文档内容
2018年数学(二)真题解析
一、选择题
(1)【答案】 (B).
1 .. eX +ax -\-bx—1
—2 lim ------------2---------
【解】 因为 lim(e^ + ax2 bx) x = e^-*0 J = 19 所以
■*Z- 0
2
1 + 工 + -- o (a?2 ) +ax 2 + bx 一 1
eT + ax2 + bx 一 1
lim =lim
x*-0- X 2 ■zf 0 X 2
(*+匕)工 2 + (1 + 6 ) Jr + o (jr2 )
lim 0,
工―0 X 2
卩 +6=0,
则有］1
解得 a = ,b= — l.应选(E).
质+ a=0,
(2)【答案】(D).
【解】方法一
1
心)" COS \/~X — 1 . — 2 X 丄
(0) = lim =Hm ----------------=lim
H f () + •Z — ° z" x •o+ X
1
cos y— x 一 1 可” 1
(0) = lim =lim ——=-
—o x L0- H 2
•r f 0 工
故函数fO =cosy | x |不可导9应选(D).
方法二
若 /(x ) = | j? | sin | x |，则 /(jr )〜乞'，由 lim 了丄----"°、= 0 得 /''(0)=0,
X
工f 0
即 /(□?) = | j? | sin I x I 在工=0 可导，不选(A)；
若 /(jc ) = | jc | sin / 工 I，贝lj )〜I 工 I $ 9 由 lim -----=0 得 /'(0) = 0,
X
•Tf 0
即 ) = I I sinI x I 在 z =0 可导 9不选(E);
若 /(工)=cos I x I，贝I」/(jc ) — /(0)〜 jc 2，由 lim 了----^―— = 0 得 /z (0) = 0 ,
Lt JC
Hf 0
即f Cjc) = cos I x I在工=0可导，不选(C),应选(D).
(3)【答案】(D).
【解】 由函数表达式易得分段点为工=一1,工==0.
在工=—1点处，/(工)为连续函数，故只需考虑g(z)的连续性，而
limg(_z)=g(—l)=2 + a, lim g (j? ) = — 1,
X -*• —1 Hf—1
所以2+a = — 1,解得a = — 3；
在工=0点处，有
• 164 •
淘宝店铺：光速考研工作室lim LfCx ) + gQ)] =/(0) + g(0) = 1 — b , lim [/(j: ) + g (x )] = — 1 + 0 = — 1,
x->0+ 工*-0一
从而1 5= — 1,得b=2.应选(D).
一
(4)【答案】(D).
【解】 考虑/'(工)在工=* 处的泰勒公式：
心)*=/■( ) +厂(+)(「*) + #(「+)(其中W在工与+之间).
对/(jc )在[0,1]上积分得
0 = /(J? )dj?
J o
=/(|)+只G)H t)山 + iP〃◎卜—I)山
=/(l)+l/or(e)(x_i)吐.
所以，当f ） >0时,/（y） =—J /"〃(£) (°-- ) dj? < 0.应选(D).
（5）【答案】（C）.
【解】。+七2山=「（1 + ^^）归=「山=兀,
J-今 1 十工 J-f 1十# J-f
2 2
W 工 W 可时,1+ cos > 1 > ―—,
J X
2 2 e
[(1+ 〉「」cLr >[\ ^^cLz,即 K >M> N.应选(C).
—I J J _f ez
（6）【答案】（C）.
【解】 积分区域D = ｛（jc,j>）| |j; — jc2｝关于夕轴对称，被积函数中工夕为工的
奇函数.于是
0 C2-X2 fl f2-x2
dr (1 xy ) dj/ + dr (1 xy^Ay
一 一
—1 J —T J。 J X
-工夕)clz dp =JJcLz dy = 2〕(2 x 7_
一 2 —x ) dj" I
D D
应选（C）.
（7）【答案】（A）.
I1
/! 1 0 1 1 T\ I1 0 T\ 1 —1
J
【解】令M = 0 1 1 0 1 ,B = 0 1 ,C= 0 1 0
'o 1 1 'o 1 ' 'o
0 1 0 0 0 0 1
显然矩阵M与矩阵A,B,C,D的特征值都是入i =心=心=1，
r(E-M) =2,因为 r(E-A)=2,r(E-B)=l,r(E-C)=l,r(E-D)^l,
所以矩阵A与矩阵M相似，应选（A）.
・165・
淘宝店铺：光速考研工作室(8) 【答案】(A).
【解】 因为(E,B)为行满秩矩阵，故厂(A,A£) = r(A(E,B)) =r(A),应选(A).
二、填空题
(9) 【答案】1.
【解】 记/(?) = arctan仁当工＞ 0时,f(t)在区间［工，工+ 1］上满足拉格朗日中值定理
条件，故
(10)【答案】 夕=4工一3.
2 9
【解】$ = 2工-----9 yr = 2------(h > 0).
2
由yf = 2 - = 0得拐点为(1 ? 1).
又所求切线的斜率为/= =4,故切线方程为y =4z — 3.
