文档内容
第 03 讲 空间中的平行关系
（线线平行、线面平行、面面平行）
（11 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
证明面面垂直
2024年新I卷，第17题,15分 证明线面平行
由二面角大小求线段长度
证明线面垂直
2023年全国乙卷（理），第19题,12分 证明线面平行 证明面面垂直
求二面角
2022年新Ⅱ卷，第20题,12分 证明线面平行 面面角的向量求法
2022年全国甲卷（文），第19题,12分 证明线面平行 求组合体的体积
求线面角
2020年全国乙卷（理），第20题,12分 证明线面平行
证明面面垂直
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-15分
【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言
2.熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及其应用
3.熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理及其应用
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质，
需强化巩固复习.知识讲解
1. 常见立体几何的定义、性质及其关系
（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）
（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱
（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形
2. 四个公理与一个定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
3. 空间中点线面的位置关系
点在直线上 点不在直线上
点与直线的位置关系
点在平面上 点不在平面上
点与面的位置关系
线与线的位置关系
平行， 相交， ， 异面
线与面的位置关系
面与面的位置关系
平行， 相交， 与 重合
4. 空间中的平行关系
（1）线线平行
①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
图形语言 符号语言（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
图形语言 符号语言
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
图形语言 符号语言
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平
行
图形语言 符号语言
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行考点一、 空间中点线面的位置关系
1．（2024·全国·高考真题）设α、β为两个平面， 为两条直线，且 .下述四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 或
③若 且 ，则 ④若 与 , 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
2．（2024·天津·高考真题）若 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 相交
1．（2024·河北邢台·二模）已知两条不同的直线a、b和平面 ，下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）若 ， ，则 （2）若 ， ，则
（3）若 ， ，则 （4）若 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ， ，则m⊥β
B．若m⊥β， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
3．（2024·辽宁·二模）设 ， 是两个平面， ， ， 是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，l⊥m，则
B．若l//α， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
考点二、 空间中线面平行的判定（直接型）1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
1．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）如图所示，在三棱锥 中， ，直线
两两垂直，点 分别为棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在正方体 中， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；(2)若 ，求点 到平面AEC的距离.
考点三、 空间中线面平行的判定（中位线型）
1．（浙江·高考真题）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平
面ABCD，PA＝ ，M，N分别为PB，PD的中点．
(1)证明：MN∥平面ABCD；
(2) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．
1．（23-24高二上·广西·阶段练习）如图，在正四棱柱 中， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若正四棱柱的外接球的表面积是24π，求三棱锥 的体积.
2．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形， 平面ABCD，， ，且M，N分别为PD，AC的中点．
(1)求证： 平面PBC；
(2)求三棱锥 的体积．
3．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形且 ， 是边长
为 的等边三角形， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 交于点 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
考点 四 、 空间中线面平行的判定（平行四边形型）
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中，BC//AD，AB=BC=1， ,点 在
上，且 ， ．(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形，AB//CD， 平面
， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角
梯形， ， ， .
(1)设点 为棱 的中点，证明： 平面 .
(2)求平面 与平面 的夹角的大小.
2．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱 中， 为 的
中点，点 分别在棱 和棱 上，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
3．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在四棱台 中， 平面 ，两底面均为正方形，
，点 在线段 上，且 .
(1)证明： //平面A BC ；
1 1
(2)求点 到平面A BC 的距离.
1 1
考点 五 、 空间中线面平行的判定（相似型）
1．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在三棱柱 中，侧面 为矩形．(1)设 为 中点，点 在线段 上，且 ，求证：PM//平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，且 ，求直线 和平面 所成角的正弦值．
2．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知三棱柱 ， ，
， 为线段 上的点，且满足 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)设平面 平面 ，已知二面角 的正弦值为 ，求 的值．
3．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底
面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面BED⊥平面
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离．
1．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）如图，点 在以 为直径的圆 上 不同于 ， ， 垂
直于圆 所在平面， 为 的重心， ， 在线段 上，且 .(1)证明： ∥平面 ；
(2)在圆 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，
说明理由.
2．（2022高二下·浙江温州·学业考试）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，
为 中点， 为 中点， 在 上， .二面角 的平面角大小为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
考点 六 、 空间中线面平行的判定（向量型）
1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
1．（2023·全国·模拟预测）如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角线交于点
为 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面SCD所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不
存在，说明理由.
