2013年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（C）.
【解】由 cos
-1〜-討 ,x sin a (工)〜xa (工),得lim 巴-'于' 丄
X
x
X—o
故aQ）为工的同阶而非等价的无穷小，应选（C）.
⑵【答案】（A）.
【解】 将工=0代入cosQy） + y — x = 1中，得y=l.
譽)+ * 嬰— 1=0,
cosQy)+ In 一 x = 1 两边对 z 求导，得 一 sinCjrj/)
将工=0,夕=1代入得=字I = 1，
d_z I x = o
/(7)-/(0),
、
=21im-------------------= 2/ (0)=2,应选(人).
Z
n*°°-
n
方法点评：本题是隐函数的导数与导数定义结合问题.先求出隐函数的导数，再根据导
数的定义求出极限值.
（3）【答案】（C）.
【解】 因为x = n是/'（工）的跳跃间断点，所以F（g） = [ f （t）dt在工=兀处连续.
,F(j?) —F(k) 1 一 cos — 2 cos 工 + 1 .
田 lim --------------------= lim ------------ =一lim --------------= —lim (一 sin 无)=0，
一”- H —兀 x ―兀 亠T -- T八T
T ->7T
得 Fl(7t) = 0 ；
+ I /(f)di — |
2d/
由 , l . im . - F -- （ -- jc - - ） - -- 一 -- - F -- - （ - 兀 --- ） lim 0 =lim —— =2,
—+ X —Tt + 3C 一 7C …+ H 一兀
得 F；（7r） =2.
因为F：（7T）丰F；（7T）,所以FQ）在工=7T处不可导，应选（C）.
（4）【答案】（D）.
【解】 = J /(^r )dj? + /(J? )djr
9
1
对反常积分| fCjc)dx ,x = 1为瑕点，且lim (je — l)o_1
J 1 x-l +
因为收敛，所以a—1 VI,即a < 2
「+8 1 , Z = In z *00 1
I f）djr = i R''
工
e
「
-j-oo r -|-oo ]
由 f(x)dx即 卡曲收敛得a + 1 > 1,即a>0,于是0 VaV2,应选(D).
J e J 1 /
• 123 •
淘宝店铺：光速考研工作室(5)【答案】(A).
dz
dz X
侍一 z-----r —=—
y dy y
应选（A）.
方法二 将n = —f{xy )两边求微分 得
x 9
dz = df Cxy ） + —dfCxy ）
\工） x
= 辿三昶£心夕）+ 2厂（目心山 +工曲）
X X
「 .. 「
-.2 1 1
_ x X
于是皐
dx x x dy j
故三 字 + 字 二：夕于气久夕)，应选(A).
y dr dy
(6)【答案】(B).
【解】 因为区域Dx ,D3关于直线y =工对称,
Jj =JJ
所以h = （3/ 一 乂 ）clz dy （jc 一』）clr d;y，
D] D]
X
1 3 一 J I y 一 x ）djr dj/ = jj （工 一 y ）cLr dy 9
°3 D3
于是 11 =13 =0;
Cy 一 jr ）dr d 0 + (-広)]<1^(1夕〉0 (°.°夕 + (-h)>0),
D2
j (y 一 j; )djr dj^ =]J Cj7 +(— )]d^ dj/ VO ( */ j/ + (— x ) V 0),应选(E).
4 —
DL o4
方法点评：本题考查二重积分的对称性质.
二重积分有如下几个对称性质：
(1)若D关于》轴对称，其中6 是D位于y轴右侧的部分，则
当 /（— x = — fQ ,y）时 »j|/（x，3/）dj"dj/ =0
D
当 f (― x ,y) — /(jt ,y)时,』于(2 ,_y)d:rdy =2』,y)dLzdy.
d 5
(2)若D关于工轴对称，其中D】是D位于工轴上侧的部分，则
当 /（j; , — y） —— fCx ,y）时.j|/（jt，3/）da-dj/ =0
D
• 124 •
淘宝店铺：光速考研工作室当 f (攵，一y) = fQ ,y)时 J[/'(z ‘jOclzdy 9y)dj：dy ・
D D}
(3)若 D 关于直线 y —x 对称，则jj/(x，夕)dr dy =J]/O □ )dxdy.
D D
(7)【答案】(E).
