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专题 05 期末复习专题：分式与分式方程
目录
【考点一 分式、最简分式、最简公分母】............................................................................................................5
【考点二 分式有无意义的条件】............................................................................................................................7
【考点三 判断分式变形是否正确】........................................................................................................................9
【考点四 利用分式的基本性质判断分式值的变化】..........................................................................................11
【考点五 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】......................................................................................12
【考点六 求使分式值为整数时未知数的整数值】..............................................................................................14
【考点七 分式的混合运算】..................................................................................................................................15
【考点八 分式化简求值】......................................................................................................................................19
【考点九 分式运算中的错解复原问题】..............................................................................................................21
【考点十 与分式有关的规律性问题】..................................................................................................................25
【考点十一 分式方程的定义】..............................................................................................................................29
【考点十二 解分式方程】......................................................................................................................................31
【考点十三 解分式方程错解复原问题】..............................................................................................................34
【考点十四 分式方程无解与增根】......................................................................................................................37
【考点十五 已知方程的根的情况求参数的取值范围】......................................................................................39
【考点十六 与分式方程有关的规律性问题】......................................................................................................41
【考点十七 分式方程的实际应用】......................................................................................................................47
【考点十八 与分式及分式运算有关的新定义型问题】......................................................................................51
一．分式的定义、有无意义与分式的值为0
1.分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从本
质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝ 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
2.分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
3.分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
二．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
（2）约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
（3）通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简
公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中
不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
（4）最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
（5）最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高
次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字
母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．三．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把
分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形
式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
四．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约
分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
五．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分
式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
六．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
七．分式方程的定义及分式方程的解
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
2.分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0的未知数的值，这个值叫方程的
解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
八．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
九．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
