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A题型建模・专项突破
题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形....................................................................................................1
题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形....................................................................................................6
题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形......................................................................................13
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形............................................................................................................21
题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
1．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)判断 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的
关键．（1）由角平分线的性质得到 ，平行线的性质得到 ，进而得到 ，
即可得出结论；
（2）由 ， ，得到 ，进而得到 ，再根据角平分线的性质和平行线的
性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ，过点 作
交 于点 ． 为 的中点，连接 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的度数为
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵
活运用所学知识是解决本题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得 ，再根据平行线的性质可得 ，进而即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，最后根据三角形
内角和定理和等腰三角形的性质即可得到 的度数．【详解】（1）证明： 平分 交 于点 ，
，
，
，
，
∴ 为等腰三角形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 为 的中点，且 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在 中， 是 边的中点，连接 平
分 交 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点 作 交 于点 ，求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，
（1）利用等腰三角形三线合一的性质即可得到 ，再利用等腰三角形的性质即可求出 的
度数，即可求解；
（2）只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明 ，即可解决问题．
【详解】（1）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
， 为 的中点，
，
，∴ ；
（2）证明： 平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
是等腰三角形．
4．（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交于O点，过O点作 交 ，
于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5， （3）2，
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平
行线性质得到角相等，再进行等量代换得到 ， ，再利用等角对等边，得到
， ，即可解题．
（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，
再进行等量代换得到 、 、 、 ，再利用等角对
等边，得到对应线段相等，即可解题．
（3）本题解法与（1）类似．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， 的平分线交于O点，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．．
故答案为：2．
（2）解： ，即 为等腰三角形，
，
， 的平分线交于O点，
，
，即 为等腰三角形，
，
， ， ，
， ， ，即 为等腰三角形，
， ，
和 为等腰三角形，
．
综上所述，共有5个等腰三角形，
故答案为：5， ．
（3）解： 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2， ．
题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形
模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.
条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形.
条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形.
5．如图， 是 的角平分线， ，交 于点 ．(1)求证： 是等腰三角形．
(2)当 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形
的判定及性质是解题的关键．
（1）由角平分线得 ．再根据平行线的性质得 ，进而 ．即可
证明结论成立；
（2）由等边对等角及平行线的性质得 ， ，从而 ．由（ ）得
， ，从而 ．
【详解】（1）证明：证明：∵ 是 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ．
6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图， 为 的角平分线，E为 的中点， 交的延长线于点F，交 于点G．
(1)求证： 为等腰三角形．
(2)求证： ．
(3)求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
（1）根据 为 的角平分线， ，证得 进而证得 为等腰三角形；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，根据全等三角形 的判定方法，证得 ，
根据全等三角形的性质证得 ，根据角平分线的性质证得 ，进而证得 ；
（3）由（1）知 ，根据 、 ，证得 ，进而证得
即可．
【详解】（1）证明： ，
，
为 的角平分线
为等腰三角形；
（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，为 的中点
在 和 中，
、
、
为 的角平分线
；
（3）解：由（1）知 ，
、 、
．
7．（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在边 上．若这两点分别从点B，A
同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接 交于点P，则在动点D，E
的运动过程中， 与 之间的数量关系是______________________．（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运动，
动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请写出简
要的证明过程．
【答案】（1） ；（2）成立，理由见解析；（3） ，证明见详解
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
（1）根据题意得 ， 和 ，即可证明 ，则有 ；
（2）由题意得， ，进一步得 ，结合等边三角形的性质即可证明 ，
有 ；
（3）作 交AB于H，则 ， ， ，有 为等边
三角形，进一步得 ，即可证明 ，则 ．
【详解】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
由题意得， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2） 成立，
理由如下：由题意得， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
（3） ，
理由如下：作 交AB于H，如图，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）数学课上，老师出示了如图中的题目．
如图，在等边 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ．试确定线段 与 的大
小关系，并说明理由．
小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答：
【特殊情况，归纳猜想】
（ ）如图 ，当 为 的中点时，确定线段 与 的大小关系，并说明理由；
【特例启发，推理证明】（ ）如图 ，当 不是 的中点时，小优和小秀认为（ ）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完
成证明过程；
【拓展延伸，问题解决】
（ ）当点 在 的延长线上时，点 在 边上，且 ，请自己画图，并探究（ ）中的结论是
否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（ ） ，理由见解析；（ ）见解析；（ ）不发生变化，证明见解析
【分析】（ ）证明 ，得到 ，即可求证；
（ ）过点 作 交 于点 ，可证 是等边三角形，得到 ，再证明
，得到 ，即可求证；
（ ）过点 作 交 的延长线于点 ，同理（ ）证明即可求证；
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是
解题的关键．
【详解】（ ）解： ，理由如下：
∵ 是等边三角形，点 为 的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ ）证明：如图，过点 作 交 于点 ，
则 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ ）不发生变化，证明如下：
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形
模型解析：如图， △ABC中,AD平分 ∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得 △ABD≅△ACD,从而得
AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.