考点 七 、 空间中线面平行的性质
1．（2024·广西·模拟预测）在正四棱柱 中， ， ，E为 中点，直线 与
平面 交于点F．
(1)证明：F为 的中点；
(2)求直线AC与平面 所成角的余弦值．2．（2024·河北保定·三模）如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ，且
.E，F分别是PA，PD的中点，平面 与PB，PC分别交于M，N两点.
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 所成锐二面角的正弦值.
1．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直， ， 分别为 ，
的中点，点 在棱 上， ，直线 与平面 相交于点 .
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 的距离.
2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图, 在三棱台 中, 和 都为等边三角形, 且边长
分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面
.(1)求证: 点 H为线段BC的中点;
(2)求二面角 的余弦值.
3．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，
且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段 上的点，
平面 .
(1)求证: 点H为线段 的中点;
(2)求三棱锥 的体积.
考点 八 、 空间中面面平行的判定
1．（2024·重庆·二模）如图，直棱柱 中，底面 为梯形，AB//DC，且
分别是棱 ， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)已知 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
2．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成， 为半个圆柱上底面的直径， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，点 为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 是线段 上一个动点，当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知正三棱柱 中 分别为 的中点， .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)求 与 平面所成角的正弦值.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 为矩形，M，N分别为
AC， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；(2)若二面角 的余弦值为 ， ， 为正三角形，求直线 和平面 所
成角的正弦值．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，四边形
是底面的内接正方形， 分别为 的中点，过点 的平面为 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为 ，设点 在线段 上运动，求三棱锥 的体积.
考点 九 、 空间中面面平行的性质
1．（2020·山东·高考真题）已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点.现将四边形 沿
折起，使二面角 为直二面角，如图所示.
（1）若点 ， 分别是 ， 的中点，求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面ABFE所成角的正弦值.
2．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以正方形 的边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形
成的面围成一个几何体 ．设 是 上的一点， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)证明： 平面 ；(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱 中，
分别为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 是棱 上一点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
2．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在六棱锥 中，平面 是边长为 的正六边形，
平面 为棱 上一点，且 .
(1)证明： 平面PAC；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
3．（2024·山东潍坊·三模）如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 的
中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的大小．考点 十 、 补全条件证空间中的平行关系
1．（2023·贵州毕节·模拟预测）三棱柱 中，四边形 是菱形， ，平面
平面 ， 是等腰三角形，∠ACB=120°， ， 与 交于点M， ，
的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面 内找一点D，使 平面 ，并加以证明；
(2)求二面角 的正弦值.
2．（2024·江西·模拟预测）如图所示，四边形 为直角梯形，且 ， ， ，
， ． 为等边三角形，平面ABE⊥平面 ．
(1)线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，请说明 点的位置；若不存在，请说明理
由；
(2)空间中有一动点 ，满足 ，且 ．求点 的轨迹长度．
3．（2023·浙江·三模）如图，三棱台 中， ， ， 为线段 上靠近 的三等
分点.(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 的值；
(2)若 ， ，点 到平面 的距离为 ，且点 在底面 的射影落在
内部，求直线 与平面 所成角的正弦值.
1．（2023·河南·模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足 ，将
沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.
2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱 中，底面 为正方形， 为棱
的中点， ．
(1)求三棱锥 的体积．
(2)在 上是否存在一点 ，使得平面 平面 .如果存在，请说明 点位置并证明.如果不存在，请说明理由.
3．（2022·辽宁大连·模拟预测）如图，多面体 中， 平面 ，
(1)在线段 上是否存在一点 ，使得 平面AFC？如果存在，请指出 点位置并证明；如果不存在，
请说明理由；
(2)当三棱锥 的体积为8时，求平面 与平面AFC夹角的余弦值.
考点 十一 、 补全图形证空间中的平行关系
1．（2024·山东临沂·一模）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别在棱
上， 为 的中点.
(1)在平面 内，过 作一条直线与平面 平行，并说明理由；
(2)当三棱柱 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值.1．（2024·福建龙岩·一模）如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ，
，设平面 平面 .
