文档内容
第 03 讲 二项式定理
（13 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
两个二项式乘积展开式的系
2022年新I卷，第13题,5分 无
数问题
2020年全国甲卷（理），
求指定项的二项式系数 无
第8题,5分
2020年全国丙卷（理），
求指定项的系数 无
第14题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解
2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解
3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算
4.会三项式、乘积式的相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数
或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习知识讲解
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
若二项展开式的通项为T ＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
r＋1
(1)h(r)＝0⇔T
r＋1
是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔T
r＋1
是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔T
r＋1
是分式项．
(4)h(r)是整数⇔T
r＋1
是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数
所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．
2. 二项式系数的性质
性质 内容对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
当k＜时，二项式系数逐渐增大；
增减性
当k＞时，二项式系数逐渐减小
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为 ；
最大值
当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为 或
3. 二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…
＝ .
考点一、 求二项展开式的第 k 项
1．（2024·浙江绍兴·二模） 的展开式的第四项为 .
【答案】
【分析】写出二项式的通项公式，代值计算 即得.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，得
故答案为： .
1．（2024·陕西宝鸡·一模） 展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
【答案】B
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】 展开式的通项公式为 ，所以 ,
故选：B
2．（2023·北京·校考模拟预测）在 的二项展开式中，第四项为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.
【详解】在 的二项展开式中，第四项为 .
故答案为： .
考点 二 、 求指定项的二项式系数
1．（2024·辽宁·模拟预测）二项式 展开式的第3项的二项式系数是 .
【答案】28
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得 ，令 即可求解.
【详解】由题意知， 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，即二项式 展开式的第3项的二项式系数是28.
故答案为：28
2．（2024·上海·三模）若 的二项展开式中第 项与第 项的系数相等，则该展开式中 的系数为
．
【答案】
【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得 ，可求得 ，可求 项的系数.
【详解】 的展开式为 ，
因为二项展开式中第 项与第 项的系数相等，所以 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以该展开式中的 系数为 .
故答案为：6.
1．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为
．
【答案】15
【分析】由题意先求出 ，再求出 的展开式的通项公式，令 代入即可得出答案.
【详解】因为 的展开式中第2项的二项式系数为6，所以 ， ，
的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，故展开式中的常数项为 ．
故答案为：15.
2．（2024·江苏无锡·模拟预测）在 的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与
第11项的二项式系数之和，则 （ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【分析】由题意可得： ，结合组合数的性质 分析求解.
【详解】由题意可得： ，则 ，
可得 ，所以 .
故选：D．
考点 三 、 二项式系数和1．（2024·浙江·三模）若 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中 的系数为 .
【答案】280
【分析】先由二项式系数和为128，求出 ，再求出 展开式的通项，令 ，即可得出答
案.
【详解】 展开式的二项式系数之和为 ，解得： ，
所以 展开式的通项为： ，
令 ，解得： ，
所以展开式中 的系数为： .
故答案为：280.
2．（2024·四川攀枝花·三模）若 的展开式中 的系数为 ，则展开式中所有项的二项式
系数之和为 ．（以数字作答）
【答案】32
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【详解】根据 的展开式的通项公式为 ，
当r＝3时， ，解得 ；
故所有项的二项式系数之和为 ．
故答案为：32．
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则 的展
开式中 的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【分析】先利用二项式系数性质求出 的值，在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于31，求出
的值，即可求得 的系数．
【详解】根据 的展开式中，二项式系数的和为 ．而 的展开式中，通项公式为 ，
令 ，求得 ，可得展开式中 的系数为 ，
故选：D．
2．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若 的展开式的二项式系数和为32，且 的系数为80，
则实数 的值为 .
【答案】
【分析】由二项式系数和先求 ，再利用通项 得到 的指数确定 值，由 的系数为
80，建立关于 的方程求解可得.
【详解】因为 的展开式的二项式系数和为32，
所以 ，解得 .
所以 ，
由 ，解得 ，
所以 的系数为 ，解得 .
故答案为： .