十．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【考点一 分式、最简分式、最简公分母】例题1：（24-25八年级上·山东济宁·期末）下列各式 ， ， ， ， 是分式的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可解答．
【详解】解：由题意得，分式有 ， ， ，共3个．
故选：C．
例题2：（23-24八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式、约分
【分析】本题主要查了分式的化简，最简分式．根据分式的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、 ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、 是最简分式，故本选项符合题意；
C、 ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、 ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
例题3：（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式 和 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母．熟练掌握最简公分母是解题的关键．
根据最简公分母的定义求解作答即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，
这样的公分母叫做最简公分母．
【详解】解：由题意知，最简公分母为 ，
故选：C．
【变式训练】1．（24-25八年级上·广东潮州·期末）在式子： ， ， ， 中，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题主要考查了分式的定义，对应两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如 的式子叫做
分式，据此求解即可．
【详解】解：在式子： ， ， ， 中，分式有 ， ，共2个，
故选：B．
2．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）下列各式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，
即可求解；理解“分子分母不含有除 以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．
【详解】解：A. ，分子分母含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
B. ，分子分母含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
C. 是最简分式，故符合题意；
D. ，分子分母含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
故选：C．
3．（24-25八年级上·全国·期末）分式 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，
这样的公分母叫做最简公分母．
先变形得到 ，然后根据最简公分母的定义进行判断即可．
【详解】解： ，的最简公分母为 ，
故选：D ．
【考点二 分式有无意义的条件】
例题：（24-25七年级下·全国·期末）当 时，分式 无意义．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母为 ，分式无意义，即可求解．
【详解】解：当 时，分式 无意义．
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）要使分式 有意义，则 的取值应满足 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列不等式求解．理解分式有意义的条件（分
母不能为零）是解题关键．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·河南信阳·期末）已知分式 ，当 时，分式的值为 ，当 时，分式无意
义，则 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、负整数指数幂
【分析】本题考查分式，掌握分式有意义条件和分式为零的条件是解题的关键．
根据题意列出关于 、 的方程 ，解方程求出 、 的值，代入代数式求出结果即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ，所以 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知分式 ，当 时，分式没有意义；当 时，分式的值
为零．则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有
意义，可得 ，再由分式的值为零，可得 从而得到 的值，代入即可得到答案．
【详解】解： 时，分式没有意义，
时，分式的值为零，
．
【考点三 判断分式变形是否正确】
例题：（24-25八年级上·云南临沧·期末）下列分式从左到右变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质；
根据分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A. ，原式错误；
B. ，原式正确；
C. ，原式错误；
D. ，原式错误；故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意；
故选D．
2．（24-25八年级上·广西钦州·期末）根据分式的基本性质，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决此题的关键．根据分式的基本
的性质逐一解答即可．
【详解】解：A：分式的分子与分母同时加上减去一个不等于0的数1，分式的值不一定不变，等式不一定
成立，不符合题意；
B：分式的分子与分母没有按分式的基本性质进行变形，等式不一定成立，不符合题意；
C： ，等式成立，符合题意；
D：当 异号时，分式不成立，等式不一定成立，不符合题意；
故选：C ．
3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各式中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、等号右边 分子分母同时乘以 ，得 左边，故A错误，不合题意；
B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意；
C、 ，故C错误，不合题意；
D、分子分母同时乘以 ，即 ，故D正确，符合题意．
故选：D
【考点四 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）把分式 中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．把原分式中的 、 换成
、 ，进行计算，再与原分式比较即可．
【详解】解：把原分式中的 、 换成 、 ，则
，
所以缩小为原来的
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·福建福州·期末）若分式 中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的3倍C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴该分式的值扩大到原来的3倍．
故选：B．
2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若把分式 中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不变
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的性质进行判断即可．
【详解】解：把分式 中的x与y都扩大2倍得 ，
则所得分式的值扩大为原来的2倍，
故选：B．
3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）若把分式 中的x和y都扩大3倍，那么分式的值为是（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的性质性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解
此题的关键．
【详解】解：由题意可得： ，
故分式的值为是缩小为原来的 ，
故选：D．
【考点五 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）若分式 的值是正数，则x的值可能是（ ）．
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式的值，根据同号得正列式求解即可．
【详解】解：根据题意得， ，
解得， ，
只有选项A符合条件，
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）当分式 的值为正数时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】B
