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2018年数学（三）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（D）.
【解】对选项D,由导数定义得
1
4^
/；(0) = lim c = .. l im C - O -- S - ------ — --- - 1 - -= . l . im i
工~0+ 工—0
x-0+ H —o+
1 ~ ◎，
1
--3C
/l(0) = lim
/(jc ) — /(O)
=
1
l i
.
m -
c
-
o
--
s
-
、
-
y
--
—
-- -
亠x
-- --
—
--- -
丄1
= li
1
m
.
---
2
- --=—
1
,
x*0- 工 一 0 工-0一 力 lo 一 z 2
故函数f（.x ） ==cosy| J； |不可导，同理，可验证其他3个选项在X =0都可导，应选（D）.
⑵【答案】（D）.
【解】 考虑/（z）在X =-^-处的泰勒公式：
"）=”*）+川 *）（「*）+兽 工一 *）（其中w在*之工间与 ）.
对fCx）在[0,1]上积分得
0=[ /（a- ）dj? = f 2
dx
J 0
+H G-
—身） 作） 扑曲
所以，当 f'\x ) > 0 时 ‘•*)/( = — yj /"(g) (° — ) dr < 0,应选(D).
(3)【答案】(C).
+叮
【解】 由定积分性质得m=F £ dz = F （l + -4^）dx - 吐=兀
J-于 1+工 J-7 V 1+^2 /
又当一时,1+ 忌丁> 1 >上字，由定积分的保号性，有
厶 厶 e
\\ （1 + 丿融£）吐 >[\ldx >[\ 上嬰 dz ,即 K >M> N,应选（C）.
J ~~2 J ~~2 J _豆 e
⑷【答案】（D）.
【解】 平均成本函数c（q）=嘤2,则c^q） =Cg）Q：c（Q）
Q Q
由题设产量为Qo时平均成本最小，所以c'（Q°）=gtQ°）Q°「c（Qo）=0,
Qo
即 Cz（Qo）Qo =C（Q0）,应选（D）.
（5）【答案】（A）.
/I 1 0\ A - 1 1 0
【解】记矩阵M= 0 1 1 ,则I入E—M| = 0 A - 1 1 =(A — 1 )3 = 0.
'o 0 U
0 0 A - 1所以矩阵M的特征值为儿=入2=入3=1，且rQE—M)=r(E—M)=2,设选项(A),(B),
(C),(D)的矩阵分别为A,B,C,D,易算出其特征值均为1,且r(AE-A)=r(E-A)=2,
r(E ~B) = r(E -C) = r(E -D) =1,
若两矩阵相似，其对应的特征值矩阵也相似,秩相等•所以可以判断选项(A)正确，应选(A).
(6)【答案】(A).
【解】 易知r(A,AB) ^r(A),又由分块矩阵的乘法，可知(A,AB) =A(E,B),因此
r (A ,AB ) £ min {r (A ) ,r (E ,B) },
从而 r(A,AB) Wr(A),所以 r(A,AB) =r(A),应选(A).
⑺【答案】(A).
【解】 由/(1+^)=/(1-^),知/'(工)关于工=1对称，因此
[/(j: )dj? = f /(j: )dj? = ~ I /(x )djr =0. 3 ,
J 0 J 1 2 J 0
P {X V0} = f /(j; )djc = f — J /(j; )dj： =0. 5 — 0. 3 =0. 2.
J —oo J ―«oo J 0
故选(A).
(8) 【答案】(B).
【解】根据单个正态总体的分布性质可知
乂〜龙N 〜N(0,l),("二宜〜;—1),
X _卩 _
且 X 与 S?独立，所以 "麻 ---〜/ (" — 1),即用•(电---—~ / (兀 一1 ),
卜n 一 1用，1 S
J a2 n — 1
应选(E).
二、填空题
(9) 【答案】夕=4攵一3.
9 9 9
【解】夕'=2工---,j/' = 2------(z >0).由 y" = 2-------2 = 0 得拐点为(1,1).
X X x
又所求切线的斜率为y' =(2攵+吕)| _1=°，故切线方程为夕=4鼻一3.