考点 四 、 二项式系数的增减性和最值
1．（23-24高二下·广东深圳·期中） 的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】C
【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由 的展开式中， 项的二项式系数为 ，
根据二项式系数的性质得，当 时， ，即第四项的二项式系数最大．
故选：C.2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知 的展开式中二项式系数的最大值与 的展开式中
的系数相等，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】先计算出 的展开式中二项式系数最大值，根据二项式定理得到 展开式的通项公
式，从而得到方程，求出 .
【详解】 的展开式中二项式系数最大值为 ，
的展开式通项公式为 ，
令 得， ，
故展开式中 的系数为 ，故 ，解得 .
故选：AB
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习） 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，得到展开式共有 项，可求得 的
值．
【详解】因为 展开式中，二项式系数最大的项只有第 项即最大，
根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，
所以 ，解得 .
故选：B.
2．（2024·贵州·模拟预测） 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】根据条件得到二项式系数最大的项为第 项，再利用 的展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以二项式系数最大的项为第 项，
又 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得到 ，所以二项式系数最大的项的系数是 ，
故答案为： .
考点 五 、 求指定项的系数
1．（2024·湖北武汉·模拟预测） 展开式中含 项的系数为（ ）
A．420 B． C．560 D．
【答案】D
【分析】由二项展开式的通项公式解出r的值，进而可得 项的系数.
【详解】由题意知， 的二项展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，故含 项的系数为 .
故选：D.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知二项式 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
则其展开式中 的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式系数相等可求得 ，再由二项展开式的通项可求得结果.
【详解】根据展开式中第3项与第7项的二项式系数相等可得 ，解得 ；
不妨设第 项含有 项，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ；
所以含有 项为 .
因此可得 的系数为 .
故答案为：1．（2024·浙江绍兴·三模） 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对 有 ，
则 ，
故 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
2．（2024·黑龙江大庆·三模）在 的展开式中，含 项的系数是 .
【答案】24
【分析】根据题意，写出其通项，再求其特定项的系数即可.
【详解】在 的展开式中， .
令 得 ，所以含 项的系数是 .
故答案为：24.
考点 六 、 由项的系数确定参数
1．（2024·黑龙江·模拟预测）若 的展开式中 的系数为144，则 .
【答案】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令 的次数为5，求出 ，再由 的系数为144，可求出 .
【详解】 的展开式的通项公式: .
令 ，解得 ，
所以由题意得 ，解得 .
故答案为： .
2．（2024·福建宁德·模拟预测）已知 的展开式中含 项的系数为160，则实数a的值为.
【答案】
【分析】运用二项式展开式的通项公式，就可以出求指定项的系数，从而解得 .
【详解】由二项式展开式通项公式得： ，
当 时，有 ，由展开式中含 项的系数为160，
所以 ，解得： ，
故答案为：2.
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测） 的展开式中 的系数为15，则 ．
【答案】6
【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可.
【详解】 的二项展开式的通项为 ,
依题意 ,
解得 ,
故答案为： .
2．（2024·山东·模拟预测）二项式 的展开式中， 的系数为10，则 ．
【答案】2
【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.
【详解】易知二项式 的展开式通项公式为 ，
显然 时， .
故答案为：2
考点 七 、 有理项（含常数项）、无理项及其系数
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测） 的展开式中，常数项的值为 ．
【答案】840【分析】利用二项式展开式的通项公式求解
【详解】展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以常数项为 ．
故答案为：840
2．（浙江·高考真题）在二项式 的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是
.
【答案】
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开
式的通项入手，根据要求，考察 的幂指数，使问题得解.
【详解】 的通项为
可得常数项为 ，
因系数为有理数， ，有 共5个项
【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计
算要细心，确保结果正确.
1．（2024·湖北武汉·模拟预测） 展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式 ，可得结论.
【详解】 的展开式为 ，
当 时，二项式展开式的各项的系数分别为1，30，60，8均为有理数，
故系数为有理数的项共有共有4项.
故选：D.