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于得到 ．
由分式的值为正数可知 ，最后解不等式即可．
【详解】当分式 的值为正数时，
∴ ．
故选：B．
2．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式 的值为正数，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键．
根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
∴ ，解得： ．
故选C．
3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）若分式 的值为正，则 的取值范围是 ．【答案】 且
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查分式的性质，不等式的解法，由题意可得： 且 ，再进一步解答即可．
【详解】解：∵ 的值为正，
又∵ ，
∴ 且 ，
且 ，
故答案为： 且 ．
【考点六 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若 的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考．
先将分式 分离常数得到 ，再将问题转化为 为整数的问题求解．
【详解】解： ，
∵ 的值为整数， 为整数，
∴ 为整数，
∴ 或 ，
∴ 或2或5或1，
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式 分离可得出 ，根据题意可知 是6的整数约数，求解即可获得答案．
【详解】解： ，
由题意可知， 是6的整数约数，
∴ ， ， ， ，1，2，3，6，
解得 ， ， ，0，1， ，2， ，
其中 的值为整数为 ，0，1，2，共4个．
故选：B．
2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式 的值为整数，则非负整数 的值为 ．
【答案】 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的求值问题，由分式 的值为整数，可得 可以为 、 、 、 ，据此可以
得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关
键．
【详解】解：∵分式 的值为整数，
∴ 可以为 、 、 、 ，
∴ 可以为 、 、 、 ，
∴非负整数 的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若分式 的值为整数，则正整数 ．
【答案】2或3/3或2
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的值，掌握有理数的整除的性质是解题的关键．
利用已知条件得到 的值，进而解答即可．
【详解】解：∵分式 的值是整数，m是正整数，
∴ 的可能值为：1，2，
∴ 或3．
∴正整数 2或3．
故答案为： 2或3．【考点七 分式的混合运算】
例题：（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)
【知识点】同分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算法则等知识点，灵活运用分式的运算法则成为
解题的关键．
（1）直接利用同分母分式加减运算法则计算即可；
（2）直接运用分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【知识点】同分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式的加法法则计算即可；
（2）先根据异分母分式的减法法则进行括号内计算，再计算除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
2．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知
(1)化简 ；
(2)当 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】约分、分式加减乘除混合运算、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了分式混合运算和约分，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（2）把已知条件中的两个幂的底数都换成2，从而把 用 表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的
换成 ，进行计算并约分即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
．
3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键；
（1）先通分，然后再进行分式的加减运算；
（2）先算括号里，然后再进行分式的除法运算即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点八 分式化简求值】
例题：（24-25八年级上·广西河池·期末）先化简分式 ，再选一个你喜欢的合适的 的
值代入求值．
【答案】 ，-3
【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件，正确完成分式化简是解题关键．先将括号里
的异分母分式相加转化为同分母分式相加，再算分式的乘除，最后代入合适的值求解即可．
【详解】解：原式
当 时，
原式 ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）先化简 ，再从 ， ， 中选一个合适的数作为
的值代入求值．
【答案】 ，6
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算顺序，分式的加减乘除法的法则，分式有意义的
条件，正确计算是解题的关键．
先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵分式有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
∴当 时，
原式 ．
2．（24-25八年级上·山东日照·期末）先化简 ，然后从 的范围内选择一
个合适的整数作为 的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ，当 时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则将原式化简，根据
分式有意义的条件确定 的值，代入计算即可．
【详解】解：∵ ， 为整数，且
当 时，原式
当 时，原式
3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）先化简 ，然后再从 ， ， ， 这 个
数字中选择一个使原式有意义的数作为 的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式＝ ．
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了运用分式的混合运算法则化简求值，确保分母和除式里的除数都不为0是解题关键．
根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
由题意得： ，
∴当 时，原式 ．
【考点九 分式运算中的错解复原问题】
例题：（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简 的过程：
解：
…………第①步
…………第②步
…………第③步
(1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号）(2)写出正确的化简过程，并求出当 时，该代数式的值．
【答案】(1)①
(2)过程见解析， ，
【知识点】分式化简求值、已知字母的值，化简求值
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．
（1）观察该同学的解答过程，可发现第①步通分错误，通分应该分子分母同乘以相同的因式；
（2）先将原式通分，然后按照同分母分式相加法则进行计算，再约分，最后将 代入求值即可．
【详解】（1）解：该同学的解答过程中，从第①步开始出现错误；
故答案为：①；
（2）解：正确的化简过程如下：
，
当 时，原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）嘉淇在计算 时，给出如下计算过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
已知嘉淇的解法是错误的．
(1)她开始出现错误的步骤是第______步．(2)请给出正确的解答过程．
【答案】(1)四
(2)见解析
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据分式混合运算的法则找出错误的步骤即可；
