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专题 07 平行线的性质
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记)
2.平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补
3.平行公理的推论： a
b
c
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如右图所示，∵b∥a，c∥a
∴b∥c
注意：符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会有结论：
这两条直线都平行。
【经典题型】
考点1 平行线的性质
【典例1】（2021秋•砚山县期末）如图，AB∥CD，∠C＝75°，∠E＝35°，则∠A为（
）A．90° B．35° C．40° D．75°
【变式1-1】（2021秋•石狮市期末）如图，直线l 、l 被直线l所截，l ∥l ，∠1＝ ，则
1 2 1 2
∠2的大小为（ ） α
A． B．2 C．90°+ D．180°﹣
【变式α1-2】（2021秋•船山区α校级期末）如图，已知直线αAD∥BC，BE平分∠ABαC交直线
DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（ ）
A．25° B．27° C．29° D．45°
【变式1-3】（2022•云南模拟）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝53°，则∠2的大小是（
）
A．53° B．50° C．37° D．23°
【变式1-4】（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点 C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（ ）A．10° B．15° C．18° D．30°
考点2 平行线判定与性质综合
【典例2】（2021秋•平阴县期末）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，求∠A的度数．
【变式2-1】（2021秋•市中区期末）如图，AD∥BE，∠EDC＝∠C，∠A＝110°，求∠E．
【变式2-2】（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝
∠D．
【变式2-3】（2021秋•丹东期末）如图，已知直线EF∥GH，AC⊥BC，BC平分∠DCH．
（1）求证：∠ACD＝∠DAC；
（2）若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．考点3 平行线与三角尺结合问题
【典例3】（2022•瑶海区校级二模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝
55°，则∠2的大小是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【变式3-1】（2022•建湖县一模）如图，l ∥l ，将一副直角三角板作如下摆放，图中点
1 2
A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（ ）
A．100° B．120° C．75° D．150°
【变式3-2】（2022•东坡区校级模拟）如图，把一块含30°角的三角尺的直角顶点放在直
尺的一边上，如果∠1＝37°，那么∠2的度数为（ ）
A．133° B．127° C．147° D．143°
【变式3-3】（2021秋•朝阳区校级期末）将一块三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．65° C．45° D．75°
考点4平行线中的折叠问题
【典例4】（2021秋•泗县期末）如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，A、B分别
落在对应位置A 、B 处，A B 交AD于点E，若∠BNM＝70°，则∠A ME为（ ）
1 1 1 1 1
A．40° B．50° C．60° D．70°
【变式4-1】（2021秋•嵩县期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把
纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（
）
A．70° B．65° C．50° D．25°
【变式4-2】（2022•茂南区一模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，
点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝30°，则∠EFC′的度数为（ ）
A．120° B．100° C．150° D．90°【变式4-3】（2021秋•巴彦县期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，使AEFB落在
MEFN处，若∠1＝40°，则∠AEF的度数为 ．
考点5平行线的“拐点”问题
【典例5】（2021秋•卫辉市期末）如图，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，则∠BCD的
度数为（ ）
A．125° B．135° C．115° D．105°
【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两
平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360° B．300° C．270° D．180°
【变式5-2】（2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，有图中 ， ， 三角之间的关
系是（ ） α β γA． + + ＝180° B． ﹣ + ＝180° C． + ﹣ ＝180° D． + + ＝360°
α β γ α β γ α β γ α β γ
【典例6】（2021秋•长安区期末）如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点
（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点（点M不与点E、F重合），点N为
射线FD上的一动点，连接MN，过点M作MQ∥CD，且恰能使得MQ平分∠EMN．若
∠BEF＝142°，则∠MNF和∠FMN的度数分别为（ ）
A．38°，76° B．38°，104° C．36°，142° D．36°，104°
【变式6-1】（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l ∥l ，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝
1 2
．
【变式6-2】（2021秋•驿城区期末）如图，AD∥BE，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠CBE．
求证：∠BAC＝∠CAD．【变式6-3】（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则 、 和 的关系是（
） α β γ
A． ＝ + B． + + ＝180° C． + ﹣ ＝90° D． + ﹣ ＝180°
β α γ α β γ α β γ β γ α
【典例 7】（2021秋•巨野县期末）（1）如图 1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝
120°，求∠APC的度数；
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝ ，∠PCD＝ ，当点P在
B，D两点之间运动时，请写出∠APC与 ， 之间的数量关系α，并说明理由β；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，αD两β点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不
重合），请直接写出∠APC与 ， 之间的数量关系．
α β
【变式7-1】（2021秋•凤翔县期末）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2
＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．【变式7-2】（2021春•利州区期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一
些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于
点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝ °，
∠ABC＝ °，请你求出∠BED的度数（用含 ， 的式子表示）． α
β α β
【变式7-3】（2021春•江夏区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB、CD所确定的平
面内的一点．（1）如图1，直接写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线
CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH
的度数．
