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专题 07 平行线的性质
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1.平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记)
2.平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补
3.平行公理的推论： a
b
c
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如右图所示，∵b∥a，c∥a
∴b∥c
注意：符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会有结论：
这两条直线都平行。
【经典题型】
考点1 平行线的性质
【典例1】（2021秋•砚山县期末）如图，AB∥CD，∠C＝75°，∠E＝35°，则∠A为（
）A．90° B．35° C．40° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝75°，
∴∠BOE＝∠C＝75°，
∵∠E＝35°，
∴∠A＝∠BOE﹣∠E＝75°﹣35°＝40°．
故选：C．
【变式1-1】（2021秋•石狮市期末）如图，直线l 、l 被直线l所截，l ∥l ，∠1＝ ，则
1 2 1 2
∠2的大小为（ ） α
A． B．2 C．90°+ D．180°﹣
【答α案】D α α α
【解答】解：∵如图，l ∥l ，∠1＝ ，
1 2
∴∠3＝∠1＝ ， α
∴∠2＝180°﹣α∠3＝180°﹣ ．
故选：D． α
【变式1-2】（2021秋•船山区校级期末）如图，已知直线AD∥BC，BE平分∠ABC交直线
DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（ ）A．25° B．27° C．29° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠DAB＝54°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝27°，
∴∠E＝27°．
故选：B．
【变式1-3】（2022•云南模拟）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1＝53°，则∠2的大小是（
）
A．53° B．50° C．37° D．23°
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝53°，
∴∠BDC＝180°﹣∠1＝127°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝37°．
故选：C．
【变式1-4】（2022•南山区模拟）一副直角三角板如图放置，点 C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，则∠DBC的度数为（ ）A．10° B．15° C．18° D．30°
【答案】B
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
考点2 平行线判定与性质综合
【典例2】（2021秋•平阴县期末）如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，求∠A的度数．
【答案】40°
【解答】解：∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝∠3﹣∠2
＝70°﹣30°
＝40°．
【变式2-1】（2021秋•市中区期末）如图，AD∥BE，∠EDC＝∠C，∠A＝110°，求∠E．【答案】110°
【解答】解：∵AD∥BE，∠A＝110°，
∴∠CBE＝∠A＝110°，
∵∠EDC＝∠C，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠CBE＝110°．
【变式2-2】（2021春•敦化市期末）如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝
∠D．
【答案】略
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠F＝∠AED，
∵∠A＝∠F，
∴∠A＝∠AED，
∴AB∥DF，
∴∠C＝∠D．
【变式2-3】（2021秋•丹东期末）如图，已知直线EF∥GH，AC⊥BC，BC平分∠DCH．
（1）求证：∠ACD＝∠DAC；
（2）若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度数．
【答案】（1）略 （2）59°
【解答】（1）证明：∵BC平分∠DCH，
∴∠BCD＝∠BCH，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACG+∠BCH＝90°，
∴∠ACD＝∠ACG，∵EF∥GH，
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC；
（2）解：由（1）得：∠ACG+∠BCH＝90°，
∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，
∴∠ACG＝2∠BCH﹣3°，
∴2∠BCH﹣3°+∠BCH＝90°，
解得：∠BCH＝31°，
∴∠ACG＝59°，
∴∠DAC＝∠ACG＝59°
考点3 平行线与三角尺结合问题
【典例3】（2022•瑶海区校级二模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝
55°，则∠2的大小是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】A
【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，
∴∠1+∠3＝115°，
∵AD∥BC，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．
故选：A．
【变式3-1】（2022•建湖县一模）如图，l ∥l ，将一副直角三角板作如下摆放，图中点
1 2A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（ ）
A．100° B．120° C．75° D．150°
【答案】C
【解答】解：如图，过点C作CM∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥CM，
1 2
∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
【变式3-2】（2022•东坡区校级模拟）如图，把一块含30°角的三角尺的直角顶点放在直
尺的一边上，如果∠1＝37°，那么∠2的度数为（ ）
A．133° B．127° C．147° D．143°
【答案】B【解答】解：如图所示：
∵∠1＝37°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝53°，