611 b\2 ••• b»'
b 2\ b 22 °"b2n
【解】令 A = (ai‘a?,…，a”)，B =. ,C = (?
1，r 2 9
bnl b„2 ••• b””.
由AB =C得
Yi ^buax +621a2 H-------bnlan,
r2 =bi2a b22az H----+ bn2an,
【+
=b1„ai +bZna2 H-------bnna„,
即矩阵C的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示；
因为B可逆，所以由AB=C得C^t =A，同理，可得矩阵A的列向量组可由矩阵C的列向
量组线性表示，即A,C列向量组等价，应选（E）.
（8）【答案】（B）.
卩a 1、 (2 0 0\
【解】令人= aba ,B = o
.° 〃
4 a J 'o o d
因为都是实对称矩阵，所以A ~B的充分必要条件是A,B特征值相同.
而B的特征值为入 = 2,A2 = 6,入 = 0.
1 3
1 —a -1 1 a 1
一 一
1 — 1
2E - A 一 a 2 一 b 一 a ―a 2 一 b 一 a =2a
——a ——a
一 1 一 a 1 0 —2a 0
所以…加Ji : 1\
0，且A的特征值也为A ! = 2,A2 = 6 »A3 = 0,
'1 0 J
故当a =0,6为任意常数时,A〜应选（E）.
二、填空题
丄
（9）【答案】
i
ln( 1 + 工) 7 )
【解】 lim
•Zf 0
x
・125・
淘宝店铺：光速考研工作室(10)［答案】,丄一•
【解】 将夕=0代入y = f 1工)中，得= — 1.
由函数与反函数导数的关系得字
J， ( — 1 /
y = Q J
而 /z (x ) = yi — eJ，故学 1__ _ 1
ay y=o /'(—I) 71 — e_1
TT
(11)【答案】
【解】 由极坐标系下面积的定积分公式得
A =另/(讪=扛严咖刖=J：曲30归乂曲3加⑶)
丄
2 cos2(9d<9
0
(12)【答案】y+工-「In施=0.
【解】 当/=1时，曲线上点的坐标为M0(^,ln72).
石的 dy/d/_l+r 徉曲
由石—齐7不_二2_''侍石’=|—1'
T+77
则法线的斜率为k =-i,故所求的法线方程为
y 一 In血=—(工一中)，即工 + y ——----ln^ = 0.
(13) 【答案】 一e工+』一工尹.
【解】 设二阶常系数非齐次线性微分方程为y^ + py^qy =于(工).
由线性微分方程解的结构，得加一恥=e" , y2 —3^3 =e"为方程『+ pyr + qy = 0的两
个解，则该方程的特征根为A ! =1,入2=3,故方程yf + pyf + qy = 的通解为
y = C i e' + C 2 e" — x e2j ,
z (Ci + C2 = 0 9
由 y(0) =0,y(0) =1,得厂1 「解得 C1 =-l,C2 =1,
i ~~i 302 1 —19
故满足初始条件的特解为j；=-eJ +e3j -xe2\
(14) 【答案】一1.
【解】 由A ij ——a ij ,得人丁 = — A *，两边取行列式得|A|=(— 1)3|*A | = — |A|z,
于是 | A | = 0 或 | A | = —1.
因为A为非零矩阵，所以a tJ Ci ,j =1,2,3)不全为零，不妨设a. HO,
由 | A | =a ii A.十 a 12 A * +53A13 = —(a£ +a% +占3)< 0，得 |A | = —1.
方法点评：在行列式计算中，若出现A”或者A"时，一般使用如下两个性质：
(1) a,1^.1 +a,2AiZ -------ainA,„ = |A | (^ =1,2,•••,“)；
(2) |*A |= |A L.
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淘宝店铺：光速考研工作室三、解答题
（15）【解】方法一
.. 1 一 cos x • cos 2• cos 3工
由 lim--------------------2-------------------------
l0 X
1 - cos x i cos x 一 cos x cos i cos x cos 2x 一 cos x cos 2x cos 3x
lim
j-—o _X 2 X 2 X 2
1
一
COS X 1
一
cos 2jc 1
一
cos 3
lim + COS X cos x cos
十
X2 X X
j-*0- 2 2
limUcos x
十
..
l
.
i m
1
一
cos 2jc
十
.v
li m
1
一
cos
7,
•r—>0 x*0- X 2 0 X 2
得 1
一
cos x cos 2工 cos 3jc 〜7工 $ 9 故 x = 2 9Q = 7.
