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2013年数学（三）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（D）.
【解】 由 lim * °^2）= lim =0,得（A）正确；
HfO X "° X
,O （J7 ） • O（J7 2 ） .. O（H） O（g2） c A
由 lim----------:--------= lim-------- •———=0,得（E）正确；
x x x
h—o H—o
二。
由 limO2） 2）=lim 匹孚 + lim 匕^=0,得（C）正确；
X X X
x-*0 工~0 H—0
2
I 3
取 J： 2 —o（JC ） 9 X 3 =O {x 2 ），因为 lim ----2 =1工0,所以。（工）+o （工2 ） =0 （工2 ）不对 9
X
工-*0
事实上 O（2）+ O（J：2 ） = O（J7）,应选（D）・
（2） 【答案】（C）.
【解】 显然一1,0,1为 2）的所有间断点.
（一"一1 严小一1 r Jn（—工）_ r 1
由塑工（工+l）ln（r）= J^iHCz+l）ln（—工）—’四心（工+1）111（—工）一工巴y +1一 ，
得工=—1是无穷间断点，不是可去间断点.
由 . 凹 x1 — 1 工=凹工(工 ejlnj — 1 工 lim- x\n jc ，得工=1为可去间断
+ l)ln + l)ln X (•z + l)ln 3C
L1
点.
严 ]
X X jc In jc
由lim -- ---- (―—― ―1 -----= l]i.m =!忙(工+1山工T，
X (j? + l)ln re zfo+ x (a： + l)ln h
•r f ()+
(一"一 1 严F 一 1 x In(— x ) _
lim lim I9得 lim/Cz) = 1.
x-^O 乂 Cz+l)ln(— H) x x*0 - - ^o~ z(攵 + l)ln( oc ) x-»o- 2 (z + l)ln( jc ) X—0
而f(0)无定义，故工=0,2 = 1为可去间断点，应选(C).
(3)【答案】(B).
【解】 由对称性得1| =0, 13 =0.
12 = jj Ly +(— z)]dcr>0 (因为 jy + (— 2)>0),
°2
i4 ~JJLy +(一2)]册<0 (因为夕 + (— x) vo),应选(B).
°4
(4)【答案】(D).
【解】 方法一令lim/a” = lim牛=A $ 0.
当 A = 0 时，取 £0 =1，存在 N〉0,当 zz〉N 时，| -y— 0 | < 1，从而 0 W a” 0时，由比较审敛法的极限形式得级数与敛散性相同，因*收为工
九 n = l 兀
n = 1 n = 1
敛，所以收敛，应选(D).
n = 1
I -I 00
方法二 取a” =-------，显然a” > a卄 ,因为lima” =1 # 0,所以工(一1)"一。”发散,(A)
1
" ” ~8 ” =]
不对；
/ _ ] \ n-1 00 00 (一 1)”一】 +当]收敛，但S”｝不单调,
取 =---F ，显然 丫(一 1)"一0” =工
n n2 n n
n = 1 n = 1
(B)不对；
-~+ ])書(—二15，级数收敛，但当p > 1时，\\vsxnpa„ = +°° , (C)不对，应
取a
1
选(D).
(5)【答案】(B).
611 b \2 bln
^21 “22 k2n
【解】令 A = @1 ,。 2,…，a”) ,C =(Y1 理 2, …，人)，
bn\ b„2 b nn
由AB =(7得
Yi =611a1 +b2]a2 -\-------bnXan ,
y b „2(X „ ,
2 = 6 12 ® 1 ^22 ® 2 + *•* +
Yn +b2„a2 bn„an,
="”ai H-------------
即矩阵C的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示；
因为B可逆，所以由=<7得6一 =A,同理可得矩阵A的列向量组可由矩阵C的列向
1
量组线性表示，即A,C列向量组等价，应选(B).
(6)【答案】(E).
/I a h (2 0
J
【解】令A = a b aJ <,B= 0 b
'1 'o J
a 0
由A—B ,得矩阵A ,B的特征值相同.
显然B的特征值为入i=2, A 2 =6 ,入 =0.
3
1 —a - 1
由 | 2E —A \ = — a 2 一 b — a = 一 4a 得 a=0.
2=0,
-1 —a 1
因为A〜B，所以r(A)=r(B),
/I 0 I1 0 1 (2 0 °\
而A —■ 0 b 0 -A O b 0 B= 1 0 b 0
J J
0 '0 0 0 0b取任意常数时,A〜B；总之，当a =0,b为任意常数时,A〜B,应选（B）.
（7）【答案】（A）.
【解】 由正态分布的性质，得
p. =F{-2 < < 2} =©（2） —①（一2） -20（2） -1,
P2=P{-2 p2>处，应选（A）.
方法点评：本题考查正态分布的性质.关于正态分布的随机变量需要掌握如下重要性质:
设X〜N（〃，°2），则
（1） P{X M"} =P{X〉“}*= ；
（2） 士A 〜N（O,1）；
a
⑶弘vx “T宁）-①（于）.
（8）【答案】（C）.