∴∠4＝∠3＝53°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝127°．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋•朝阳区校级期末）将一块三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1
＝25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．65° C．45° D．75°
【答案】B
【解答】解：过C点作CD∥AE，∠1＝25°，
∴∠ACD＝∠1＝25°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣25°＝65°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠2＝∠BCD＝65°，
故选：B．考点4平行线中的折叠问题
【典例4】（2021秋•泗县期末）如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，A、B分别
落在对应位置A 、B 处，A B 交AD于点E，若∠BNM＝70°，则∠A ME为（ ）
1 1 1 1 1
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴∠BNM＝∠DMN＝70°．
∴∠AMN＝180°﹣∠DMN＝110°．
由题意得：∠AMN＝∠A MN＝110°．
1
∴∠A ME＝∠A MN﹣∠DMN＝110°﹣70°＝40°．
1 1
故选：A．
【变式4-1】（2021秋•嵩县期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把
纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（
）
A．70° B．65° C．50° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
【变式4-2】（2022•茂南区一模）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，
点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝30°，则∠EFC′的度数为（ ）
A．120° B．100° C．150° D．90°
【答案】A
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴∠AEB＝60°，
由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF＝ ∠BED，
∵∠BED＝180°﹣∠AEB＝120°，
∴∠BEF＝60°，
∵BE∥C′F，
∴∠BEF+∠EFC′＝180°，
∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝120°．
故选：A．
【变式4-3】（2021秋•巴彦县期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，使AEFB落在
MEFN处，若∠1＝40°，则∠AEF的度数为 ．
【答案】110°
【解答】解：由题意得，四边形BAEF≌四边形NMEF，AD∥BC．
∴∠BFE＝∠NFE．∵∠1＝40°，
∴∠BFN＝∠BFE+∠NFE＝180°﹣∠1＝140°．
∴2∠BFE＝140°．
∴∠BFE＝70°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE＝180°．
∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
考点5平行线的“拐点”问题
【典例5】（2021秋•卫辉市期末）如图，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，则∠BCD的
度数为（ ）
A．125° B．135° C．115° D．105°
【答案】A
【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，
∵AB∥ED，
∴CM∥AB∥ED，
∴∠B+∠BCM＝180°，∠D+∠DCM＝180°，
∵∠B＝115°，∠D＝120°，
∴∠BCM＝65°，∠DCM＝60°，
∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝125°，
故选：A．
【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两
平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360° B．300° C．270° D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
【变式5-2】（2021秋•沈阳期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是
（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
【答案】C
【解答】解：如图，作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥EC，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，
∴∠1+∠4＝110°，
∴∠2﹣∠1＝70°．故选：C．
【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，有图中 ， ， 三角之间的关
系是（ ） α β γ
A． + + ＝180° B． ﹣ + ＝180° C． + ﹣ ＝180° D． + + ＝360°
【答α案β】γC α β γ α β γ α β γ
【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠ +∠AFD＝180°，
∵∠αAFD＝∠ ﹣∠ ，
∴∠ +∠ ﹣∠β ＝1γ80°，
故选α：C．β γ
【典例6】（2021秋•长安区期末）如图，直线AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点
（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点（点M不与点E、F重合），点N为
射线FD上的一动点，连接MN，过点M作MQ∥CD，且恰能使得MQ平分∠EMN．若
∠BEF＝142°，则∠MNF和∠FMN的度数分别为（ ）
A．38°，76° B．38°，104° C．36°，142° D．36°，104°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，MQ∥CD，∴AB∥MQ，
∴∠EMQ＝180°﹣∠BEF＝38°，
∵MQ平分∠EMN，
∴∠QMN＝∠EMQ＝38°，
∵MQ∥CD，
∴∠MNF＝∠QMN＝38°，
∴∠FMN＝180°﹣∠EMN＝180°﹣38°﹣38°＝104°，
故选：B．
