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专题 07 期末复习专题：选择题和填空题之易错压轴题
目录
【考点一 三角形的证明之选填题】........................................................................................................................1
【考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组之选填题】...............................................................................19
【考点三 分式与分式方程之选填题】..................................................................................................................26
【考点四 平行四边形之选填题】..........................................................................................................................32
【考点一 三角形的证明之选填题】
1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在 中， ， 的平分线交 于 ，过
点D作 交 于点E．若 ， ．下列结论：① 是等腰三角形； ；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【知识点】三角形角平分线的定义、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】由角平分线定义得到 、由平行线的性质推出 ，得到 ，
判定 是等腰三角形，设 ，由勾股定理得到 ，求出 ，得到 ，
，作 于 ，由勾股定理得到 ，可得 ，由 ，得到
， ，因此 ． ， ，
所以 ．
【详解】解：作 于 ．
的平分线交 于 ，
．，
．
．
．
是等腰三角形，故①符合题意；
，
．
设 ，则 ．
．
，
，解得 ．
， ．
，
，解得 ．
，
，解得 ．
．
在 和 中，
．
， ．
，故 符合题意．
，
．故 符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积，三角形
全等的判定与性质等知识，关键是掌握勾股定理．2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角 中， ，点D是边 上一动点，以
为直角边，B为直角顶点作等腰直角 ， 交 于点F，连接 ，点B作 于点P，交
于点 下面结论中正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④当 时，
；⑤当 时， ．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS
综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等
三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“ ”可证 ，故①正确；由等腰直角三角形的
性质和外角的性质可得 ，故②正确；由等腰三角形的性质可得 是 的中垂线，可得
，由全等三角形的性质可得 ，由勾股定理可得 ；故
③正确；分别求出 的面积，可得 ，故④错误；根据
，结合对顶角 ，根据等角对等边证得 ，设
，则 ，可判断⑤．
【详解】解：由题意得： ，
，
在 和 中，
，
，故①正确；
， ，
，
， ，
，
，，故②正确；
如图，连接 ，
， ， ，
是 的中垂线，
，
，
， ，
，
，
；故③正确；
，
设 ， ，
，
，
，
，
，
过点 作 于 ，在 中， ，
，
，
，故④错误；
如图， ，
， 为等腰三角形，
， ，
， ，，
，
设 ，则 ，
，
，故⑤正确，
故选： ．
3．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，点 分别是边长为 的等边 边 上的动点，
点 从顶点 ，点 从顶点 同时出发，且它们的速度都为 ，下面结论：① ；② 的
度数不变，始终等于 ；③当第 秒或第2秒时， 为直角三角形；④当第2秒时， ．
其中结论正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，由 为等边
三角形，得到三边相等，且内角为 ，根据题意得到 ，利用 得到 ，则可得
，可判定①正确；由全等三角形的性质得 ，从而可证明 ，可判定②正
确；分 与 为直角两种情况求出t的值，即可判定③；当 时，求得
，从而可证明 是等边三角形， ，继而证得 ，即可判定④．
【详解】解：设点P、Q运动时间为t秒，
根据题意得： ，∵ 为等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
若 ，由 ，得到 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
若 ，由 ，得到 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
综上，当第 秒或第 秒时， 为直角三角形，故③错误；
当 时，则 ，
∵
∴P、Q是 边的中点，即 是 的中线，
∴
∵ 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故④正确，
∴正确的有①②④共，
故选：D．
4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图， 和 是等边三角形， ，连接 、 ，
交于点D．有以下结论：① ；②连接 ， ；③连接 ， ；④连接 ，
平分 ；⑤连接 ， ．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】①根据等边三角形的性质得 ， ， ，再根据 得
，由此可得 的度数，进而可对结论①进行判断；
②证明 ，进而可依据“ ”判定 和 全等，然后根据全等三角形的性
质可对结论②进行判断；
③根据含有 角的直角三角形的性质得当 时，则AF EF，此时 ，则
，但是根据已知条件无法判定 ，由此可对结论③进行判断；
④过点A作 于点M， 于点N，先证明 和 全等得 ， ，
再根据三角形的面积公式得 ，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断；
⑤在 上截取 ，连接 ，设 与 交于点H，先证明 和 全等得 ，
，进而再证明 是等边三角形得 ，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可
得出答案．