2．（2024·河南·模拟预测）已知 （其中 ）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项
共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项【答案】D
【分析】运用二项展开式的通项公式可得 、 的值，结合有理项的定义赋值求解即可.
【详解】展开式的第7项为 ，
由题意，得 ， ，（ ），所以 ， ，
则展开式的通项为 ， ，
令 ，则 ，所以展开式中的有理项共有3项.
故选：D.
3．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）若 的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开
式中的有理项（ 项中 是整数）可以是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【答案】ACD
【分析】根据二项式系数的最值可得 或 ，结合二项展开式分析求解.
【详解】由题意可知： 的展开式通项为 ，
因为中第4项的二项式系数 最大，
当 为偶数，则 ，即 ，此时 ，
令 为整数，可得 ，
即第1项，第4项，第7项为有理项，故C正确；
当 为奇数，则 或 ，即 或 ，
且 ，可得 ，此时 ，
令 为整数，可得 ，
即第2项，第5项，第8项为有理项，故AD正确；
故选：ACD.
考点 八 、 二项展开式各项系数和 及奇次项与偶次项的系数和1．（2024·上海·高考真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为 ．
【答案】10
【分析】令 ，解出 ，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.
【详解】令 ， ，即 ，解得 ，
所以 的展开式通项公式为 ，令 ，则 ，
．
故答案为：10．
2．（2024·福建泉州·一模）（多选）已知 展开式中共有8项．则该展开式结论正确的
是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
【答案】AD
【分析】先根据展开式的项数确定 的值，根据二项式系数的性质判断A；令 可得所有项的系数和从
而判断B，利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD．
【详解】A项，因为 的展开式共有8项，所以 ．
故所有项的二项式系数和为 ，故A正确；
B项，令 ，可得所有项的系数和为 ，故B错误；
因为二项展开式的通项公式为：
． .
C项， 当 ，设 项系数最大，
由 ，解得 ，则 ，
且 ，第3项系数为 .当 时， ，系数为1；
当 时， ，系数为 ；
由 ，故第3项的系数最大；故C错误；
D项，由 为整数，且 可知， 的值可以为：0，2，4，6，
所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．
故选：AD.
3．（2024·河南驻马店·二模）（多选）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先对式子进行化简，再根据二项式定理求解即可.
【详解】依题意得 ，所以 945，故A项正确；
令 ，得 ，令 ，得 ，所以 ，故B项错误；
令 ，得 ①，
又 ②，
由①+②可得 ，故C项正确；
同理，由②-①得 ，故D项错误.
故选：AC.
4．（2024·四川乐山·三模）设 ，则
（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】C
【分析】令 求得 ，令 即可求得 的值．
【详解】由 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 ．
故选：C．
1．（2024·辽宁·三模）（多选）关于二项式 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第三项系数为270 B． 的系数为90
C．二项式系数和为 D．系数和为
【答案】ACD
【分析】求出二项式 展开式的通项公式， 第三项的系数判断A，求含 项的系数判断B，根据二
项式系数的性质判断C，求系数和判断D.
【详解】二项式 展开式的通项公式为 ，
对于A，展开式中第 项的系数为 ，A正确；
对于B，令 ，可得 ，故展开式中含 的项为第四项，该项的系数为 ，B错
误；
对于C， 的展开式的二项式系数和为 ，C正确，
对于D，二项式 的展开式的系数和为 ，D正确；
故选：ACD.
2．（2024·福建福州·模拟预测）（多选）已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用赋值法令 可计算得出A正确，令 可知C错误，求出展开式中一次项的系数，经计算
可得B错误；构造方程组计算可得D正确.
【详解】对于A，令 ，即可得 ，可得A正确；
对于B，因为展开式中 代表一次项系数，所以 的展开式中含有一次项 ，可得，即B错误；
对于C，令 ，即可得 ，可得 ，所以C错
误；
对于D，令 ，即可得 ，
得 ，得 ，即D正确.
