~ a:2 , 1 — cos[a:/（j：）]〜* f），
1 一 COsR/Xh )] 1 [. x2 f2 —) =^-/(0) =1,
于是lim
•r f 0 --- ( ---- 于 ---2 -1)/(^)-- - = --- 2 工- 0 ~ 工 2-- / ---- ( ---- ^ --- ) ----- Z 才-> o Z
故 /(0) =2.
(10)[答案】Cx-x e~".
【解】 方法一 由（夕+鼻2尹）d_z—工旳=0,得字—y =xe~x ,由一阶非齐次线性微
dz x
分方程的通解公式，得原方程的通解为
e卜乎也+C）「厲
=Cx —x e —X・
方法二 由｛y + 2)dr — jc Ay — 0,得 xy' — y = x2或?夕=e_r，
x
于是(2)= ，积分得2 = — e_J +C,故原方程通解为y = Cjc — xe~J.
\工) x
(11) L 答案】y=z+l.
屯_1
【解】sin(zy ) + ln(y —工)=jc 两边对 x 求导数，得 cos(_zy) • (y H-----------= 1,
\ dr ' y — jc
将工=0,夕=1代入得兽I =1.
ax I 工=
0
sin(xj/) + ln(j/ —z) = x 在点(0,1)处的切线方程为 y — 1 =x — 0,即 y = jc + 1.
• 72 •
淘宝店铺：光速考研工作室(12)[答案】(一1,—6).
【解】y =(工一5)工亍的定义域为(一
OO 9 + OO ).
由夕"=0得= — 1.
当h V — 1时,j/' V 0；当工＞ 一 1时,『＞ 0,且当攵=—1时夕=—6,
故曲线夕=(o- — 5)je 3的拐点为(一1,—6).
(13) 【答案】 ydn 2-1).
【解】当2=1,)=2时，z=施.
由 (2厂，得 Inz=^ln2,
2=
\工丿 y x
两边对工求偏导得丄・字=丄1112—丄，于是字=三山2—三.
z ojc y y 〃工 y y
故字 =^(ln 2-1).
九
(1,2) /
(14) ［答案】一1.
【解】 根据特征值的性质，得|A 1=4入 入 =6入.
2 3
又由 | 2A | = — 48,得 8 | A | = — 48,即 | A | = — 6,于是 1.
A = —
三、解答题
(15) 【解】方法一
sin x 一 sin(sin x )]sin x v sin x 一 sinCsin x ) sin丄丄 ax .... sin x — sin(sin x )
lim =lim -----=lim
X
工*"一 0 J*OT- x*0-
方法二 lim--------
lo arcsin t
- (Z — sin t)t .. t — sin t 1 — cos t
=吨------------ = 1.法——=疤"2
方法三
从而 sin x 一 sinCsin 工)〜 —sin3〜 —x
6 6
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淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：计*型的算不定型极限需要熟练掌握等价无穷小 、麦克劳林公式、洛必达法
则等工具.彳型的极限需要补充如下两点：
(l)jr ,sin x ,tan x ,arcsin x ,arctan x五个函数中任意两个函数之差为三阶无穷小.
【例】求lim Cretan ^-arcsmx
x f 0 x3
【解］lim afCtan ~ arcsin x .. arctan x — x . .. x — arcsin x
=hm---------------------F lim------------------
0 X X 3
旷arctan x — x ^ == tan z t — tan t tan t .. 1 — sec2/ 1
而 lim-------------------==—=41111---------—— =lim 二--- =lim-------------
•r~*° xx l o tan't z*o- ?3 3t2 3
.. x — arcsin x x sin t sin t—t .. sin t — COS t 1 1
lim---------r-~― =====hm — lim-------— =lim
zt xx < -o sin5/ n t z*0- 3t2 6
arctan x — arcsin x 丄
故 hm---------------------------
F'
j*Or- X
(2)加减法使用等价无穷小时一定要保证精确度，否则会出现错误结果.
, — arctan x — arcsin x ”入 它 狂
汝口 : lim--------------:------------，右 分子使 用 arctan x x ,arcsin x〜x将导致错误结果，
•Tf 0 x3
因为分母为三阶无穷小，分子等价无穷小的精确度不够.
(16)【解】由將—庆
0,得 e"dz = ，两边积分得 e" =t2 + Co.
由 -X | ( = 0 0 得 Co 于是 2 = \n(t2 + 1).
= + 1)=(r2 + l)ln(^ + l),
dz / d? 2t
d2^ 2/ln(八匸1)+2/=&+］冶.
dx2 2t
t2 + 1
方法点评：本题考查可分离变量的微分方程与参数方程确定的函数的导数.微分方程
与极限、微分、积分结合是历年考试的热点，解题步骤为：先列出微分方程(或题目已给出)，
解微分方程，再解决题目给出的问题.
1 2 arcsin x x = sin t .7n Z si. n 9t 2 /sinLck = £
(17)［解】 — ax --------• cos tat = £ (1 一 cos 2t )df
0 71 -jr2 0 cos t o 2 o
7? _ 2 了2tcos 2zd(2z)=勒一£
xcos xdz
16 __8 o 16 8 o
n 兀 1 . ” 1 f".
x d(sin ) = —----x sin x + — I sin x dj?
16 __8 o 16 8
0 O 0
疋+丄传si•n h dr =盘 +寺.