【详解】解：①∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
；故结论①正确；
②连接 ，如图1所示：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故结论②成立；
③连接 ，如图2所示：
∵ ，
∴当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
根据已知条件无法判定 ，故结论③不正确；
④过点A作 于点M， 于点N，如图3所示：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点A在 的平分线上，
∴ 平分 ，故结论④正确；
⑤在 上截取 ，连接 ，设 与 交于点H，如图4所示：
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，
理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形是解决问题的
关键．
5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）点 为等边三角形 内一点，分别以 、 为边作等边三角形
、 ．如图， 与 交于点 与 交于点 ．则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、同旁内
角互补两直线平行
【分析】根据等边三角形的性质证明 ， ， ，再结合全等三角形
的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵等边三角形 ，等边三角形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵等边三角形 ，
∴ ， ，
同理可得： ，
∴ ， ，
∴ ，故A不符合题意；∴ ，
∴ ，故B不符合题意；
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故D不符合题意；
如图，延长 交 于 ，
∵ 为 内动点，
根据现有条件无法得到 ，故C符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练的利用等边三
角形的性质确定全等三角形是解本题的关键．
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知 ，在 的一边上取一点 ，且 ，动点
从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点 的运动时间为 秒，则当 是直
角三角形时， 的值为 ．
【答案】2或8
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角
形的性质是解题的关键．
分两种情况：当 时，当 时，两种情况求出 剩下的那个内角的度数为30度，
再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：分两种情况，
当 ，如图，在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 ，如图，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的值为2或8，
故答案为：2或8．
7．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在 中， ， ， ，M，E
分别是边 上两个动点，并满足 ，过点M作 交 于点F，点H在 内，且
， ．点G在 上运动，连接 ， ，当 的值最小时， 的长为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角
三角形、用勾股定理解三角形
【分析】如图，过点H作 于点K，在 的延长线上截取线段 ，使得 ，连接 ，过
点J作 于点T．证明 ，推出 ，再证明 ，，求出 ，再根据 可得结论．
【详解】解：如图，过点H作 于点K，在 的延长线上截取线段 ，使得 ，连接 ，
过点J作 于点T．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图， 为等边三角形，D，E分别是 、 延长线上的点，
，延长 交 于F点，G是 上一点，且 则下列结论中：① ；②
；③ ；④ 其中正确的是 写出所有正确结论的序号
【答案】①③#③①
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题
的关键．先证 ，再根据全等的性质逐一分析每一选项即可．
【详解】解： 是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
故①正确，符合题意；
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故②错误，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故③正确，符合题意；
假设 ，
为等边三角形，
垂直平分 ，
此时 ，
但是题干条件并无法证出 ，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①③．
9．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图， ， ，连
接 ．给出下列四个结论：
①当 时， ；
②当 时， 平分 ；
③点P为直线 上一点，当 最小时， ；
④若 ， 的面积为18，则 的面积为 ；
其中正确的是 ． 填写所有正确结论的序号
【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．①
根据已知条件得到 ，根据平角定义得到 ，故①正确；②设 交于O，过A
作 于H，得到 ，求得 ，由 ，得到
，求得 ，求得 ，根据全等三角形的性质得到 ，求得平分 ；故②正确；③作点A关于 的对称点F，连接 交 于P，此时 的值最小，如
图，假设 ，得到 ，故 不一定 ，故③错误；④如图，过A作
于H，根据三角形的面积公式得到 ，求得 ，得到 ，
根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式得到 的面积为
，故④正确．
【详解】解：①当 时，即 ，
∵ ，
，
∴ ，故①正确；
②设 交于O，过A作 于H，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
平分 ；故②正确；
③作点A关于 的对称点F，连接 交 于P，此时 的值最小，
如图，假设 ，
∴ ，故 不一定 ，故③错误；
④如图，过A作 于H，
， 的面积为18，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
的面积为 ，故④正确．
故答案为：①②④．
10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角 中， ，以 为边作 ，满足