故选：AD
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：借助赋值法分别令 、 计算即
可得；对C：结合B中所得，再令 计算即可得；对D：借助导数结合赋值法计算即可得.
【详解】对A：对 有 ，
则 ，故A正确；
对B：令 ，有 ，令 ，则有 ，
故 ，故B错误；
对C：令 ，则有 ，
故 ，
故C错误；
对D：令 ，
则 ，
则 ，故D正确.
故选：AD.
考点 九 、 三项展开式的系数问题1．（2024·湖南衡阳·一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出通项 ，令 ，再求 展开式中 系数为1时的系数，
然后相乘即可；
【详解】 ，
项对应 ， ，
项对应 系数为 ，故 展开后 系数为 .
故选：D.
2．（2024·江苏南京·模拟预测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【分析】根据 ，结合二项展开式的通项公式分析求解.
【详解】由题意可知： 的通项为 ，
且 的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数为 ．
故选：A
1．（2024·云南昆明·模拟预测） 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．10 B． C．60 D．【答案】C
【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求得展开式中 项的系数，得到答案.
【详解】由多项式 展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
又由 展开式的通项为 ，
当 时，可得 ，
所以展开式中 项系数为 ，
故选：C.
2．（2024·安徽·三模） 的展开式中 的系数为 .
【答案】-30
【分析】利用乘方的几何意义和二项展开式的通项公式求解.
【详解】解：因为 是由5个 相乘得到，
使用要想产生 ，则 出1个， 出2个，y出2个，
故所求系数为 .
故答案为：-30
考点 十 、 两个二项式乘积展开式的系数问题
1．（2024·山西长治·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【答案】C
【分析】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意可知，含 的项是
，
所以 的系数是 .
故选：C
2．（2024·江苏南京·模拟预测） 的展开式中， 的系数是 .【答案】205
【分析】根据二项式 的通项公式，结合乘法运算的法则进行求解即可.
【详解】 ，
所以 的系数为 ，
故答案为：205
1．（2024·江西·一模） 的展开式中的常数项为（ ）
A．147 B． C．63 D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出 展开式中 项即可列式计算即得
【详解】二项式 展开式中 项分别为 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．
故选：C
2．（2024·江西宜春·模拟预测）在 的展开式中， 项的系数是 ．
【答案】380
【分析】由题意 ，利用二项式定理求出各项中
的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
又 ，
其中 中含 的项为 ，
中含 项为 ，
中不含 项，
故 系数为 ，
故答案为：380.
考点 十一 、 求系数最大 ( 小 ) 的项1．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习） 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式结合组合数的性质即可求解.
【详解】因为 的展开通项公式为 ，
又当 时， 取最大值，
则系数最大的项是第13项 ．
故选：C.
2．（2024·安徽·二模）已知 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】C
【分析】根据二项式系数和可得 ，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.
【详解】由已知 ，故 ，故通项为 （ ，1，…，8），
故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故 最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
1．（2023·上海嘉定·一模）已知 的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【分析】设系数最大的项为 ，则可得 ，直接求解即可.
【详解】设系数最大的项为 ，
则 ，解得 ，
因为 且 为整数，所以 ，此时最大的项为 .
故答案为：
考点 十二 、 整除和余数问题
1．（2024·湖北·模拟预测） 被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】化简得出 ，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数.
【详解】
其中 是9的整数倍.
故 被9除的余数为4.
故选：B.
2．（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则 天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
【答案】B
【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.
【详解】 ，
故
．
前面7项均能被7整除，则 被7整除余5，
故 天后是星期二．
故选：B.
1．（24-25高三上·河南焦作·开学考试） 被10除的余数为 .
【答案】1【分析】先由题得 再结合二项式定理展开 ，根据其展开式结构特征即可求解.
【详解】由题
，
因为 可以被10整除，
所以 被10除的余数为1.
故答案为：1.
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种
动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【答案】B
【分析】借助二项式的展开式计算即可得.
【详解】由
，
故 除以 的余数为 ，故 除以 的余数为 ，
故 年后是马年.
故选：B.