【变式6-1】（2021秋•雁塔区校级期末）如图，直线l ∥l ，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝
1 2
．
【答案】215°
【解答】解：过点E作EF∥1 ，
1
∵1 ∥1 ，EF∥1 ，
1 2 1
∴EF∥1 ∥1 ，
1 2
∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．
故答案为：215°．
【变式6-2】（2021秋•驿城区期末）如图，AD∥BE，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠CBE．求证：∠BAC＝∠CAD．
【答案】略
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠CAD+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴∠BAC＝∠CAD．
【变式6-3】（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则 、 和 的关系是（
） α β γ
A． ＝ + B． + + ＝180° C． + ﹣ ＝90° D． + ﹣ ＝180°
【答β案】αCγ α β γ α β γ β γ α
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣ ；△EHD中，∠2＝ ﹣ ，
∵AB∥EF， α β γ
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣ ＝ ﹣ ，即 + ﹣ ＝90°．
故选：Cα． β γ α β γ【典例 7】（2021秋•巨野县期末）（1）如图 1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝
120°，求∠APC的度数；
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝ ，∠PCD＝ ，当点P在
B，D两点之间运动时，请写出∠APC与 ， 之间的数量关系α，并说明理由β；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B，αD两β点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不
重合），请直接写出∠APC与 ， 之间的数量关系．
α β
【答案】（1）110° （2）∠APC＝∠ +∠ ， （3）∠CPA＝∠ ﹣∠ 或者∠CPA＝
∠ ﹣∠ ． α β α β
【β解答】α解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠ +∠ ，
理由：如图2，过αP作βPE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠ ＝∠APE，∠ ＝∠CPE，
∴∠αAPC＝∠APE+∠β CPE＝∠ +∠ ；
（3）①如图所示，当P在BDα延长β线上时，
∠CPA＝∠ ﹣∠ ；
α β
②如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠ ﹣∠ ；
β α
∴∠CPA＝∠ ﹣∠ 或者∠CPA＝∠ ﹣∠ ．
α β β α
【变式7-1】（2021秋•凤翔县期末）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2
＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
【答案】∠1＝30°【解答】解：过点P作射线PN∥AB，如图．
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠4＝∠2＝28°．
∵PN∥AB，
∴∠3＝∠1．
又∵∠3＝∠BPC﹣∠4＝58°﹣28°＝30°，
∴∠1＝30°．
【变式7-2】（2021春•利州区期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一
些问题，请你帮他解决下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于
点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；
（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠FAD＝ °，
∠ABC＝ °，请你求出∠BED的度数（用含 ， 的式子表示）． α
β α β
【答案】（1）∠AEC＝∠BAE+∠DCE （2） 50°（3）∠BED＝180°﹣ °+ °
【解答】解：（1）成立， β α
理由：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD＝60°，
∴∠FAD＝∠ADC＝60°，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠EDC＝ ∠ADC＝30°，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABE＝ ∠ABC＝20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝30°，
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝50°．
（3）∠BED的度数改变．
如图3，过点E作EG∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝ °，∠ADC＝∠FAD＝ °，
β α
∴∠ABE＝ ∠ABC＝ °，∠CDE＝ ∠ADC＝ °，
∵AB∥CD， β α
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣ °，∠CDE＝∠DEG＝ °，
β α
∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣ °+ °．
β α【变式7-3】（2021春•江夏区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB、CD所确定的平
面内的一点．
（1）如图1，直接写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线
CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH
的度数．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°
（2） ∠APC＝∠A+∠C（3）55°
【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，
∴∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝ ∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝ ∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH＝ ∠FEG﹣ ∠BEG
＝ ∠BEF
＝55°．