，点 为 上一点，连接 ， ， ．有下列结论：① ；②
；③ ；④若 ，则 ．其中正确结论的序号是 ．【答案】①③④
【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角
形的判定与性质是解题的关键；
根据 ．且 ，要构造 倍的 ，故延长 至 ，使 ，从而得到
，进一步证明 ，且 ，接着证明 ，则
， ，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设
，则 ，因为 ，所以 ，接着用 表示出 ，再计算
出 ，故③是正确的，当 时，可以推导出 ，否则 不垂直于 ，故
②是错误的．
【详解】解：在 中， ， 中， ，
如图，延长 至 ，使 ，设 与 交于点 ，
，
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
在 与 中，，
，
， ，
故①正确，该选项符合题意；
，
，
平分 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则无法说明 ，
故②是不正确的；
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
故③正确，该选项符合题意；
，
，
，
，
，
故④正确，该选项符合题意；
故答案为：①③④．
【考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组之选填题】
11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数 ，定义一种运算“ ”： ，那么不等
式组 ，的解在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关
键．根据定义的新运算可得： ，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
原不等式组的解集为 ，
原不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数 与 图象的交点坐标为
现有下列四个结论：① ；② ；③方程 的解是 ；④若
，则 其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直
线的交点与二元一次方程组的解
【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数 与 图象的交点坐标
为 得到 时， ，于是可对③进行判断；先确定一次函数 的解析式为，再求出一次函数 与x轴的交点坐标为 ，然后结合函数图象，写出在x轴下方，
直线 在直线 的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【详解】解： 一次函数 的图象经过第一、三象限，
，所以①正确；
一次函数 的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
， ，
，所以②错误；
一次函数 与 图象的交点坐标为 ，
时， ，所以③正确；
把 代入 得 ，
解得 ，
一次函数 的解析式为 ，
当 时， ，
解得 ，
一次函数 与x轴的交点坐标为 ，
当 时， ，
当 时， ，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函
数解析式，数形结合是解答本题的关键．
13．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组 在实数范围内有解，则a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解、解不等式组等知识点，根据在实数范围内有解列出关于
a的不等式是解题的关键．
先解关于x的不等式，再根据不等式在实数范围内有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此列出关于
a的不等式，进而求得a的范围即可．【详解】解 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ．
因为关于x的不等式组在实数范围内有解，
∴ ，解得： ．
故选：B．
14．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到
a的取值范围．
【详解】解：解不等式 得， ，
解不等式 得， ，
∵关于x的不等式组 有四个整数解，而 的四个整数是9，10，11，12，
∴ ，
解得 ，
∴a的取值范围是 ，
故选：A．
15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的不等式组 ，下列四个结论：
若它的解集是 ，则 ； 当 ，不等式组有解；
①若它的整数解仅有3个，则a的取值②范围是 ； 若不等式组有解，则 ．
其中正确的结论个数（ ）
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一
分析序号进行判断即可．
【详解】解： ，
∵
解不等式 得： ，
①
解不等式 得： ，
②
若它的解集是 ，即 ，解得： ，
∵
正确，
当 ， ，即不等式组的解为 ，
∴①
正确，
∵
∴②
若它的整数解仅有3个，即 ，
∵
a的取值范围是
正确，
∴
∴③
若不等式组有解，即 ，则 ，
∵
错误，
故选：C．
∴④
16．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组 有3个整数解，则a的取值范围是
．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于
的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解 ，得： ，
∵不等式组 有3个整数解，
∴ ，且三个整数解为： ，
∴ ，
解得： ；故答案为： ．
17．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若关于 的不等式组 ，仅有2个整数解，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．表示出不等
式组的解集，根据不等式组有且仅有2个整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得 ，
∵关于x的不等式组 ，仅有2个整数解，
∴整数解为3，4，即
解得： ．
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为
．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得
，求解即可．
【详解】解： ，
解不等式①可得： ，
解不等式②得： ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段 ， ， 能构成三角形，且使关于 的不等式组