考点 十三 、 杨辉三角
1．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研
究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第 行中从左到右第3个数与第5个数的比为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据杨辉三角数字规律得到 ，再由组合数公式计算可得.
【详解】依题意可知第 行的数从左到右分别为 ，所以 ，即 ，得 ，解得 或 （舍去），
所以 的值为 .
故答案为：
2．（2023·海南·三模）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学
家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早 年左右.如图所示，在“杨辉三
角”中，除每行两边的数都是 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 行的 为第 行中
两个 的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第 行中，从左到右第 个数是
B．由“第 行所有数之和为 ”猜想：
C．
D．存在 ，使得 为等差数列
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的特征即可判断A，根据二项式系数和的性质即可判断B，根据组合数的性质即可
求解C，根据等差数列的定义即可求解D.
【详解】对于A，在“杨辉三角”第 行中，从左到右第 个数是 ，A错；
对于B，由二项式系数的性质知 ，B对；
对于C，由于
故C正确；
对于D，取 ，则 ，
因为 ，所以数列 为公差为 的等差数列，D对.
故选：BCD.
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中
展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，
求出第 行中从左到右第 个数与第 个数，即可判断D.
【详解】对于A：第 行，第 行，第 行的第 个数字分别为： ， ， ，其和为 ；
而第 行第 个数字就是 ，故A正确；
对于B：因为 ， ，
所以 ，故B正确；
对于C：由图可知：第 行有 个数字，
如果 是偶数，则第 （最中间的）个数字最大；
如果 是奇数，则第 和第 个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第 行的第 个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第 行从左到右第 个数为 ，第 行从左到右第 个数为 ，
所以第 行中从左到右第 个数与第 个数之比为 ，故D正确；
故答案为：ABD.
1．（2023·安徽黄山·二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数 、 、 、 、 ，依次构成数列，则 .
【答案】
【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出 ，再利用裂项相消法可求得所求代数式的
值.
【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知 ， ， ， ，
所以， ，所以 ，
所以， .
故答案为： .
2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形
中的 换成 得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解.
【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，因此 ，即D正确，ABC错误.
故选：D
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在
中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除
每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的
和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第 行的所有数字之和为
【答案】BC
【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断，即可求解．
【详解】对于A：第 行是二项式 的展开式的系数，
所以第 行中第 个数最大，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：第 行是二项式 的展开式的系数，又 展开式的通项为 ，
所以第 个数为 ，第 个数为 ，所以第 个数与第 个数之比为 ，故C正确；
对于D：第 行是二项式 的展开式的系数，故第 行的所有数字之和为 ，故D错误；
故选：BC一、单选题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．240 C．1600 D．2400
【答案】D
【分析】先求出 展开式的通项，令 ，代入即可得出答案.
【详解】 的展开式的通项为： ，
令 ，解得： ，
故 的系数为： .
故选：D.
2．（2024·山西太原·三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．-20 B．20 C．-30 D．30
【答案】D
【分析】先把 看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定 的次数，最后根据指定项配凑
出项的系数.
【详解】因为 的展开式通项为 ，
当 时，出现 ，即
此时 中含 的项为 ，
所以 的系数为 .
故选：D.
3．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知 的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的
常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 求出 的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令 的次数为零，求出 ，从而可求出展开式中的常数项.
【详解】因为 的展开式中第3项的二项式系数等于36，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以该展开式中的常数项为 ，
故选：A
4．（2024·陕西·模拟预测）若 的展开式中的各项系数和为243，则
（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
【答案】B
【分析】令 根据各项系数和求出 ，再利用赋值法计算可得.
【详解】因为 ，
令 可得 ，解得 ，
令 可得 ，
令 可得 ，
所以 .