(1)作出 （不要求写作法）；
(2)线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？请说明理由；
(3)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
2．（2024·贵州遵义·三模）如图，在多面体 中，四边形 为正方形， ，且
，M为 中点．
(1)过M作平面 ，使得平面 与平面 的平行（只需作图，无需证明）
(2)试确定（1）中的平面 与线段 的交点所在的位置；
(3)若 平面 ，在线段 是否存在点P，使得二面角 的平面角为余弦值为 ，若存
在求出 的值，若不存在，请说明理由．1．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 为菱形， ，
， ⊥ ，且平面 ⊥平面 .
(1)在DE上确定一点M，使得 平面 ；
(2)若 ，且 ，求多面体 的体积.
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知球内接正四棱锥 的高为 ， 、 相交于 ，球的表面
积为 ，若 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
3．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ，
、 分别是 、 的中点.
(1)求证： 平面SAB；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.4．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱台 中， 平面 ， 为等腰直角三角形，
， 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形，平面
平面 ， ， 分别为 的中点．
(1)判断 与平面 的位置关系，并给予证明；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
6．（2024·天津红桥·二模）在如图所示的几何体中， 平面 ， ，四边形 为平行四
边形， ， ， ， ．
(1)求证：直线PB//平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值．
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等腰梯形 ， ， ，取 的中点 ，将等腰梯形 沿线段 翻折，使得二面角 为 ，连接 、 得到如图所示的四棱锥
A−BCDE， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求四棱锥A−BCDE的体积．
8．（2024·江西景德镇·三模）已知在正三棱柱 中， ， .
(1)已知 ， 分别为棱 ， 的中点，求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形 ， ， 平面 ，AB//CD，
， ， ，平面 与棱 交于点 . 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件
中选择一个作为已知.
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 夹角的正弦值；
(3)求 的值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
10．（2024高三·全国·专题练习）在正四棱柱 中， 是底面 的中心，底面边长为
2，正四棱柱的体积为16(1)求证：直线 平行于平面
(2)求 与平面 所成的角的正弦值.
1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱 中，侧棱 底面 ， ，E，F
分别为 和 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设 ，在平面 上是否存在点P，使 ？若存在，指出P点的位置：若不
存，请说明理由.
2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，三棱柱 中， 分别为棱 的中点， 分别
是棱 上的点， .
(1)求证：直线 平面 ；(2)若三棱柱 为正三棱柱，求平面 和平面 的夹角的大小.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）如图，已知四棱锥 中，平面 平面 ，
， 分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若侧面 为等边三角形，求四面体 的体积．
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形，
，点 在 上，点 在 上，平面 平面 ．
(1)求证： 是 的中点；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．（2024·贵州六盘水·三模）已知四棱台 的上、下底面分别是边长为 和 的正方形，平
面 平面 ， ， ， ，点 为 的中点，点 在棱
上，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
6．（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形 中， ， ， 且 ，
将 沿 折成图2，使得 ， 为 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值．
7．（2024·山东日照·三模）在五面体 中， ， .
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，点 到平面ABFE的距离为 ，求二面角
的余弦值.
8．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直角
梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且
， .
(1)若平面 平面 ，求 、 的值；
(2)若 平面 ，求 的最小值.
9．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ，
的中点分别为 ，点 在 上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)求二面角 的大小.
10．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， 是 上一点，且 ，连接
与 ， 为 中点.
(1)过 点的平面平行于平面 且与 交于点 ，求 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求点 到平面 的距离.
1．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台 中， 平面
， 为 中点.，N为AB的中点，
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；(3)求点 到平面 的距离．
2．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面PAC；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
3．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底
面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所在的平
面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
4．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．(1)求证：MN∥平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
5．（2020·北京·高考真题）如图，在正方体 中， E为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
6．（2019·江苏·高考真题）如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
1 1 1
求证：（1）AB∥平面DEC ；
1 1 1
（2）BE⊥C E．
1
7．（2019·天津·高考真题） 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角
形，平面PAC⊥平面 ， ， ， ，（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面PAC所成角的正弦值.
8．（2019·全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA=4，AB=2，∠BAD=60°，
1 1 1 1 1
E，M，N分别是BC，BB，AD的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA-N的正弦值．
1