16 4. o 16 4
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淘宝店铺：光速考研工作室方法点评：本题考查换元积分法与分部积分法.注意两点：
(1) 定积分被积函数中若含平方和、差，一般采用三角代换，其中若含/一工2,变换为
x —asin / ;若含 F + a‘，变换为 x — a tan t;若含 x" — a ?,变换为.r —a sec t.
(2) 被积函数若为幕函数与指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数之积时，一般采
用分部积分法.
》)
|
(18)【解】 方法一 令 Di = ](h, *€工 £2,吕W3/W2] ,D2 = D— Di ,
则』max{ jcj/ , 1} dj? dj/ =JJjjydx dy + jJ dr dy 9
D D] D2
'2 彳―占)
JJ xy^x dy = J ±^djrj 丄 ydy
7
Di
丄 4工-I) 吐=乎-ln2, X
2
f2 f2
11 djc dj/ =4 — 11 dj? dj/ =4 一 L djr L
~2
D2 D1
= 4_i|(2_7)
dr = 1 + 21n 2 ,
X f
19
于是I」max{ dy = — + In 2.
D
令 D{ = ,y) I 9
方法二
D21
(z,y)| y < x < 2,0 < 3/ < ‘
D 22
则jj max{jcj/ 91 }dz dy = jJ xy^x dy + JJ djr dy + JJ dr dy 9
D D2l D22
D]
%业]丄夕的=y 4「丄 山斗-ln2,
而』xyAx dy =
~2
Di
JJ ,*JJdz =]： dzj：1 * = J： =21n 2,
dxdy =1
D22 77 0
D21
• 19
于是I」max{jrj^ 91 }cLz dy = — + In 2.
D
(19)【解】 设所求函数为y = /(a：),旋转体的体积为卩(/)=兀［f2 (je )dr
J 00 o
侧面积为 S(t) = 2rc /(j: ) \/l + f，z (jc ) dr = 2tc y +«/' dj?.
J 0 - 0
由题意得2 7C y 丿]+ j/' Ax = 2tt
0 - o
方法一 27T y \/l + yf2 d*o = 2兀 j/2dj? 两边对t求导数，得y Vl + y，2 = y2，整理得
0 - 0
1
1 十I 夕/2 =夕2
・
• 75・
淘宝店铺：光速考研工作室因为函数夕=于(工)为增函数,所以夕=于&)为满足初始条件的微分方程[血
|夕(0) = 1
的解.由字=J— \变量分离得 一 = dx ,
两边积分得ln(y + J寸_ \ ) = jc + In C ,或夕+』寸一 \ = CeJ .
由j (0) = 1得C — 1,即夕十Jy1 — 1 = e ,由F十' '得
\y — V y2 — 1 = e_r
『+亍
歹=心)= —・
方法二 2』夕丿1 + J/? dz = 27t f y2dx两边对t求导数9得夕丿1 + = ;/，整理得
J o J 0
1 + y，2 = y2，两边再对t求导数得2j/y" = 2yy',于是y" — y — 0,特征方程为A2 — 1 = 0,
特征根为A ! = — 1,入2 = 1，通解为y = Cie_" + C2e .
1 fTx J- Px
由 y(0) = 1 及 1 + y，2 — J/ ,得 y'(0) = 0,得 Ci = C2 =牙，故夕=/Xz)=---- -—.
(20)【证明】(I )因为/Q)在[a“]上连续，所以yCz)在也,刃上取到最小值加和最大值M,
由 m ^ /( 得?n (b 一 a ) M(b — a ).
J
a
1 卩
于是加 W ----- W M.
b 一 aJ a
由介值定理，存在少& [a，刃，使得= 7~~—[ /'(工)山9即| f(J? )dz =
(H)令尸(広)=](p(t)dt,由牛顿一莱布尼茨公式得Jjp (a- )dj? = F (3) —F(2),
由拉格朗日中值定理得F(3) — F(2) =F'(c)(3 —2) =^(c),其中c 6 (2,3),
于是](p(x)dx =(p(c),即卩(2)>^(c).
由拉格朗日中值定理，存在& 6 (1,2),& 6 (2,c),使得
以“=址冷二輕2〉0,以6)=曲)可⑵ + j?2 y —4=0,
当I" — *时,“ =72；当[“―1'时,zz= 6,故在约束条件下函数的最小值为6,最大值为72.
I》=—2 b = 1
方法二 设 F（jt ,y,z,X ,/z） = jc2 y2 z2 + A（j;2 y2 — z）+“（_z+y + ? — 4）,
Fj. = 2.x + 2入工 + ju. — 0,
F；=2y + 2 入 y+〃=0, （jc = —2, pc=l,
由 vF：=2z—入 +〃 =0, 解得」y= —2,及fy=l,
F'x =x2 + j/2 — z =0, |z=8 [z = 2.
F； =x + y+ z_4=0,
pr = — 2 ,
而”（一2, —2,8） = 72,“（1,1,2） = 6，故当右=—2,时，函数"的最大值为72,
[z =8
卩=1,
当£ = 1,时，函数u的最小值为6.
[z = 2
方法三由f2='2+八得川+汁4,或+*）；善，
&+夕+之=4 ' 乙/ ' // /
1丄3
x = —— H----cos t,
约束条件 》‘可化为参数形式^=-V + —sinz, （0