故选：B
二、多选题
5．（2024·吉林·模拟预测）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项 D．常数项是第4项
【答案】AB
【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据二项式 展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判断B选项；根据展开式的通项可判断C选项和D选项；
【详解】在 的展开式中，各二项式系数的和为 ，故A正确；
各项系数的绝对值的和与 的各项系数和相等，
令 ，可得各项系数的绝对值的和为 ，故B正确；
展开式的通项为 ，
令 ，得 时，展开式的项为有理项，
所以有理项有4项，故C错误；
令 ，得 ，所以常数项是第5项，故D错误.
故选：AB.
6．（23-24高二下·广东深圳·期中）若 ，其中 为实
数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，令 ，则原式转化为 ，结合赋值法，以及二项展开
式的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由 ，
令 ，则原式转化为 ，
对于A中，令 ，可得 ，所以A正确；
对于B中，由二项式定理的展开式，可得 ，所以B不正确；
对于C和D中，令 ，可得 ，
令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以C、D 正确．
故选：ACD.
三、填空题7．（2024·湖北襄阳·模拟预测） 的展开式中 的系数为 .
【答案】56
【分析】利用二项式定理展开式中的通项来进行计算得出结果
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，故 的展开式中 的系数为 .
故答案为：56.
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）若 ，则 .
【答案】
【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求解
【详解】 的展开式通项是： ，
依题意得， ，即 ，所以 ，
故答案为：
9．（2024·广东佛山·模拟预测） 的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
【答案】70
【分析】根据二项展开式的通项可得 ，令 ，代入运算求解即可.
【详解】由题意可知：展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中常数项是 .
故答案为：70.
10．（2024·福建南平·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】240
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】 ，
二项式 的通项公式为 ，其中 的展开式中不含 的项，
含 的项为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，故 的系数为240．
故答案为：
一、单选题
1．（2024·山东·二模） 展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.
【详解】现有8个 相乘，从每个 中的三项 各取一项相乘时，若结果为 的
常数倍，则所取的8项中有4个 ，2个 ，2个 .
所以，总的选取方法数目就是 .
每个这样选取后相乘的结果都是 ，即给系数的贡献总是 ，所以 的系数就是全部的
选取数 .
故选：C.
2．（2024·湖北·模拟预测）若 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其
展开式中 的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【答案】D
【分析】先确定 值，再由二项展开式的通项求解 项的系数即可.
【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
即二项式系数 中第5个即 最大，
所以由二项式系数的性质可知，展开式中共 项， ，又 ，
则 二项展开式的通项公式
， .
令 ，所以 的系数为 ．
故选：D．
3．（2024·河北邢台·二模）已知在 的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3
项，其中有理项的个数为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先通过二项式定理得出在 的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，然后
结合超几何分布求得相应的概率，进而结合均值公式即可得解.
【详解】 的二项展开式为 ，
由题意 ，解得 ，
若要取到有理项，则需要 能被3整除，则 ，
即在 的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，
若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为 ，可知 的所有可能取值分别为0，1，2，3，
， ，
所以 .
故选：C.
4．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，
会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代
十进制是 ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，由进位制的换算方法代入计算，再由二项式展开式代入计算，即可得到结果.
【详解】由进位制的换算方法可知，八进制 换算成十进制得：
，
因为 是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为 的末尾数字，
由 可得，末尾数字为5.
故选：C
二、多选题
5．（2024·江苏·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法一一计算可判定A、D选项；利用二项式定理可判定B、C选项.
【详解】对于A，令 ，则 ，故A正确；
对于D，令 ，
令 ，
两式相减得 ，故D正确；
易知 ，
而 中的常数项为1，含 项为 ，
含 项为 ，含 项为 ，同理 中的常数项为 ，含 项为 ，
含 项为 ，含 项为 ，
所以 ，故B错误；
，故C正确.
故选：ACD
6．（2024·河北·二模）已知 ，
，其中 ， ．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】写出 展开式的通项，即可表示出 ， ，从而求出 ，即可判断A，再利用赋值法判断
B、C，将 两边对 求导可得，再令 ，即可判断D.
【详解】二项式 展开式的通项为 （ 且 ），
，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 （舍去）或 ，故A正确；
由 ，
令 可得 ，故B正确；
由 ，
令 可得 ，
令 可得 ，所以 ，故C错误；
将 两边对 求导可得，
，
令 可得 ，故D错误.