有解的所有整数 和为 ．
【答案】3【知识点】求一元一次不等式组的整数解、构成三角形的条件
【分析】此题考查三角形的三边关系和解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得到 ，再解不
等式组得到 ，进而求出所有整数 的值，再相加求解．
【详解】解： 线段 ， ， 能构成三角形，
．
在 中
解不等式 得 ，
，
解得 ，
，
所有整数 有 和 ，
所以所在整数 的和为 ．
故答案为：3．
20．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，且
关于 的不等式组 有解，则符合条件的整数 之和为 ．
【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组
的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法．
根据关于 、 的方程组 的解满足 ，且关于 的不等式组 有解，可以
求得 的取值范围，从而可以求得符合条件的整数 的值的和，本题得以解决．
【详解】解： ，
①+②得 ，
，
关于 、 的方程组 的解满足 ，
，得 ，
解不等式组 ，解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
不等式组 有解，
，得 ，由上可得， ，
符合条件的整数 的值的和为： ．
故答案为：5．
【考点三 分式与分式方程之选填题】
21．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当 时， 的值为0 B．当 时， 有意义
C．无论 为何值， 不可能是整数 D．无论 为何值， 的值总为正数
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为
0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键．
根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题．
【详解】解：A、当 时， 无意义，故此选项不符合题意；
B、当 时， 有意义，故此选项不符合题意；
C、当 时， 的值是整数，故此选项不符合题意；
D、根据偶次方的非负性，得 ，即无论x为何值， 的值总为正数，故此选项不符合题意；
故选：D．
22．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为 ，因为分式方程有增根，所以
方程的根为 ，解关于 的一元一次方程求出 的值即可．【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为 得： ，
关于 的分式方程 有增根，
，
解得： ．
故选：A ．
23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围是
（ ）
A． 且 B． 且
C． D．
【答案】A
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根
时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为： ，再根据方程的解为正数及分母不为
0，列不等式组，从而可得答案．
【详解】解： ，
，
解得： ，
∵关于 的方程 的解是正数，
且 ，
解得： 且 ．
故选：A．
24．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定 运算为： ，例如：
，则当 且 时， 的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】异分母分式加减法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，异分母分式加减法，平方差公式等知识点，根据新定义下
的运算正确列式计算是解题的关键．
由“ 且 ”可得 ，通分后可得 ，然后利用平方差公式可得
，约分后即可得出答案．
【详解】解： ，且 ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
25．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于 的不等式组 的解中至少包含三个整数，且关
于 的分式方程 的解是不小于 的整数，则满足条件的所有整数 的值的和是（ ）
A． B．18 C． D．9
【答案】A
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组 的
两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程
，结合“该分式方程的解是不小于 的整数”，得到a的值进而即可得到答案．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵该不等式组的解中至少包含三个整数，∴该不等式组至少有整数解5，6，7，
则有 ，解得 ，
解分式方程 得：
且 ，
∵该分式方程的解是不小于 的整数，
∴ ，则a的值为3的倍数，且 ，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，且a为3的倍数， ，
则整数a的值为 或 或 ，
即满足条件的所有整数a的值之和为 ．
故选：A．
26．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于 的分式方程 无解，则 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是
解题的关键．先化简分式方程，得 ，由分式方程无解，则 ，得 ，代入 求解
即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
解得： ，
∵分式方程 无解，
∴ ，得 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
27．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数 满足 并且 ，则．
【答案】 /
【知识点】实数的性质、分式的求值
【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得 ， ， ，可
得 ，结合 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
28．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式方程 的解为整数，则整数
．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用 来表示 ，再根据解为整数来确
定 的值，易错点，容易忽略对根的检验．直接移项后通分合并同类项，化简、用 来表示 ，再根据解
为整数来确定 的值．