方法二 由麦克劳林公式得
2 2 4 9
COS X = \ — ------O(J? 2 ) , COS 2乂 = 1 ——JC 2 + O(J7 2 ) , COS 3工=1 ——JC 2 + O (无 2 ) 9
一 一
/! /! /!
1 + 4 + 9
从而 cos x cos cos 3jc = 1-------—------x2 + o (j? 2 ) = 1 — lx2 + o (j? 2 ),
乙！
于是 1 — cos x cos 2x cos = 7工'+ o (jc 2)〜lx2 (jc f 0 时)9 故 n =2 =7.
方法点评：本题考查无穷小的阶与等价无穷小.
涉及余弦函数的无牙小有一个等价无穷小的公式— cos x〜2 （jr —0时）.
事实上这个公式可以推广成更广泛的公式：1 — cos"jc〜~-x2 （jc —► 0时）.
1 — %/cos X
【例1】 求 lim —
文*- 0 X —ln( 1 + jc )
1 1
【解】1 — \Zcos无==1 COS2 X --JC 2
4
jr
由 ln( 1 + 広)=鼻---- + o (z °),得工一ln( 1 + a?)
1 — a/cOS X 1
于是lim
—ln(l + ) 2
【例2] 计算lim 1 一 y cos x • y cos • J cos 3 乂
x arcsin x
x*0-
]. 1 — vcosx • J cos 2jc • J cos 3 无 .. 1 — V cos x • J cos 2无 • %/ cos
【解】 lim------------------------:----------------------= lim------------------------------------------------
x*o- x arcsin x 才〜。 x
1 — yCOS 2x f-------- /-----— 1 — vcos3x \
+ cos x ---------2---------r v cos x a/cos 2x
X
[. 1 — J cos x . .. 1 — ycos 2x , .. 1 — a/cos 3x
11m--------2---------r lim---------；---------F lim-----------------
広X X 工'
-*0r* -*or-
£
I
4 4 4
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淘宝店铺：光速考研工作室(16)【解】由旋转体的体积公式得
由J =10匕得a =70.
(17)【解】由了
工 +
,
夕=
。得
「
由
【工+
「
夕=
。得
1 8, b=6. 8,
令 Di={(z,y)|o£j7 < 2 ,y C 3^ 3jt J ,
(工，夕)”《工W69专—工
D2
'2 *3x ■8-x
则 j?2 dj? dj/ = x2 dx 3 +
D 0 T T
416
"ctr + 丁
(18)【证明】(I )方法一 因为/'(工)为奇函数，所以/(-^r) =-/(a-),于是/(0) =0.
由拉格朗日中值定理，存在w e(0,1),使得/Z(e)=/(1^~{(Q) =1.
1 — U
方法二 因为/'(工)为奇函数，所以/■(— = )= —于(工)，于是f(0) =0.
令
(1) = /(1) — 1 = 0.
由罗尔定理，存在W 6 (0,1),使得/(£)= 0,而卩'(工)=y'Q) —1,于是/(f) = 1.
(H)因为尸&)为偶函数，所以/(-e)= 1•令h(x)= y'cz)—ik/(—$)= h®= 0.
由罗尔定理，存在” W (—£,£) U (-1,1),使得/z'5)= 0.
而 h'Q) =f"Q)e= +[y'Q) — l]ex =了〃(工)+于'(工)一l]ex 且于 H 0,
所以 f"+ /z(7)=1.
方法点评：本题考查中值定理.中值定理部分最难以掌握的部分就是辅助函数的构造,
事实上构造辅助函数有一整套的方法，就本题辅助函数构造作如下补充：
(1) 若结论为 /■'(€)+吋(g)=0,辅助函数为 F(H)=e"'/'(_z)；
(2) 若结论为 Ef'心)kf (f) =0,辅助函数为 F(x )
(3) 本题第二问，先将厂(乃)+尸5)= 1改写为厂(H)+y'Q) — l= 0,整理得
\_f\r) — 1了 + \_f，(x ) — 1] == 0,显然辅助函数为 FQ) = e7 [_f\x ) 一 1],
(19)【解】 设M(x,y}为曲线上任一点，该点到原点的距离为〃=丿工+ 2.
