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第 03 讲 等式与不等式的性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·山西阳泉·统考二模）已知 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，不妨取
则 ，此时不满足 ，即A错误；
易得 ，此时 ，所以B错误；
对于D， 无意义，所以D错误，
由指数函数单调性可得，当 时， ，即C正确.
故选：C
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上单调递增，
所以， ，即 ，
因为 ，则 ，所以， ，
又因为 ，则 ，故 ，故 .
故选：A.
3．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知实数 满足 且 ，则下列不等关系一定正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司 1【解析】因为 且 ，所以 或 ，
对A：若 ，则 ，若 ，则 ，A错误；
对B：∵ ， ，∴ ，B错误；
对C：由 或 ，知 且 ，∴ ，C正确；
对D：当 时，有 ，从而
当 ，则 且 ，∴ ，D错误.
故选：C
4．（2023·北京昌平·统考二模）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公
路，七个公司 分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一
快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）
A．路口 B．路口 C．路口 D．路口
【答案】B
【解析】观察图形知， 七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路
的连接点，
令 到 、 到 、 到 、 到 、 到 、 到 、 到 的小公路距离总和为 ，
，
路口 为中转站时，距离总和 ，
路口 为中转站时，距离总和 ，
路口 为中转站时，距离总和 ，
路口 为中转站时，距离总和
，
显然 ，所以这个中转站最好设在路口 .
故选：B
5．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是
学科网（北京）股份有限公司 2（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项，因为 ，所以 ，不等式两边同时乘以 ，可得 ，故A正确；
B选项，因为 ，所以 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，但 ，故等号取不到， ，B正确；
C选项， ，
因为 ， ，故 ，故 ，C正确；
D选项，不妨设 ，则
故选：D
6．（2023·吉林·统考三模）已知 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A选项， ，故 ，所以 ，
两边同乘以 得， ，A成立；
B选项，因为 ，所以 ，且 ，
由基本不等式得 ，故B成立；
C选项，因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，C成立；
D选项，不妨取 ，满足 ，此时 ，故D不一定成立.
学科网（北京）股份有限公司 3故选：D
7．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）若实数 、 满足 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意， ，所以 ，故D正确；
当 ， 时， ，但 ， ， ，故A，B，C错误.
故选：D.
8．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若两个正实数x，y满足 ，给出下列不等式：
① ；② ；③ ；④ ．其中可能成立的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】 ，
构造函数 ，所以函数 在正实数集上为增函数，
因为 是正实数，所以由 ，
因此由 ，
令 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
于是有 ，而 ，所以 ，当且仅当 时取等号，当 时，
，由上可知， ，或 ，
故选：C
9．（多选题）（2023·湖南邵阳·统考三模） ,则下列命题中，正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】对于A：若 ，则 无意义，故A错误；
对于B：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C：由于不确定 的符号，故无法判断，
例如 ，则 ，故C错误；
学科网（北京）股份有限公司 4对于D：若 ，则 ，
所以 ，故D正确；
故选：BD.
10．（多选题）（2023·河北衡水·模拟预测）已知 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由 ，得 ，当 时，得0 ，即 ;
当 时，得 ，即 ，综上 或 ，上述两种情况均可得 ，
故 选项错误;
当 时，得 ，当 时，得 ，故B选项正确;
令 ，则 ， ，从而得 ，故C选项错误;
由上述论证可知 恒成立，故D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·河北·校联考二模）已知a，b为实数，且 ，则下列不等式正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由 ，可知 ， ，
且 ，由不等式性质可得 ，所以 ，即A错误．
对于B， ，
当且仅当 ，即 时取等号，B正确．
学科网（北京）股份有限公司 5对于C，作差可得 ，
所以 ，C正确．
对于D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，显然取不到等号，D正确．
故选：BCD．
12．（多选题）（2023·河北·模拟预测）已知 ， ， 为正实数，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 ， ， 为正实数，则有：
对于A：虽然 ，当且仅当 时，等号成立，
但无法确定 与1的大小关系，则对数函数的单调性无法确定，
所以 的大小关系无法确定，故A错误；
对于B：因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上所述： ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C：因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 6当且仅当 ，即 时，等号成立，故C正确；
对于D：因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，故D正确；
故选：BCD.
13．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设 是任意实数，若 ，则 ”是假命题的一
组整数 的值依次为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】若 ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
“设 是任意实数，若 ，则 ”是假命题的一组整数 的值依次为 ，
故答案为： （答案不唯一）
14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知角 满足 ， ，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】结合题意可知： ，
且： ，
利用不等式的性质可知： 的取值范围是 .
15．（2023·高三课时练习）对于实数a、b、c，有下列命题：
①若 ，则a＞b；
②若ab＞c，则 ；
③若a＞b＞0，且n为正数，则 .
其中，真命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）
【答案】①③
【解析】对于①，由 ，则 ，根据不等式的性质，可得 ，故①正确；
对于②，由 ，当 时，不等式 无意义，当 时，可得 ，故②错误；
对于③，由 ，且 为正数，根据不等式的性质，可得③正确；
学科网（北京）股份有限公司 7故答案为：①③.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的两个零点一个大于2，一个小于2，且
，则 的取值范围为______
【答案】
【解析】由 的两个零点一个大于2，一个小于2可得 ，即 ，
又 ，
设 ，
则 ，解得 ，
即 ，且 ，
故3b－8a的取值范围为 .
故答案为： .
1．（2023•全国）不等式 的解集为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ，
则 ，解得 ，
故原不等式的解集为 ．
故选： ．
2．（2022•全国）不等式 的解集是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】
【解析】不等式 ，
学科网（北京）股份有限公司 8即 ， ，
即 ， ，
解得 ， ， ．
故选： ．
3．（2022•上海）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，故 正确， 错误，
，当且仅当 ，即 时取等号，故 错误，
故选： ．
4．（2022•上海）若 ，则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误，
对于 ， ，即 ， ，
由不等式的可加性可得， ，故 正确，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误，
对于 ，令 ， ， ， ，满足 ，但 ，故 错误．
故选： ．
5．（2021•上海）已知两两不相等的 ， ， ， ， ， ，同时满足① ， ， ；
② ；③ ，以下哪个选项恒成立
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设 ，
， ， ，
根据题意，应该有 ，
且 ，
学科网（北京）股份有限公司 9则有 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 项正确， 错误．
， 而 上 面 已 证
，
因为不知道 的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选： ．
6．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：由 可得， ，
令 ，则 ，
， ，故 错， 对，
， ，
故 对， 错，
方法二：对于 ， ，由 可得， ，即 ，
， ，故 错， 对，
对于 ， ，由 得， ，
，故 对；
， ，
学科网（北京）股份有限公司 10，故 错误．
故选： ．
7．（2022•上海）不等式 的解集为 ．
【答案】 ．
【解析】由题意得 ，
解得 ，
故不等式的解集 ．
故答案为： ．
8．（2021•上海）不等式 的解集为 ．
【答案】 ．
【解析】 ，
解得， ．
故答案为： ．
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