【详解】解： ，
整理得：
若分式方程 的解为整数，
为整数，
当 时，解得： ，经检验： 成立；
当 时，解得： ，经检验：分母为0没有意义，故舍去；综上: ，
故答案是： ．
29．（24-25八年级上·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为
“n阶分式”．如，分式 与 互为“3阶分式”．则分式 与 互为“5阶分式”．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
由题意得， 的“5阶分式”为 ，再根据异分母的分式减法法则计算即可．
【详解】解：由题意得， 的“5阶分式”为：
，
故答案为：
30．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知关于 的不等式组 ，有且只有两个整数解，若关
于 的分式方程 有非负数解，则满足条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和分
式方程的一般步骤是解题的关键．
先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有两个整数解求出 的取值范围，再解分式方程，根据分
式方程有非负数解，列出关于 的不等式，从而求出满足条件的所有整数 的值，最后求出它们的和即可．
【详解】解： ，
由 得： ，
①
由 得： ，
②
，
关于 的不等式组 有且只有两个整数解，，解得: ，
，
，
，
，
关于 的分式方程 有非负数解，
且 ，解得： 且 ，
且 ，
满足条件的所有整数 的值为： 或 ，
满足条件的所有整数 的和为： ．
故答案为： ．
【考点四 平行四边形之选填题】
31．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图， 的对角线 ， 交于点 ， 平分 交
于点 ，且 ， ，连接 ．下列结论：① 是等边三角形；② ；
③ ；④ ；成立的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的
求解问题
【分析】结合平行四边形的性质可证明 为等边三角形，即可判断①，证明 ，利用三角形的
中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判
断④．
【详解】解： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
∵ 平分 ，，
，
∴ 为等边三角形 故①正确；
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ 故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，故④正确；
综上成立的个数是 个，
故选： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角
的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键．
32．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在 中，若 是 的中点， 是 上一动点，连
接 ， ， ，并延长 交 于点 ，设 ，有以下结论： 当 时，则 ；
当 时，则 ； 若 ，则 ．其中正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA
或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的
关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
由“ ”可证 ，可得 ， ，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积
关系依次判断可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴只有当 时， ，故 错误；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，故 正确；
若 ，则 ，
∵ 不一定等于 ，
∴ 不一定成立，故 错误，
故选： ．
33．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图， 为平行四边形 的对角线，
于点E， 于点F， 相交于点H，直线 交线段 的延长线于点G，下列结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据“ ”可证明 ，得到 ， ，可对①进行判断；通过判断
为等腰直角三角形，得到 ，根据等角的余角相等得到 ，再根据平行四边形的
性质得到 ，则 ，于是可对②进行判断；因为 ，
，由 ，推出 ，可对③进行判断；接着由平行四边形的
性质得 ，则 ，可对④进行判断．
【详解】解：在 和 中，
，
，
，
，
，故①错误；
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
， ，
，故②正确；
， ，
，
，故③错误；
， ，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟
练运用平行四边形的性质是本题的关键．
34．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知 是边长为3的等边三角形，点 是边 上的一
点，且 ，以 为边作等边 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，则下列结论中①
；② ；③四边形 是平行四边形；④ ；⑤
．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】化为最简二次根式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质
求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾
股定理等知识，连接 ，作 于 ，由等边三角形的性质可判断①；证明 ，
是等边三角形，可得 ，求解 ，可得判断③，可得 ，可判断②，可得 ，如图，过 作 于点 ，则 ，进一步可
判断④⑤不符合题意．
【详解】解：连接 ，作 于 ，
∵ ， 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故③符合题意，
∵ ， ， ，
∴ ，故②符合题意，
∴ ，
如图，过 作 于点 ，则 ，∵ 是边长为 的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，故④不符合题意；
∵ ， ，
∴ ， 而 ， ，
∴ ，
∴ ；故⑤不符合题意，
综上①②③符合题意，共 个，
故选：B．
35．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在 中， ，点E为 的中点，连接 ，
