文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 ( )表示．数学语言表达： ，
为常数， .
(2)等比中项
如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．即： 是 与 的等比中项⇔ ， ，
成等比数列⇔ .
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列 的首项为 ，公比是 ，则其通项公式为 ；可推广为 .
(2)等比数列的前 项和公式：当 时， ；当 时， .
3.等比数列的性质设数列 是等比数列， 是其前 项和．
(1)若 ，则 ，其中 .特别地，若 ，则 ，其
中 .
， ， ，
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 …仍是等比数列，公比为
( )．
(3)若数列 ， 是两个项数相同的等比数列，则数列 ， 和 (其中 ， ，
是非零常数)也是等比数列．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知 、 、 成等比数列，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为 、 、 成等比数列，
所以 ，解得 ；
故选：C
2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙
伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都
归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
【答案】B
第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有 只蜜蜂，……
按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列
则第 天的蜜蜂数
第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数
故选：B．
3．（2022·北京·昌平一中高二期中） 与 的等比中项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 为 与 的等比中项，则 ，解得： .故选：C.
4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，
则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
由题可知 ， ，所以 ．
故选：D．
5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵
列成等比数列，那么 的值为（ ）
2 4
1 2
x y
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
由题意知表格为
2 4 6
1 2 3
1
故 ．
故选：A
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：等比数列基本量的运算
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列 满足 ，
，则数列 的公比为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】D
设等比数列{an}的公比为q，由a+a＝（a+a）q3，得3q3＝81，解得q＝3，
4 5 1 3
故选：D．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列 中， ，且 ，
则 （ ）
A．1024 B．960 C．768 D．512
【答案】A
解：依题意设公比为 ，且 、 ，由 ，则 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ；
故选：A
例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列 中， ， ，则
公比 （ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
设等比数列 的公比为 ，
由 ，解得 .
故选：B.
例题4．（2022·全国·模拟预测）已知 是等比数列， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，求使得 的正整数 的所有取值．
【答案】(1) 或 ；(2)答案见解析．
(1)因为 为等比数列，所以 ，又 ，所以 ．
设 的公比为 ，因为 ，
所以 ，化简得 ，解得 或 ．
当 时， ．当 时， ．
(2)当 时， ．
由 ，得 ，化简得 ．
易知，当 时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n的所有取值为1，2，3，4．
当 时， ，由 ，得 ，此时n的取值为一切正整数．例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列 是等比数列， ，
(1)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(2)若 分别为等差数列 的第3项和第5项，求数列 的通项公式及其前 项和 .
【答案】(1) ， .
(2) , .
(1)设数列 的公比为 ，则 ，得 ，
所以 .
.
(2)设等差数列 的公差为 ，
, ,
则 ，
所以 ，
.
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项 和公比 ,通常利用已知条件及通项公式或前 项和
公式列方程(组)求解,等比数列中包含 , , , , 五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用 , 表示,寻求两者间的联系,整
体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比 未知,则运用等比数列前 项和公式时要对 分 和
两种情况进行讨论.
题型二：等比数列的判断与证明
例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(1)当 时， ，解得 ．
当 时， ，整理得 ，
所以 是以2为首项，4为公比的等比数列，
故 ．
例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知 是数列 的前 项和，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)当 时， ，
又 ，①
当 时 ，②
①−②得： ，即 ，
∴数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴ ．
例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列 的前 项和为 ， ，且
.
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
(1)令m=n=1，得 ，又 ，
解得： 或 （负值舍去），
令m=1，得 ，所以 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 .
证明 定义法
( )
是 等 比
数列 (或者 ）
等差中项法
判断 的通项关于 的指数函数 （ ， ）
是 等 比 的前 项和 （ ， ， ）数列
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度 1：等比数列的性质
例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知 是等比数列，若 ，且
，则 （ ）
A．10 B．25 C．5 D．15
【答案】C
因为 是等比数列， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 .
故选：C
例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列 中， ，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
由 ，可得
则
故选：A
例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：在等比数列 中，
因为 为方程 的两根，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列 中， ，则 ______．
【答案】9
设等比数列 的公比为 ，由 得： ，则有 ，
所以 .
故答案为：9
例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列 中，若 ，则 ______．
【答案】2
．
故答案为：2
例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列 中， 且 ，则
_______
【答案】5
，
又 等比数列 中， ，
，
故答案为：5．
角度 2：等比数列与等差数列的综合问题
例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，
且数列 的前 项和为 ．
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
【答案】(1) ， ， (2)证明见解析
(1)由题意得 ，①
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，②
① ②得， ，
当 时， ，也适合上式，所以 ，所以 ，
两式相减得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ．
例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列 的前 项和为 ，且.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)当 时， ，解得： ；
当 时， ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， .
例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若 为数列 的前n项和， ，
且 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：因为 ①， ，
当 时， ②，
由①②可得 ，
即 ．
时， ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是等比数列，且首项为2，公比为2．
所以 ．
例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：由题意，数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，
当 时，可得 ，两式相减得 ，即 ，即 ，
当 时， ，可得 ，可得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在① ，② 这两个条件中任选
一个补充在下面问题中，并解答下列题目.
设首项为2的数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) (2)不存在，理由见解析
(1)选①： ，
即 .∴
即 ，∴数列 是常数列，
∴ ，故
选②：因为 ，所以 时， ，
则 ，即 ，即 ，
所以 ，
当 时， 也满足，所以 .
(2)假设在数列中存在连续三项 ， ， 成等比数列，那么有 成立，
即 成立.
即 成立，
即 成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项 ， ， 成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在① ，② ，③ 这三个条件
中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：设 是数列 的前 项和，且 ，______，求 的通项公式，并判断 是否存在最大值，
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【答案】选①： ，存在，最大值4；选②： ，存在，最大值50；选③：
，不存在，理由见解析.
选①：因为 ，即 ， ，
所以数列 是首项为4、公比为 的等比数列， ，
当 为奇数时， ，
因为 随着 的增大而减小，所以此时 的最大值为 ；
当 为偶数时， ，且 ，
综上， 存在最大值，且最大值为4.
选②：因为 ，即 ， ，
所以 是首项为4、公差为 的等差数列， ，
，解得 ， ， ，
故 存在最大值，且最大值为 或 ，
， 的最大值为50.
选③：因为 ，所以 ，
所以 ， ，…， ，
则 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，故 不存在最大值.
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·上海·高考真题）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正
确的是（ ）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
【答案】D
A：由 ，得 ，即 ，则 、 取值同号，
若 ，则 不是递增数列，故A错误；
B：由 ，得 ，即 ，则 、 取值同号，
若 ，则数列 不是递增数列，故B错误；
C：若等比数列 ，公比 ，则 ，
所以数列 为递增数列，但 ，故C错误；
D：由数列 为递增数列，得 ，所以 ，
即 ，所以 ，故D正确.
故选：D
2．（2022·上海·高考真题）已知数列 ， ， 的前 项和为 .
(1)若 为等比数列， ，求 ；
(2)若 为等差数列，公差为 ，对任意 ，均满足 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
(1)解： ，则 ，所以，等比数列 的公比为 ，，因此， .
(2)解：由已知可得 ，则 ，
即 ，可得 .
当 时，可得 ；
当 时，则 ，所以， ，
因为数列 为单调递增数列，而 ，故 .
综上所述， .
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
【答案】（1） ；（2） .
（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
4．（2021·全国·高考真题（文））设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
【答案】（1） ， ；
（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