(11)【答案】 —In 2.
■—In 2.
(12)【答案】
【解】由
故所求曲率为
3_
(1+/2)亍
• 166 •
淘宝店铺：光速考研工作室(13)［答案】 v-
4
【解】在方程两边对工求偏导数，得
丄 + e-i d± = v 即空_ =—竺—
z 3x dx ' da： 1+
3 z 丄
又当工=2 =—时，N=1，代入上式得訂
Z dx
(14)【答案】2.
【解】由分块矩阵的乘法以及题设条件得
I2 0 0
A (a】?ct
2
?ct
3) —
(Aa
i
Act2 (a】9a
2
，«3)1 1 -1
'1
2 1
记矩阵P=(a i ,a2，。 由(X Ct 9^3 线性无关，知P可逆.于是
3)・ i 2
I2 0 1| ,即矩阵A与B = 1 /2 1 0 冷相似.
一
P AP = 1 1 1
1 2 '1 2 1 '
由 |AE - B | = (A -2)(A2 -2A +3) 0,
得B的实特征值为2,由相似矩阵有相同的特征值，知A的实特征值为2.
三、解答题
e2x arctan J € ] dr = *
(15)【解】 一 arctan J € 一 ] de 越
arctan J £
=*宀 一 ]----- e2j darctan J £
一 ]
e2x
=arctan J £ 一 \-- djr
2 4 ■ 7ex - 1
=arctan J € | d J €
一 ]----- 一 ]
LJ J
乙
=-^-e2-r arctan』€ J €
一 ]-----(丁 一 ] - J€ ] deT
一
arctan J e — 1----J € (2e" - 1) 3 '
=*孑 一 ]--------------- 7 + C
3
=ar ct an J — 1----(eJ +2) J € 1 + C ・
一
2 6
(16)【解】(I)令力一£=况，则
X
/(w ) du
一 |
uf(u )du.
0 0
由题设条件知
+ x /(u) dw 一 | uf(u )d.u = ax2
J 0 0
在上式两端对工求导得
/() + /(zz )dzz = 2ax ,
J 0
所以/(x)可导，且/(0) =0.于是，在上式两端再对JC求导得
ff (jt ) + /(^ ) =2q.
• 167 •
淘宝店铺：光速考研工作室解此一阶线性非齐次方程，得
/(J；) = e (C +]2ae"dz ) = e-^ (C + 2ae° ) = Ce_J + 2a.
由 /(0)=0,得 C= — 2s 从而 /(j： ) = 2a (1 — e_T ).
(II )由题设知『/(j? )d:c =1，即](2a —2a e~x )dr = 19故 a = £・
J o J 0 Z
(17)【解】 设积分区域D为：{(工小)|0£ 乂 £2兀，0《夕WgQ)},则
「 兀
2 fg(x)
+ 2夕)dr dy = dj? (jc + 2j/ )djz
J 0 J 0
f2K
\_xg(J? ) + g2(J7 )]d^
J 0
f2n
[_{t — sin £)(1 cos t) + (1 — cos )2](1 — cos t)dt
J 0 一
「 兀
'2n 2
sin £)(1 — cos Z )2 dz + (1 — cos t )3ck
(/ 一
0 Jo
f27t
(£ ——2^cos t + Zcos2^)dz + 5 3 + 5
J 0 兀= 兀？ 兀・
(18) l证明】由题设知工> 0.
设/ (工)=x 一 In2 j： +2&ln«z — 1.
于是只需证明：当OVz VI时,/(jc ) < 0 ；当工〉1时,f{x ) > 0.
十(工)=1 — ^_£十空=丄(工—21n# +2怡).
JC X X
2
设 g(_z)=H — 21n x 2k ,则 g'(_z)=l------.
JC
令g'Q) = 0,得工=2为g (j?)的唯一驻点.
又g"(z)=—^>0,故工=2为g(z)的唯一极小值点，从而g(2)为g(J：)的最小值.
x
因为 > In 2-1,所以 g(2) =2 —21n 2 + 2怡 $ 0,从而 gQ) > 0(工 H 2).
综上可知/■'(工)> 0(工# 2),所以f(x)单调增加.
又/(I) =0,故当0 <久<1时，/(^) V 0;当工> 1时,/(x) > 0,不等式得证.
(19)【解】 设铁丝分成的三段长分别是x ,y ,z ,则分+夕+ z= 2,且依次围成的圆、正方形与
正三角形三个图形的面积之和为
+ I | V3 2
4兀 16 36
构造拉格朗日函数：L(z，夕，z,入)=务+ —z2十入Q +》+ z — 2).