(10) [答案】er arcsin — P^-71 -e2x +C.
【解】
j"e" arcsin J\ — e2jr dz = ]arcsin J\ — e2j de"
_______ r i i
= arcsin^/1 — ex • ex — --------------------•---------------• (—e2x • 2) • ex dr
Jyi-(l-e2x) 2』1 —』
=eT arcsin %/1 — ex + f 】-- • dr
=er arcsin a/1 — e^~ — J \ — e" + C.（11） 【答案】C2X -5（C为任意常数）.
【解】 因为$y工=yx+z — 2夕工+ +% ,故原方程化为yx+2 — 2夕卄 = 5,
1 1
对应齐次方程的通解为二=C・2工（C为任意常数）.
设非齐次方程的特解为夕；=A，则A — 2A = 5,即A= — 5.
故所求通解为几=C2" 一 5（C为任意常数）.
（12） 【答案】2e.
【解】 由 /（a: + Aj; ） — f（j：） = 2jcf（j： ） Aj? + o （ Aj; ） （ Ajc 0）,得
/'（工）=lim力匕+牛）_于&）=2好（工）,即f'⑺
=2hW
2
解之得f(x)=Cex (C为任意常数).
由于 _f(0)=2,得 C=2.所以 ) = 2ex ,/(1) = 2e.
(13)[答案】2.
【解】由As a ] I a , Aa I a , Aa a a
2 2 ~~ a 2 3 3 1 3
/I 0 1
■A (a 1 1 u 2 ，a.3)== (A a 1 ^Au 2 3) =： (ctj •> u 2 ,03) 11 1 0
0 1 1
两边取行列式，得
1 0 1 1 0 1
A| \ tt i j(X 2 |=|tti，+8
1
・ 1 e7 -1
ffi] lim x (tzex — 1) +6 = lim —-------b = l+b= 2?所以 b =
x
（16）【解】 积分区域如右图阴影部分所示，且曲线与直线的交点为
，则
二（16）题图山 汁］:吐］：l-x2)
［k d ^2dy X 2 ( a/1 — JC2 —工)d«z
D 0
=^3 攵 J\ —工"6.X 一
(J ' 2 J 2 J7 3 dz
其中 ,- ~ / 2 2 x2 — x2 dx x = sin t 4 sin2Z • cos Z d(sin t) =* 4 sin2 2tdt
0 0
丄 7 1 sin 4t \ | f _ K
(1 — cos 4z )dz =— 4 / Io =329
0 o
X4 _ 1
2 x3dx T ~2 =TT
0 0
所以加山旳=站任7一T—丄 y/s ( 7T — 2 )
32 16 32-
D
（17）【解】 设圆的周长为工，正三角形的周长为，，正方形的周长为z,由题设可知_z+y+z= 2,
则目标函数
X + z 2 H 2/543" 2 丄 N2
S = 7T
2^
=4-- -兀--- -------3---6---’-v -\-----1---6--.
构造拉格朗日函数L& 夕，之；入）=—F ^y2 + £ +入（力+丿+之一2）,对参数求导并
9
4兀 36 16
令导函数为0,则
=佥+入
L： =0’
/ 2 V3~ -】
一=常+入-
f 2z
Lf+入=0’
+ ?+ n — 2=0,
2兀 6站兀 8
解得工 L y =----------------- z =------------------
9
7t + 3 a/3^ + 4 tv + 3 扼 + 4 兀 + 3 a/3" + 4
]
此时，面积和有最小值，即S
7t + 3 ^3 + 4
(18)【解】 根据函数的無级数展开，有
g逹沙"诲糅”宀
_ 1 1
"(1+^)2 1 + H
n=0
所以，
l^(-t1r)" 4 =另 oo a”" — o 2 o 2(— 1)"+1(九 + 1)工”
n=0 n=0
=工 B —(—i)”+t+ i)w・
n = 0因为左边缺奇数项，因此n为奇数时,a” 一 (- l)n+1(n + 1) =0,即a” =“ +1；
此时，Y 一(一 1) 宀("+ D］" =工［^2n —（— 1）2卄1 （2〃 + 1）］ J?"
n = Q n = 0
=Y （2" + 1 ）］
“2” + J72",
” =0
（—1）” （—1 ） ”
即 5”+（2“ + 1）=^4-4" 5=而「”-（2"+1）‘
p + 1, n = 1,3,5…，
综上可知an =］（_］）号
1, n =0,2,4,….