， ，以下结论正确的有（ ）
．
① 为等腰三角形②
③ ④若 ，
⑤若 ，将点A绕点B顺时针旋转 ，点A的对应点为点F，则 为直角三角形．
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用平行四边
形的性质求解
【分析】根据题意得到 ，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边
对等角得到 ， ，然后结合平行线的性质得到 ，
，进而求出 ，然后利用三角形内角和定
理求出 ，即可判定③；若 ，得到 是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到 ，然后求出
，进而得到 ，即可判断④；
根据题意得到点F在线段 上，进而可判断⑤．
【详解】∵ ，点E为 的中点，
∴
∴ 为等腰三角形，故①正确；
∵
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，故③正确；
若 ，
又∵
∴ 是等边三角形
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴ ，故④正确；
∵将点A绕点B顺时针旋转 ，点A的对应点为点F，
∴点F在线段 上，
∵
∴ 为直角三角形，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③④⑤．故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知
识，解题的关键是掌握以上知识点．
36．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在 中，已知 ，点P在 上以 的速
度从点A向点D运动，点Q在 上以 的速度从点C出发在 上往返运动．两点同时出发，当点
Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为 ．当 时，四边形 是平行四
边形．
【答案】3或5
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨
论思想．根据平行四边形的性质得出 ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过t秒，四边形 是平行四边形，
∵P在 上运动，
根据题意 ，即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
分为以下情况：①点Q的运动在 上时，方程为 ，
解得 ，
②点Q的运动在 上时，方程为 ，
解得： ；
故答案为：3或5．
37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，点
、 分别是边 、 上的动点．连接 、 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，
则 的最小值为 ．【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度
角的直角三角形
【分析】连接 ，过点A作 交于点M．即可得 ，结合图形可得当 时 最
小，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，过点A作 交于点M．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵点E为 的中点，点F为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∵要使线段 最小，
∴ 最小即可，
则当 时最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含 的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识
点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．
38．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形 中， ， 的平分线与 的延长
线交于点E，与 交于点F，且点F为边 的中点，过点C作 ，垂足为G，若 ，则的长为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
判定与性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性
质结合等腰三角形的判定，可得 ，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求
，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∵ 的平分线与 的延长线交于点E，与 交于点F，
∴ ，
∴
∴ ，
∵点F为边 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
39．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在 中，点 分别是 的中点，
分别是 ， 的中点，依次类推 ．若 的周长为1，则 的周长为
．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得： 分别等于
的一半，所以 的周长等于 的周长的一半，以此类推可求出 的周长．
【详解】解：∵点 分别是 的中点，
∴ 分别等于 的 ，
∵ 分别为 的中点，
∴ 分别为 的 ，
∴以此类推： 的周长为 的周长的 ，即 的周长的 ，
∴ ．
则故答案为： ．
40．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，分别以 的直角边 ，斜边 为边向外作等边
和 ，F为 的中点，连接 ， ， ， ．
（1）判断四边形 的形状为 ；（2） ．
【答案】 平行四边形
【知识点】二次根式的乘法、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形
【分析】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，含 直角三角形的性质等知识．
（1）由已知条件可得出 ，含 直角三角形的性质得出 ，由等边三角形的性质得出
，即可得出 ， ，再得出 ， ，即可得出四边形
的形状为平行四边形，
（2）设 ，则 ，分别求出对应三角形的面积以及四边形的面积即可得出答案．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵F为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
（2）设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：平行四边形， ．