（2）根据分式的运算法则，写出正确的解法即可．
【详解】（1）解：从解答中可以看出，她开始出现错误的步骤是第四步，应当是 ，
故答案为：四；
（2）解：
2．（24-25八年级上·河南漯河·期末）下面是课堂上化简 时甲、乙、丙、丁四位同
学进行“接力游戏”的过程．
解：原式 甲同学
乙同学
丙同学
丁同学
任务：
(1)在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误的原因是_____；
(3)请你写出该分式化简的正确结果．【答案】(1)C；
(2)乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
(3)
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：
（1）丁同学利用的分式的基本性质；
（2）乙同学去括号时，变号错误；
（3）根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：在“接力游戏”中，丁同学是依据分式的基本性质进行变形；
故选C；
（2）乙同学去括号时，变号错误；
故答案为：乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
（3）原式
．
3．（24-25八年级上·吉林·期末）阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题．
计算：
原式 ……（第一步），
……（第二步），
……（第三步）．
(1)上述计算过程是从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
(2)该同学在计算中，第一步用的数学算理是 ；
(3)请写出此题正确的计算过程．
【答案】(1)二，丢失了分母
(2)分式的基本性质
(3)见解析
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握相关计算方法为解题关键．
（1）利用分式的加减法则判断即可；（2）利用分式的基本性质可得；
（3）先通分，再算减法，再化简可得结论．
【详解】（1）解：上述计算过程是从第二步开始出现错误，
错误的原因是：丢失了分母；
故答案为：二，丢失了分母；
（2）解：该同学在计算中，第一步用数学算理是分式的基本性质：
分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变；
故答案为：分式的基本性质；
（3）解：
．
【考点十 与分式有关的规律性问题】
例题：（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)(2) ；证明见解析
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示
出来．
（1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为： ；
（2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律：
，
证明：∵左边 右边，
∴等式成立．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）；
(3)证明（2）中的等式．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法【分析】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变
化寻找规律．
（1）观察前几个等式即可写出第7个等式；
（2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第 个等式；
（3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ，即： ，
第2个等式： ，即： ，
第3个等式： ，即： ，
第4个等式： ，即： ，
第5个等式： ，即： ，
……
按照以上规律，
第6个等式： ，即： ；
故答案为： ；
（2）解：根据（1）可知，第 个等式： ，
故答案为： ；
（3）证明：∵等式右边
；
∴左边 右边．
即： ．
2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律：① ，② ，③ ……
(1)请写出第④个等式：__________；
(2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
（1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解；
（2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即
可证明．
【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得，第n个等式为： ，
证明：
．
3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式：
① ，
② ，③ ，
④ ，
……
按照以上规律，解决下面问题：
(1)写出第⑤个等式：____________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性．
【答案】(1)
(2)第n个等式为： （n为正整数），证明见解析．
【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”
是解本题的关键．
（1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可；
（2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论．
【详解】（1）解：① ，
② ，
③ ，
④ ，
所以⑤为：
故答案为
（2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为： （n为正整数），
证明如下： ．
【考点十一 分式方程的定义】
例题：（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是
解决问题的关键．
【详解】解：A、 是分式方程，不符合题意；
B、 是分式方程，不符合题意；
C、 不是分式方程，符合题意；
D、 是分式方程，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用分式方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A、 是一元一次方程，故此选项错误；
B、 ，是一元一次方程，故此选项错误；
C、 是一元二次方程，故此选项错误；
D、 ，是分式方程，正确．
故选：D．
3．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列方程中是分式方程的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；
C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
【考点十二 解分式方程】
例题：（24-25八年级下·全国·期末）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) （增根），原方程无解
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程的解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验．
（1）先把方程两边乘 ，去分母得一整式方程解出即可，
（2）方程两边同乘 ，得整式方程再解出即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘 ，得 ，
移项、合并同类项得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
所以 是原分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
（2）解：
方程两边同乘 ，得 ，
去括号得 ，移项、合并同类项得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
所以 是原分式方程的解．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北随州·期末）解下列分式方程
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步骤是解本题的关键．
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
∴ ，
解得： ；
经检验： 是原方程的解．
（2） ，
去分母得： ，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程，熟记解方程步骤，去分母，去括号，移项合并，系数化１，即可求解．