故选：AB
7．（2024·山西·三模）已知函数 ，则（ ）
A． B． 展开式中，二项式系数的最大值为C． D． 的个位数字是1
【答案】BD
【分析】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值
法，令 、 即可得结果；对于D：因为 ，结合二项展开式分析求解.
【详解】对于选项A： 的展开式的通项为
，
令 ，可得 ，
所以 ，故A错误；
对于选项B：因为 为偶数，可知二项式系数的最大值为 ，故B正确；
对于选项C：令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
所以 ，故C错误；
对于选项D：因为 ，
且 的展开式的通项为 ，
可知当 ， 均为20的倍数，即个位数为0，
当 时， ，所以 的个位数字是1，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
8．（2024·山西朔州·一模） 的展开式中 的系数为 ．
【答案】
【分析】先变形为 ，写出通项得到 ；再写出 的通项，
得到 ，最后把两项系数相乘即可.
【详解】 ，
通项为 ，所以 ，即 ，
又 通项为 ，当 时，才能得到 ，
所以展开式中 的系数为 ，
故答案为： .
9．（2024·河北·模拟预测）已知 的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为
.
【答案】
【分析】令 即可求出 ，求出展开式通项即可求出常数项.
【详解】令 ，可得展开式中各项系数的和 ，解得 ；
的展开式通项为 ，
因为 ，所以展开式中常数项为
，
故答案为： .
10．（2024·江西景德镇·三模）若关于 ， 的三项式 的展开式中各项系数之和为
64，则 ；其中 项系数的最大值为 .
【答案】 6 /
【分析】令 ，得 ，即可求得n的值，利用组合知识求得 项系数为 ，然
后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】三项式 的展开式中各项系数之和为64，
则令 ，得 ，解得 ；
所以三项式 的展开式中 项系数为：
，当且仅当 时等号成立，即 项系数的最大值为 .
故答案为：6；
1．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出二项展开式，令 ，解出 然后回代入二项展开式系数即可得解.
【详解】 的二项展开式为 ，
令 ，解得 ，
故所求即为 .
故选：A.
2．（2024·上海·高考真题） 展开式中 的系数为 .
【答案】15
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【详解】 展开式中令 的项为 ，
所以 展开式中 的系数为15.
故答案为：15
3．（2024·全国·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第 项系数最大，则根据通项公式有 ，进而求出 即可求
解.
【详解】由题展开式通项公式为 ， 且 ，设展开式中第 项系数最大，则 ，
，即 ，又 ，故 ，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 .
故答案为：5.
4．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
所以常数项为 .
故答案为：20.
5．（2023·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式 ，令 确定 的
值，然后计算 项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式 ，
令 可得， ，
则 项的系数为 .
故答案为：60.
6．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
7．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 求出 ，再令 即可得出答
案．
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
8．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
9．（2022·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项是 .
【答案】【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入
即可得解.
【详解】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
10．（2021·北京·高考真题）在 的展开式中，常数项为 .
【答案】
【分析】利用二项展开通项公式即可得解.
【详解】 的展开式的通项 ，
令 ，解得 ，故常数项为 .
故答案为： .
11．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 .
故答案为：160.
12．（2021·浙江·高考真题）已知多项式 ，则 ，
.
【答案】 ; .
【分析】根据二项展开式定理，分别求出 的展开式，即可得出结论.
【详解】 ，，
所以 ，
，
所以 .
故答案为： .
13．（2020·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
【答案】10
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，令
，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
14．（2020·全国·高考真题） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【分析】求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展
开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属
于中档题.
15．（2020·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 的系数即可.
【详解】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
16．（2020·浙江·高考真题）设 ，则 ；
．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可.
【详解】 的通项为 ，
令 ，则 ，故 ；
.
故答案为： ； .
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
17．（2020·全国·高考真题） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
【答案】
【分析】写出 二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 的展开通
项公式 ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
