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专题05 构造新图或用公式求函数值
1．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照
如图所示的方法折叠（如图①②③）：
重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察
之后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请你直接写出tan67.5°=_____．
2．阅读下面材料：
小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在 中， ， ，则
______
小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形 如图 ，他发现 不是特殊角，但它是特殊角
的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题 于是小天尝试着在CB边上截取
，连接 如图 ，通过构造有特殊角 的直角三角形，经过推理和计算使问题得到
解决．
请回答： ______．
参考小天思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等腰 中， ， ，请借助 ，构造出 的角，并求出该角
的正切值．
3．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了
浓厚的兴趣，进行了一些研究．(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan
∠A（填“＝”或“≠”）；
(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan ∠A；
小明想构造包含 ∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝ ∠A，即转
化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ．求tan2A的值．
4．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有
关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2tan
∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan ∠A的值；小明想
构造包含 ∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝ ∠A，
即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝ ．
①tan2A＝ ；
②求tan3A的值．5．阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 中，
，求 （用含 的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，
则 ，然后利用锐角三角函数在 中表示出 ，在 中表示出 ，
则可以求出 ．
阅读以上内容，回答下列问题：
在 中， ．
（1）如图3，若 ，则 __， _____；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出 的表达式（用含 的式子表示）．
6．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了
浓厚的兴趣，进行了一些研究．
（1）初步尝试：我们知道： ______， ______，发现结论： ______ ；
（选填“=”或“≠”）（2）实践探究：如图1，在 中， ， ，求 的值；
小明想构造包含 的直角三角形：延长 至点D，使得 ，连接 ，所以得到
，即转化为求 的正切值．请按小明的思路进行余下的求解；
（3）拓展延伸：如图2，在 中， ．求 的值．
7．同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：
sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
例：sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝
(1)试仿照例题，求出cos 15°的准确值；
(2)我们知道，tanα＝ ，试求出tan 15°的准确值．
8．对钝角α，定义三角函数值如下：
sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．
(1)求sin120°，cos120°的值；
(2)若一个钝角三角形的三个内角比是1：1：4，点A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是
方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
9．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：① ；②
；③ ．利用这些
公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．
【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
(1)求 的值；
(2)如图，一架直升机在一建筑物 上方的点 处测得建筑物顶端点 的俯角 为 ，底端点
的俯角 为 ，此时直升机与建筑物 的水平距离 为 ，求建筑物 的高；
(3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点 处往正东方向飞多远，居
民在点 处看飞机的仰角恰好是 ．
10．阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
Sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ ； tan(α±β)=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值
例：tan15°=tan(45°−30°) = =
根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题
(1)计算sin15°；
(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图）,小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度,小华站
在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助
小华求出该信号塔的高度.(精确到0.1米,参考数据： ≈1.732, ≈1.414)11．阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1．sinα= ，cosα= ，
tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得
∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin
45°cos 30°-cos 45"sin 30°=
任务∶
（1）计算∶sin 75°=_____
（2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2 一2，求 AB和BC的长．
12．阅读材料：
一般地，当α、β为任意角时，tan（α+β）与tan（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：tan
（α±β）= ．例如：tan15°=tan（45°﹣30°）= = =
= = ．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）求tan75°的值；
（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔，文峰塔的木塔年久倾毁，仅
存塔基，1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图1），小华想用
所学知识来测量该铁搭的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心A处5.7米的C处，测得塔顶的
仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度．（精确
到1米，参考数据 ≈1.732， ≈1.414）