（1）方程两边同时乘 去分母，去括号，移项合并，把 系数化为1，即可求出解．
（2）方程两边同时乘 去分母，移项合并，把 系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并解得：
经检验， 是原方程的解
所以 ；
（2）
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
解得：
经检验， 是原方程的解
所以 ．
3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程：
（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
【详解】（1）解：去分母，得：
解得： ；
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：去分母，得：
解得： ；
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ．
【考点十三 解分式方程错解复原问题】
例题：（24-25八年级上·山西朔州·期末）下面是小柯同学解方程 的过程，请阅读并完成相
应任务．
解：去分母，得 ．第一步
移项，得 ．第二步
合并同类项，得 ．第三步
系数化为1，得 ．第四步
所以，原方程的解为 ．第五步．
任务：
(1)小柯同学的求解过程从第_________步开始出现错误；
(2)从解分式方程的步骤方面，请你对小柯同学提出两条建议：_________；_________；
(3)请你写出完整的解上述分式方程的过程．
【答案】(1)一
(2)去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根
(3)见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化 ，检验的方法是
解题的关键．
（ ）根据去分母的方法即可判定；
（ ）提出合理化建议即可；
（ ）运用解分式方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：小柯同学的求解过程从第一步开始出现错误，故答案为：一；
（2）解：两条建议：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根；
故答案为：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根；
（3）解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并得 ，
系数化为1，得 ．
经检验， 是原方程的解．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江西宜春·期末）以下是小明同学解分式方程 ．
解： ……第一步
解得 ……第二步
检验：当 时， ……第三步
所以，原分式方程的解为 ……第四步
(1)以上解题过程中，第一步变形的依据是______；
A．不等式的基本性质 B．等式的基本性质 C．分式的基本性质
(2)老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程．
【答案】(1)B
(2)一， ，正确求解过程见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、等式的性质2
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键．
（1）根据等式的性质判定即可；
（2）根据材料提示的解分式方程的方法判定，再根据解分式方程的方法求解即可．
【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的基本性质，
故选：B；
（2）解：根据去分母的方法可得，从第一步开始出错，正确的解法如下，
，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
检验，当 时， ，
∴原分式方程的解为 ．
2．（24-25七年级上·上海松江·期末）解方程： ．
以下是老师给出的某同学在作业中解方程 的过程：
解：由原方程可得
，……①
因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得 ，……
②
解得 ，……③
经检验， 是原方程的解．……④
所以原方程的解是 ．
老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误．
(1)现请你指出：上述解题过程中，从第________步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即
可）；
(2)请写出你认为正确的解题过程．
【答案】(1)②
(2)见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查的是解分式方程，熟练掌握分式方程的解法和步骤是解题的关键．
（1）根据分式方程的解法进行分析即可得到答案；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）第②步最后的式子应为： ，
∴从第②步开始出现错误；
（2）整理得：
去分母，得：
整理，得：
检验：当 时， ，所以，原方程的解是 ．
3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）以下是小明同学解分式方程 的过程：
解： ．第一步，
第二步，
……第三步，
， 第四步，
经检验： ， 是原方程的解．
(1)从第步开始出现错误，这一步错误的原因是；
(2)请求出该方程的正确解．
【答案】(1)一；去分母时，第二项没有乘以 ，
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的每个步骤的注意事项是解题的关键．
（1）由去分母的注意事项，分析其原因即可；
（2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解．
【详解】（1）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以 ，
故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以 ，
（2）
，
经检验 ，是原方程的解．
【考点十四 分式方程无解与增根】
例题：（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若方程 有增根，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的增根，将分式方程去分母得 ，由分式方程的增根是 ，代
入计算即可．理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．【详解】解： ，
在分式方程两边同乘以 ，得：
，
∵当 时， ，
∴方程 的增根为 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）关于 的分式方程 有增根，则 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键．先把分式方程化为整式方
程，再根据有增根求出x，代入求值即可
【详解】解：
，
∵分式方程 有增根，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于 的分式方程 无解，则 ．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题
【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是
解题的关键．先化简分式方程，得 ，由分式方程无解，则 ，得 ，代入 求解即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
解得： ，
∵分式方程 无解，
∴ ，得 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）若关于 的分式方程 无解，则 ．
【答案】 /0.5
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程无解计算，去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解
求a的值．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
化系数为1： ，
分式方程 无解，
∵
，
∴
，
∴
解得： ，
故答案为： ．
【考点十五 已知方程的根的情况求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于 的分式方程 的解是负数，则 的取值范围是__________．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，首先根据解分式方程的步骤，求出关于 的分式
方程 解是多少，然后根据分式方程的解为负数，求出 的取值范围即可，掌握相应的运算法
则是关键．
【详解】解：化简分式方程可得， ，
解得： ，
且 ，
且