【解】 由 P{X+Y = 2}=P{X=l,y = l} + F{X=2,Y = 0} + P{X=3,y = -l},
再由X,Y独立，得
P（x+Y = 2}=p{x=i}P{y = i} + P{x=2}P{y = o}+P{x=3}P{y = -i}
12 + 24 + 24 =_6
应选（C）.
二、填空题
（9）【答案】一2.
【解】 因为点（1,0）在曲线y =/Q）上，所以/（D =0；
又因为曲线y = /（a-）与曲线y —x2 — x在（1,0）处切线相同,
所以厂（1）=（工？ 一 工）'|乂 = 1 = 1,
于是limz?/
n-*oo
兀
+ 2
(10)【答案】2-21n 2.
【解】 将 h = 1 = 2 代入(z y)x =Jcy 9 得 z = 0.
(n yy =^y 两边取对数 9 得 x ln(^ + y) = In x + In y ,
两边对x求偏导9得ln（N +夕）+
将 z =1，夕= 2,n = 0 代入 9 得 ― I =
= 2
2 —
—
2
2
1
1
n
n
2
2
.
.
ox I(1,2)(11)【答案】In 2.
r
In x
【解】
(1 + 工)2
In x ]
1 + 1 H ( 1 + JC )
x
=ln =In 2.
1 + h
i
(12)【答案】(Cj +C2^)ef (C1?C2为任意常数).
【解】二阶齐次线性微分方程的特征方程为人I +P。,
特征根为A 1 =A2 = + ,
故该方程的通解为夕=(G +C2工)e.C] ,C2为任意常数).
(13) 【答案】 一1.
【解】 由街=—s，得A* =—人丁，两边取行列式，得|*A |= (-1)3|A|=-|A
因为 IA * | = | A |1 2,所以 \A \2 = — \A | ,即 |A 丨=0 或 IA | = — 1.
不妨设 Qn H O9 因为 |A | = a n A n + a 12 A12 + a 13 A13 = — + <212 + 占3)V 0，
所以 IA | = — 1.
方法点评：在行列式计算中，若出现A”或者A”时，一般使用如下两个性质：
(Da.jAn +ai2Ai2 H-------ainAin = \A \ (z =1,2.•••,??)；
(2)|aT=|a|"T.
(14) 【答案】2e2.
1 上
【解】 由X〜N(0,l),得X的密度函数为fS=——e 2 ,
72?
由数学期望的定义，得
r+oo 1 亠 1
—y(x-2)2
E (X e2X ) = x e2x e 2 dr ------e dr
J-°° ^27 %/2jc
f+8
— 2 + 2)——e
---
2
( 工―2)2
d(jc -2) =e2
「+8 &+2)丄]一
e ?
/
dt
^2tz J_°° ^/2tc
「+oo
dt + 2e2 e 2 = 0 + 2e2 = 2e2 ・
三、解答题
(15)【解】方法一
丄 一 1 一 cos x cos cos 3h
由 lim-----------------2---------------
L o X
/I — COS X . 1 一 cos 2x 1 一 cos
=lim -------a-------1 cos x --------2--------r cos x cos 2x • -------
L o \ X JC---------------------------------------X1 一 COS X 1 — COS . .. c 1 — cos 3x
lim + limcos x 十 limcos x cos loc •
X—0 X2 x*0- JC 2 x->0 JC 2
1 一 co 1 一 cos 2工 1 — cos 3h 14 9
lim 2 + lim + lim =空+空+万=7'
x*-0- X H f 0 X 2 x—*-0 X 2
得
72 = 2，Q = 7・
T 2 4
方法二由 COS 7； = 1-------------o(j?2 ) 9 cos = 1 — \Z $ + o (/) 9
2!
9
cos 3jc = 1 一 ——j; + o (工)9
也！
得 1 一 cos x cos cos 3x ~ 2 ,于是 n = 2 = 7.
1 一 COS X cos 2工 cos
方法三 lim
•r f 0 ax
sin jc cos 2h cos 3jc + 2cos x sin 2工 cos 3x + 3cos x cos 2工 sin Zx
lim
x—0 naxn_1
因为当“ =2时,
丄
sin jc cos cos 3x
lim
•Zf 0 naxn_1 2a
2cos x sin cos 3工 4
lim
x*0- nax
3cos x cos 2 j： sin __9_
lim
x->0 naxn_1 2 a
十 八…. 1 一 cos x cos 2j? cos 3jc 7
所以lim =一，故〃 =2卫=7・
•r-> 0 ax a
(16)【解】方法一 如图所不 卩工=兀
9 J 0 5
1
以
1 6k 4
Vy =7za2 • a 3 —7T (j/3 )2 dj/ = 7TQ 3 =Ta
0
由 V, =10V,,得 a =7#
Sjr
1 A
方法二 Vx =7t (工 3 )2 djc = —ci 3
0 5
三(16)题图
丄
兀
取 + dr ] U [0，a ] 由 dVy =2 2 • x3
9 h 9
7
得 dVy = 2tc T
Vy
0 -
由匕 ，得
10V, a =7# .