(19)［证明】 因为工】H0,所以e巾
P 1 _ ］
由微分中值定理，存在£ 6 (0,厂)，使得—— =e',即F =e$,因此0 Vg 0时,f'S = rex >0,函数/•&)在［0, +8)上单调增加，所以A =0是方程
AeA — eA — 1 在［0, + °°）上的唯一解，故limz” =0.
（20）【解】（I ）
［jc ! — X 2 +工3 = 0,
由 /（X1 ,x2 >x3） = 0 得yx2 + ^3 =0>
& 1 + ax 3 = 0 9
-1 1\ /I 0 2 \
1初等行变换
则系数矩阵A = 0 1 1 1--------------H0 1 1
J
0 '0 0 a — 2
所以当a H 2时9厂(A) = 39方程组有唯一解x! = jc 2 =g — 0.
当a =2时，r(A)=2,方程组有无穷解,X=k^-l Ck为任意常数).
夕 —攵 +工3，
1 =21 2
(U)当a工2时,令丿夕2=工2+5， 为可逆变换，此时规范形为y\+y\+y｝.
』3 =G +处3，
当a = 2时，
/■(工 広 工
1， 2， 3)=(H1 — J：2 + -^3)2 +(J：2 + -^3 ) 2 + CZ1+2j；3)2=2z 12 + 2z 2? + 32 — 2h 2 + 6z iz 3
此时规范形为
J/l2 + j^22.
(21)【解】(I )r(A) =2,而初等变换不改变矩阵的秩，因此JB的秩r(B) =2,于是行列式
1 a 2
\ B \ = 0 1 1 = 2 一 q=0,即 a=2.
-Ill
(D)由AP=B,得卩「"=8丁，即矩阵"可经过初等行变换化为矩阵^t,由分块矩阵的
乘法知
Pt(At,E) =(PtAt,Pt) =(Bt,Pt).
上式表明，对矩阵(At,E)作初等行变换化为(BT,PT),可求得矩阵pT.
对下列矩阵作初等行变换，得
/I 1 2 1 0 °\ I1 1 2 1 0
0 - J
(At i E)= 2 3 7 0 1 J A O 1 3 -2 1
J
'o
'2 0 -2 0 0 _ 2 一 6 -2 0
1 1 2 1 0 °\ I1 0 -1 3 -1 0
0 1 3 -2 1 0 -A O 1 3 -2 1 0
J
0 0 0 -6 2 '0 0 0 -6 2 1
1 0 -1 3 -1 0
2 1 1 4 -1 0
2 1 1 -2 1 1
于是」 4 - 2
—1 1
' 0
0 1
(22)【解】(I )因为E(X)=O,E(X2) = 1,E(Y)=A ,以及X,Y相互独立，故
Cov(X,Z)=Cov(X,XY) =E(X2Y) -E(X)E(XY)
= E(X2)E(Y) -E2(X)E(Y)=入.
(U)由Y服从参数为入的泊松分布，即P{Y=j}=¥/O=0，l，2,“・)，于是Z的所有
J !
可能取值为全体整数.故Z的概率分布为
1)当怡为正整数时，有
1 右
P {Z = b } = P {XY =k } =P {X = l,Y=b} —P{X =1}P {Y —k} = — • r—e^A ；
2)当b为负整数时，有
P {Z =k } = P {XY —k } =P {X — — 1 ,Y — — k} = P{X — — 1} P {Y = — k}
1 厂 _A
=7 * (-^)! e ；3)当怡为0时，有
P{Z=O} =P{XY = O} = P{X= —1,Y = O}+P{X=1,Y = O}
= P{X = — l}P{Y = O} +P{X =1}P{Y = O}
1 -A I 1 -A -A
=Te +Te =e
[i入―
—• ----e 9 k = 1 Q ,3 9 •・• 9
2 k\
故 P(Z=b)=