故答案为： 且 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）若关于x的方程 的解为正数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于 的
不等式是解题的关键．先解关于 的分式方程，它的解 用含量 的代数式表示，再根据“原分式方程有
解”和“方程的解是正数”建立关于 的不等式，求解即可．
【详解】解： ，
解得： ，
∵原分式方程有解，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵方程的解是正数，
∴ ，
解得： ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
2．（24-25八年级上·山东济南·期末）若关于 的分式方程 有正数解，求 的取值范围 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解分式方程得到 ，结合已知可得 ，同时注意，分式方程中 ， ，所以 ，
则可求 的取值范围．
【详解】解：分式方程两边同时乘以 ，得
，
整理，得 ，
解得 ，
方程有正数解，
，
，
解得 ，
， ，
，
∴ 且 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是
．
【答案】 且 / 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．
再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【详解】解：原分式方程可化为：
去分母得：
解得
又 分式方程的解是非负数
且的取值范围是： 且
【考点十六 与分式方程有关的规律性问题】
例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想方程 的解是 ；
(2)利用材料提供的方法解关于x的方程： ；
(3)已知 ，利用材料提供的方法解关于x的方程： .（结果保留a）
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律．
（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）先将原方程变形为： , 然后根据题意给出的规律，即可得出答案；
（3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为： , 再方程两边同时减去3，方程变形为
, 再根据题意给出的规律，即可得出答案
【详解】（1）解：根据题中的规律，猜想方程 的解为：
， ，
故答案为： ， ；（2）解：由题意，得 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的解；
（3）解： ，
方程两边同时乘以2，得 ，
方程两边再同时减去3，得 ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
经检验： ， 是原方程的解．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下列等式：
第1个等式； ；
第2个等式： ；
第3个等式； ；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请计算 的值；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由；
(3)若 ，求n的值．
【答案】(1)(2) ，理由见解析；
(3)n的值为
【知识点】数字类规律探索、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式及解分式方程，能根据题意发现第n个等式可表示为
是解题的关键．
（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：由题知，
因为第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
…，
所以第n个等式可表示为： ，
当 时，
；
（2）解：由（1）知，
猜想第n个等式为： ，
理由如下：
左边
右边，故此等式成立．
（3）解：由题知，，
，
，
，
则 ，
因为 ，
所以 ，
解得
当 时， ，
所以 是原分式方程的解，
故n的值为 ．
2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）观察下面的变化规律，解答下列问题：
．
(1)若 为正整数，猜想 _______，并且验证你的猜想；
(2)解分式方程： ；
(3)再探索上述规律并计算： ．
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) ；
(3)
【知识点】异分母分式加减法、解分式方程（化为一元一次）、有理数四则混合运算
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解分式方程；
（1）猜想 ，再根据异分母分式相加减计算，即可求解；
（2）根据（1）中的规律把原方程变形为 ，可化为 ，解出即可；
（3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到 ，即可求解．
【详解】（1）解：
验证：右边
左边，
∴猜想成立；
（2）解：
，
∴ ，
去分母得： ，
解得： ．
经检验： 是原方程的根，
∴原方程的根为 ；
（3）解：
．
3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）根据规律答题．小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为
方程 的解为
以此类推：
(1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
(2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
(3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要
求写出你的变形求解过程．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键．
（1）根据材料提示方法计算即可；
（2）根据材料提示的计算方法计算；
（3）根据题意原式变形得 ，结合材料提示的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是 ，
故答案为： ；
（2）解：猜想关于 的方程 得到 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）解： ，
变形得， ，整理得， ，
∴ 或 ，解得， ．
【考点十七 分式方程的实际应用】
例题：（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，
某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快
件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省
4小时．
(1)求人工每人每小时分拣多少件；
(2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分
拣机．
【答案】(1)人工每人每小时分拣60件
(2)至少需要安排5台这样的分拣机
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程和一元一
次不等式，是解题的关键：
（1）设人工每人每小时分拣x件，根据由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量
的快件节省4小时，列出方程进行求解即可；
（2）设需要安排y台分拣机，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，
根据题意得， ，解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
（2）解：设需要安排y台分拣机，
由题意，得： ，解得 ，
∵y为正整数，
∴y的最小值为5，
答：至少需要安排5台这样的分拣机．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·重庆大足·期末）某商场有 型、 型两款最受顾客喜爱的电器．在进购时发现，用
12000元进购 型电器的台数与用10000元进购 型电器的台数相等，且一台 型电器的进价比一台 型
电器的进价多40元．
(1)求每台 型电器与每台 型电器的进价分别为多少元？
(2)在 型、 型两款电器进价不变的情况下，该商场拟计划进购这两款电器共100台，且总费用不超过22400元，则该商场最多可以进购多少台 型电器？
【答案】(1)每台 型电器的进价为240元，则每台 型电器的进价为 元
(2)该商场最多可以进购60台 型电器
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不
等关系列出不等式．
