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第 03 讲 等比数列及前 n 项和
一、单选题
1．设 是正项等比数列， 为其前 项和，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn=lnan，b=18，b=12，则数列
3 6
{bn}前n项和的最大值等于（ ）
A．126 B．130 C．132 D．134
3．在数列 中， （ 为非零常数），且其前n项和 ，则实数 的
值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 的最大值
为（ ）
A．9 B．8 C．3 D．27
6．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．设等比数列 中，前n项和为 ，已知 ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题8．在等比数列 中， ， ，且 ，则数列 有
______项．
9．毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复
的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.
毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为 的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三
角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到 个新的小正方形，实现
了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第 次生长得
到的小正方形的个数为 ，则数列 的前 项和 ___________.
10．在《庄子•天下》中提到“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等
比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各
边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，
J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积
为 ，第二个正方形EFGH的面积为 ，…，第n个正方形的面积为 ，则前5个正方形
的面积之和为________．
三、解答题
11．设 是首项为1的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， 成等差数列.
(1)求 和 的通项公式；
(2)求 的前n项和 ， 的前n项和 ；(3)证明： .
12．已知公差为正的等差数列 的前 项和为 ，若 构成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
一、单选题
1．数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足 ，
则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列 满足 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，
然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到
如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．若等比数列 中的 ， 是方程 的两个根，则
等于（ ）A． B．1011
C． D．1012
6．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584
年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之
间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为
M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的
倍
C． D．
7．已知 ，数列 满足 ，且对一切 ，有 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
二、填空题
8．提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由
德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，
即数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳
的平均距离（以天文单位A．U.为单位）.现将数列 的各项乘以10后再减4得数列 ，
可以发现 从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ______， ______.
9．数列 是以a为首项、q为公比的等比数列，数列 满足
，数列 满足 ，若
为等比数列，则 __________．
10．已知函数 （k为常数， 且 ）．下列条件中，能使数列 为等
比数列的是______（填序号）．
①数列 是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
三、解答题11．已知公差为 的等差数列 和公比 的等比数列 中， ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)令 ，抽去数列 的第3项､第6项､第9项､.....第 项､....，余下的项
的顺序不变，构成一个新数列 ，求数列 的前2023项和 .
12．若数列 的前 项和 满足： .
(1)证明：数列 为等比数列并求出通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求实数 的
取值范围.
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则
（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
2．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 .若
成等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
3．（2021·全国·高考真题（文））记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
4．（2013·重庆·高考真题（理））已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前n
项和，若 ， ， 成等比数列，则 ________．
三、解答题
5．（2022·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和．已知 ．(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项
和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取
值范围．
7．（2022·全国·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
8．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且
．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