(17)【解】 如图所示，由
3/ = 3h
9 得
丄 + y = 8, y =6,
y = ~—x 无=6，
由 y 3 得
A =2,
、工+夕=8，'2 f3x
于是 dj? dj/ = x2 Ax•If dy +
D
J0(
：
J 416
3 dx +
丁
(18)【解】(I)收入函数为R(Q)=PQ=Q(60 —匸驚)，
总成本函数为C(Q) =60 000 + 20Q ,
Q2
利润函数为 L(Q) =R(Q) — C(Q) =40Q--^- 60 000,
故该商品的边际利润函数为L‘(Q) = 40 — •
bOO
(II )当 P = 50 时，由 50=60 —匸鴛，得 Q =10 000,
L'(10 000) =20,其经济意义为：当P =50时，销售第10 001件产品时利润为20元
嘉得Q
(HI)令 L'(Q) =40 — =20 000,
由 L，，(Q)=--|- <0,得当 Q=20 000,即 P =40 时，利润最大.
500
(19)【证明】(I)方法一 取 ^(j:)=/(j7)—1.
因为爭(0) = — 1 。
9
工*+- 8
所以存在a 6 (0, + °°),使甲(a )=0,从而/(a ) = 1.
方法二 因为lim /(^) =2,所以存在c > 0,使得/(c) > 1.
工*+- 8
因为/(^)在［0,c］上可导，所以/(^)在［0,c］上连续，
又因为f (0) < 1 < y(c)，所以由介值定理，存在a c (0,c)，使得/(a) = 1.
(n)由拉格朗日中值定理，存在£ e(o,a)，使/z(e)= /(a)~/(Q)=丄.
a a
JC ! X
2
(20)【解】 %c=
\x X
3 4
) X 2 + ax 4
wc= (! o t
工
2
+ G ax i
+工 az
4 3
/ —2 + ajc 3 —ax
I + 2 "I- 4
AC~CA =
— X 3 — X 4 X 2 — CiX
3
一 X2 + CLJC
3 = 0 9
由AC-CA=B,得』
一 ax ! + jc 2 + a兀 4 = 19
JC 一 X 一 X
1 3 4 = 1 9
X 2 — CL3C 3 = b •
此为四元非齐次线性方程组，欲使C存在，此线性方程组必须有解，设方程组对应的系数
矩阵为D,则■ 0 -1 a 0 0 0 -1 a 0 0 1 0 -1 -1 1
—a 1 0 a 1 0 1 一a 0 1 +a 0 1 ——a 0 0
1 0 -1 -1 1 1 0 -1 -1 1 0 1 ——a 0 1 +a
、0 1 一a 0 b. 0 1 一a 0 b 0 1 一a 0 b ,
1 0 -1 _ 1 1
0 1 一 a 0 0
0 0 0 0 1 + a
0 0 0 0 b ‘
当a =-1,6 =0时，线性方程组有解，即存在C,使AC~CA=B.
0 -1 -1 : 1
0 1 1 o i 0
又 D =
9
0 0 0 0 : 0
2 0 0 0 1 0,
r
1 j Cl + C2 + 1
—1 0 + 0 —Cl
所以X= c + c2 ___
1 0 () Cl
0 1 () Co
/C] + C2 + 1
— c! \
所以c= (G，C2为任意常数).
' C1 C 2 '
严
1
（21）【证明】（I ）令X= %
-r 3
(5\ 严pi 严 1
由 /(j?! ,X2，攵 3)= 2（ 工 1 ,x2，工 3） a-2 (<21 ,a2 ,<23)-^2 ] + Czi ,攵 2 ，工 3) (〃 1 』 2 ”3 )1-^2
匕
b3
a3 3
= XT（2aaT+ 妙「）X,
得二次型/'（厂，工2,工3）的矩阵为A=2aaT+ppT.
（II ）由 Aa = （2aa r+ 妙「）a = 2a , A0= （2（/（/「+妙丁 ）0=0,得 a,0 为矩阵 A 的属于特征
值入1 = 2 ,A 2 = 1的特征向量.
因为 r（A）=r（2aar+ ^T） 2Y} = Jj fir ,夕)dz dy = X
0 0
x^>2y
『 1 1 ~ 1 2X Ax - 2 x 2 dj? = £
0 X 0 0 o
*8 Q _邑
*8 r- 2
(23)【解】(I)E(X) = •z f (h )dr = _ e * djc
—8 J Io x
*+°° e
=—d e"7d dt = 3
e-/
0
令E(X) =X，得参数0的矩估计量为0 =X .
(fl)似然函数为
r(*+ 士+•”+士)
L (0 ) = f(J7 ! ；(9)y(J72 ；9) f(X „ ；0) =0" (_Z ”)一3
1_Z 2 …Z • e
其中 Xi > 0(? = 1,2,…
In L(0) = 2nIn 0 — 9 (-----
1--------------…+ In jr z 9
\工 z
i 2
由存11 L(0)=字一£右=0,得0 ” 2n
t) i = i jc i 1
2 = 1 i
2n
故参数e的最大似然估计量为9 n