令 F (x 入)=x2 + y2 + A (j;3 xy + jy3 — 1),
一
F.： = 2_z + A (3j? 2
一
y) = 0,
=1
9
由 Fy = 2,y +入(3亍 一 jc ) = 0,得
=1.
=x3 — xy + y3 — 1 0,
又(1,0)与(0,1)为曲线的两个端点，由〃(1,1)=扼,"(1,0) =d (0,1) =1,得曲线上的
点到坐标原点的最大距离为施，最短距离为1.
• 128 •
淘宝店铺：光速考研工作室1 1 1 9
(20) ( I )【解】 由 ff (x ) =---------=0 得工=1,厂(2)=--------- H----,
x x x
因为/''(I) = 1 > o,所以工=1为y(z)在(0*,+ )的最小值点，最小值为/(1)= 1.
(H)【证明】
由1 n h” H $ 1及In工”-----V 1，得— >----，即久” < 工”+ ，故数列｛工”｝单调增加;
i
n 工 ”+1 X * JC n+1
由In x n M In z”----— < 1 ,得z” V e,即数列｛z”｝单调增加有上界，故limz”存在.
•Z 卄］
刍
+ £
令hmxn = AAnxn ------- V 1两边求极限得In a 19
” f°° % 卄 1 A
又 In S $19得1!1(2 319即111(2---= 1.9 解得 A = 19 艮卩 limjc„ = 1.
x n A A nf8
卑=鼻 1 _^2 - 1
(21)【解】(1)
djr Z 2x 2jc
于是曲线的弧长为 =〔山=*1 (工+扌)clz = ■丄+ * =弓
S
jj x djr dy
(II )区域D的形心横坐标为〒 D
dr
dy
JJ dj? djr
而 dy = x
D
jj x djr dy x In x
D
=^- I (J?3
一
2jc In x )d:r e4 —2—3
4 J 1 16
3(e4 -2e2 -3)
于是工
4(e3 -7)■
(22)【解】
X 2 CLX
4
ax
1
+ X4 处3
X 2 + Cl^C ax
'一 3 一 1+^2+ 4
AC-CA =
JC2 — ax
a 1 —力3 —工4
• 129 •
淘宝店铺：光速考研工作室一工 2 + ax 3=0,
a工 1 + 工 2 + ax 4=1，
一
由AC-CA =於，得v
X j — X 3 — T 4 = 1 ,
jc 2 cijc b.
设以上方程组对应的系数矩阵为D,则
，0 -1 a 0 0' 0 -1 a 0 0
——a 1 0 a 1 0 1 —a 0 1 +a
1 0 -1 -1 1 1 0 -1 —1 1
0 1 —a 0 b, 0 1 一 a 0 b
1 0 -1 -1 1
0 1 ——a 0 1 + Q
0 0 0 0 1 + a
0 0 0 0 b .
当a =-1,6 -0时，线性方程组AC-CA =B有解,
1 0 -1 -1 r
0 1 1 o o
由 得AC-CA =B的通解为
0 0 0 0 0
（） 0 0 0 0
1 r 1 k 1 + k 2 + 1
-1 o 0 —kx
+ k + (紅 k2为任意常数)，
1 0 0
0 I 0
k x + k 2 + 1 7 ）（“2
故c = 为任意常数).
kl k2 /
(23)【证明】(I )令X =卜，则
◎
= 2Xt •（如,a2,a3）X+Xr b2 （b\ ,b2』3）X
'bj
= XT(2aaT)X+xT(00T)x =XT(2aaT +/J/J1 )X ,
则二次型f的矩阵为2aa「+00T.
(II )令 A = 2aa ' -| 00丫，由 Aa = (2aa 1 + 00「)a = 2a ,
得a为A的属于特征值入i = 2的特征向量；
由Ap=C2aaT +pp)p=p,得0为A的属于特征值A2 =1的特征向量；
因为 r(A) =r(2aar +fipT) < r (2aaT ) + r ) = r(a)+r(0)=2V3,
所以入3 =0为A的特征值，故二次型/在正交变换下的标准形为2〃 +龙.
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淘宝店铺：光速考研工作室