（1）设每台 型电器的进价为x元，则每台 型电器的进价为 元，根据用12000元进购 型电器
的台数与用10000元进购 型电器的台数相等，列出方程，解方程即可；
（2）设购 型电器m台，则B型电器 台，根据总费用不超过22400元，列出不等式组，解不等
式即可．
【详解】（1）解：设每台 型电器的进价为x元，则每台 型电器的进价为 元，根据题意得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
（元），
答：每台 型电器的进价为240元，则每台 型电器的进价为 元；
（2）解：设购 型电器m台，则B型电器 台，根据题意得：
，
解得： ，
答：该商场最多可以进购60台 型电器．
2．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地
打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买 、 两种绘画工具用于打造文化手绘墙．
已知每件 种工具的单价比每件 种工具便宜 元，用 元购买 种工具的数量和用 元购买 种工具
的数量相同．
(1)求 、 两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买 、 两种工具共 件，且 种工具的数量不大于 种工具数量的 倍，请你帮忙设计出
最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
【答案】(1) 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元
(2)最省钱的购买方案是购进 种工具 件，购进 种工具 件，最低购买费用为 元．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列
方程和不等式是解决问题的关键．
（1）设 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元，根据题意，列分式方程，解方程即可；（2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：设 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元，根据题意得，
解得：
经检验， 是原方程的解且符合题意，
则 种工具的单价是： 元，
答： 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元
（2）解：设够买 种工具 件，则购买 种工具 件，根据题意得，
解得： ，
设购买费用为 元，根据题意得，
∵
∴ 随 的增大而减小,
∴ 时， 取的最小值，此时 元，
购进 种工具 件，
答：最省钱的购买方案是购进 种工具 件，购进 种工具 件，最低购买费用为 元．
3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全
又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产
业园（鸦鹊岭片区） 分布式屋顶光伏项目（ ） 总承包工程项目正式开工建设．项目部
决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进
甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购
进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多
少元？
【答案】(1)700元
(2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元
【知识点】分式方程的工程问题、不等式组的工程问题、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确
的方程是解体的关键．
（1）设甲种光伏板的单价为 元，则乙种光伏板的单价为 元，根据题意得 ，解
方程解答即可；（2）设甲种光伏板的数量为 块，则乙种光伏板的数量为 块，根据题意得
，解不等式组，根据题意可得总费用 ，分析即可得到答
案．
【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为 元，则乙种光伏板的单价为 元，
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 为原方程的根，
∴甲种光伏板的单价为700元．
（2）解：设甲种光伏板的数量为 块，则乙种光伏板的数量为 块，
由题意得 ，
解得 ，
∵ 为正整数，
∴ 满足条件的 有21种取值，所以一共有21种购买方案，
设总费用为 元，
则 ，
∵ ，∴ 随 的增大而增大．
∴ 越小，总费用越低，
∴ 当 时，总费用越低，
即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为 块总费用最低，
最低费用为 元．
【考点十八 与分式及分式运算有关的新定义型问题】
例题：（24-25八年级上·吉林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中 ），都有
，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了新定义实数的运算、解分式方程，理解新定义是解此题的关键．（1）根据题干所给的运算方式列出式子计算即可得解；
（2）根据题干所给运算方式得出方程 ，解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验， 符合题意，
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是
的“ 差分式”．
例如： ，我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
（含 的代数式表示）；
若 的值为正整数， 为正整数，求 值．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法
【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键．
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2） 根据“ 差分式”的计算方法可得 ，结合分式的混合运算即可求解；
根据 为正整数，即可解答．【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
解得， ；
为正整数，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
的值为 或 ．
2．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如 ， ，则 和 都是“和
谐分式”．
(1)将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(2)应用：求分式 的最大值；
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)
(2)最大值是5
(3)2＋ ，当 时，分式运算的结果是整数
【知识点】同分母分式加减法、分式最值
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形即可；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答；
（3）将分式变形结果为 ，根据分式的性质得到x的值．
【详解】（1）解：；
（2）解： ，
∵ ，
∴ 的最小值为1，
∴ 的最大值为3，
∴ 的最大值为5，
∴分式 的最大值是5，
（3）解：
，
当 时， 是整数；
即当 时， 是整数；
∵分母不能为0，
∴ ，
故只有当 时，分式的值为整数．
∴当 时，分式运算的结果是整数．3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称
是 的“雅中式”，这个常数称为 关于 的“雅中值”．例如分式 ， ，
，则 是 的“雅中式”， 关于 的“雅中值”为 ．
(1)若分式 ， ，请判断 是否为 的“雅中式”？若是，请求出 关于 的“雅中值”；
若不是，请说明理由．
(2)已知分式 ， ， 是 的“雅中式”，且 关于 的“雅中值”为 ，试用含 的式
子表示 ．
【答案】(1) 为 的“雅中式”， 关于 的“雅中值”为 ，理由见详解
(2)
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的加减运算；
本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，
（1）计算 ，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得 ，即有 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ 为 的“雅中式”，C关于 的“雅中值”为
（2）解：∵ 是 的“雅中式”，且 关于 的“雅中值”为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
∴