L = ^+A =0, 久0 2tt
Z7T 兀 + 4 + 3 V3~
L； 7+ 入 0, 8 ]
令』 得”o 兀 + 4 + 3 站'此时/(^°，3；o,2o)
7t + 4 + 3 ~/3
L =+ A = 0, 6站
1 o
Zo
L； + 夕 + N — 2 0, 7t + 4 + 3
JC
• 168 ・
淘宝店铺：光速考研工作室又当 jc + / + n = 2 yxyz = 0 时,f(x ,y,z)的最小值为 f [o,— 'j = ]
2,
\ 4 + 373 4+ 373/ 4 + 3V3
所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为fCx0,y0,z0)=-----------------
兀 + 4 + 3^3
4
(20)【解】 设P点坐标为(加，")，则n = —m2，直线AP的方程为
夕= — 4 m---- 1 - - \ I x 十 , t］.
9 m !
直线Q4与直线AP以及曲线L所围图形的面积为
2
所以竽
9 2 d厂
Hz?? H £
由已知，当m =3时，片一=4.故当P运动到点(3,4)时，S对时间/的变化率为— = 10.
dr d/
P 1 — 1
(21)【证明】 因为工］工0,所以J =----------.由微分中值定理，存在g 6 (0口］),使得
e 1 — 1 工
---------=ee,即e 2 = ee,因此0 Vs <厂・
工1
工 e卄1 — 1
假设0 V z卄1 Vg,则e "十2 =---------------= e7 (0 < q V力卄】)，即0 < 乂十V s+i・
工卄1
故匕”｝是单调减少的数列，且有下界，从而匕”｝收敛.
设limg =a,在等式 ％”+】 =e“” 一1两边取极限，得ae。=ea — 1,显然a =0为其解.
”一►00
又令 7"(工)=h e" — e" + 1,则 fr (x ) =z e".
当工〉0时,f'⑺=工工> 0,函数/Q)在[0, +*) 上单调增加，所以a =0是方程
aea = ea — 1 在[0, + °°)上的唯一解，故limz” =0.
”f 8
(22)【解】(I )f(j：1,j：2,j：3)=(j?1 — X 2 + J7 3 )2 + (久2 + 攵3)2 +(G +<2工3)2 =。的充分必
要条件是
| ] 3C 2 ~~H 工 3 '=z 0 9
SX2 +工3 =0，
[z 1 + ax 3 = 0.
对齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得
I1 一「「 1 \ I1 -1 1
A = 0 1 I —。 1 1—0 1 1
'1 0 a' 1 a-Y 'o 0
a — 2
当 a H 2 时，/(^! ,x2 ,je3)=0 只有零解 X = (je i ,x2 ,x3)r = (0,0,0)T ,
• 169 •
淘宝店铺：光速考研工作室1 0 2\
当 a =2 时，A - 0 1
0 0 o'
，工 2 口 3） =0有非零解X =(h 1 , k (— 2, — 1,1) ，其中怡为任意常数.
/3^i\ I1 -1
(II ) 当a H2时,令 夕 =0 1
2
4
0
1 -1 1 |1 — 1 1 「—1 lj可逆,
因 0 1 1 = 11 1 1 a —2H0,则矩阵0 1
'1 0
1 0 a 0 0 a 2 a
所以 f(j：! ,JCZ ,JC3)的规范形为 _/(夕 ,夕 ，夕 =yl + y\ 4- yl.
1 2 3)
当a = 2时，
/(X ,22，久 =(攵 (工 + 工 十(#1 十 2工
1 3) 1 — 2 + #3)2 + 2 3)2 3)'
—2jc
1 +
2jc
2
+ 6_z [ ■— 2_r
1
工
2
+ 6工
i•T 3
1 亠3 2 3 3
2 z 一 ~ ° 十 y-^3 工 工
1 2 + + + 3 2
= 2 9( ( ^1 — — 1 x2 + , — 3 j?3 2 +》 3 （工
2
+工
3 ）
2
2 '
所以/'（攵1，攵2,，工工 的的规规范范形形为为//'X（夕y1i，，夕夕2，，夕夕 +夕2
2 33)） 2 33）=3^1 2 •
（23）【解】（I ）显然r（A） =2,因为初等变换不改变矩阵的秩，所以 r (B ) = 2，
-1 a 2 1 a 2 1 a 2
而£ = 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ，故 a 2.
1 1 1 ，0 a + 1 3 0 0 2 — a
I1 2 2 \ 1 1 2 2\
(U )A = 3 o ，於T I o 1 1
-2/ 1 J
'2 7 1
令 P = (X1,X2 X),
Z1 2 2 1 2 2\ I1 0 6 : 3 4 冷得
由(A i B)= 】 3 0 0 1 】- A O 1 -2 -1
11 'o
7 —2 -1 1 0 0 1 0 0 0 '
6 —6k j +3
1一
+
X、= k.、 2 2k.-1
' 1 ki
_ 6 6展+4
t
+
2=^2 2 2k. 2 — 1
' 1 k2
6 —64 +4
/一
X3 =k3 2 亠 2^3 — 1
1 — 6局 +3 —6 走 2 +4 —6怡 3 +4
所求的可逆矩阵卩=2届一1 2k2 —1 2^3-1 (&i,k2 ,k 为任意常数且馬H紅）.
k2 k3
• 170 •
淘宝店铺：光速考研工作室