9．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图， 为主梁框架，
是桥墩支撑角度的2倍，即 ，工程师计划在 的角平分线处安装钢架 ，交底
梁 于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索 ，使得 ，分别交 ， 于点F，
E．
(1)求证：加固后的 是等腰三角形；
(2)经测量，主梁全长 为13米，关键节点间距 为5米，求原始支撑段 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)原始支撑段 的长度是8米
【分析】（1）由垂直的定义得到 ，由角平分线的定义得到 ，根据三角
形的内角和得到 ，得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 垂直平分 ，得到 ，由等腰三角形的性质得到
，等量代换得到 ，于是得到结论．
【详解】（1）证明： ，
，
又 平分 ，
，
又 在 和 中
，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：连接 ，， 平分 ，
垂直平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
又 中， ，
，
，
．
．
10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图， 为 的角平分线， 交 的延长线于点 ，
．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)求证： ．
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)见解析．
【分析】 利用三角形内角和定理可证 ，根据等角对等边可证结论成立；
过点 作 ，利用三角形内角和定理可证 ，根据等腰三角形的三线合一定理可
知 ，利用 可证 ，根据全等三角形的性质求知 ；
过点 作 ，利用 可证 ，根据全等三角形的性质可证 ，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立．
【详解】（1）证明： ，
，
交 的延长线于点 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
；
（2）解：如下图所示，过点 作 ，
由 可知 ，
为 的角平分线，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得： ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；（3）证明：如下图所示，过点 作 ，
，
，
由 可知 ， ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1， 平分 ．点 为
上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ．（2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点 作 ，垂足为 交 于点 ．若
，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ，点 在线段 上，且
于 交 于 ，试探究 和 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） ；见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，
（1）根据“ ”证明 即可得出结论；
（2）先证 ，再证 得出 ，进而即可得解；
（3）如图：过点 作 ，交 的延长线于点 ，与 相交于 ，证出 和
，然后进行线段的等量代换即可得解；
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】（1）在 和 中，
，
；
（2） ，理由如下：
由（1）得， ，
，即 ，
，
，
，在 和 中，
，
，
，
；
（3） ．理由如下：
如图：过点 作 ，交 的延长线于点 ，与 相交于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，在 和 中，
，
，即 ，
．
12．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 ， 平分 ．点 为 上一点，过点
作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可证得 ，则 ， ．
【问题提出】
（1）如图 ，在 中， 平分 ， 于点 ，若 ， ，通过上述
构造全等的办法，求 的度数；
【问题探究】
（2）如图 ，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长
线上，试探究 和 的数量关系；
【问题解决】
（3）如图 是一块肥沃的土地 ，其中 边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角
形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作：
作 的平分线 ；
再过点 作 交 于点
已知 米， 米， 面积为 平方米，求划出的 的面积．
【答案】（ ） ；（ ） ，理由见解析；（ ） ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或
者AAS）、等边对等角
【分析】（ ）延长 交 于点 ，由已知可知 ，再由等腰三角形的在得
，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（ ）延长 交于点 ，证 ，得 ，再由已知可知 ，即
可得出结论；（ ）延长 交 于 ， 由已知可知 ， ，则 再由三角形面积关系
得 ，即可得出结论．
【详解】（ ）如图 ， 延长 交 于点 ，
由已知可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（ ） ，证明如下：
如图，延长 交于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由已知可知， ，
∴ ；
（ ）如图，延长 交 于 ，由已知可知， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形
模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．
条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形.
条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形.
条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的
延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形.
13．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在 中， ， 的平分线 交 于
点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）由已知可得 ，即得 ，进而得到，再由 垂直平分 得到 ，即得到 ，
再根据三角形的外角性质即可求解；
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的
判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明： 平分 ， ，
，
，
∴ ，
即 ，
为等腰三角形；
（2）解： ，
，
由（ ）得， 为等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
， 为等腰三角形，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
，
∴ ，
∴ ．
14．将 沿 折叠，使点 刚好落在 边上的点 处．
(1)在图1中，若 ， ， ，求 ；
(2)在图2中，若 ，
①求证： ．
②若 ，求 的度数．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题
的关键．
（1）根据折叠的性质可求出 ，即可求解；
（2）根据折叠的性质可得出 ， ，根据三角形外角的性质并结合已知可得出
，则 ，最后根据等角对等边即可得证；
②设 ，则 ， ， ，根据等边对等角得出 ．根据折叠
的性质可得出 ，则 ，根据三角形外角的性质得出 ，在 中
根据三角形内角和定理可求出 ，则 ， ， 最后在 中根据三角形内角和定理
求解即可．
【详解】（1）解：由折叠性质得： ，
∴ ，
（2）①证明： 沿 折叠得到 ，
，
． ，
，
，
；
②设 ，则 ， ，
，
．
折叠，
∴ ．
，
在 中， ，
解得
， ，
∴ ．
15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践
【解决问题】(1)如图①，在 中， 平分 ，交 于点 ，且 求证： ．
(2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形 中，已知 ，
， ， 是 的高， ， 求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全
等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键，
（1）在 上截取 ，使得 ，连接 ，由角平分线的定义可得 ，易利用 证
得 ，从而得到 ， ，再由角度之间转换可得 ，根据等腰三
角形的性质可得 ，即可推出 ；
（2）在 上截取 ，连接 ，在 中，由三角形内角和可求得 ，从而
易证得 ，得到 ，从而可推出 ，易证
，得到 ，从而可推出 的长．
【详解】（1）证明：在 上截取 ，使得 ，连接 ，如图 所示：
平分 ，
，
在 和 中，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：在 上截取 ，连接 ，如图 所示：
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
16．（24-25八年级上·吉林长春·月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，
等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全
等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法．
问题具化：如图1，在 中， ，求证： ；
问题解决：如图2，在 上找一点 ，使 ，过点 作 的平分线，交 于点 ，连接 ．
请你补全余下的证明过程；
问题拓展：
如图3，在 中， 是 的平分线， ，则
___________度．
【答案】问题解决：见解析；问题拓展：
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题
的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
问题解决：证明 ，得出 ，根据 ，即可得出答案；
问题拓展：在 上取点E，使 ，连接 ，证明 ，得出 ，
， ，根据等腰三角形的性质得出 ，最后求出结果即可．
【详解】解：问题解决：在 上找一点 ，使 ，过点 作 的平分线，交 于点 ，连
接 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
问题拓展：在 上取点E，使 ，连接 ，如图所示：∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
一、解答题
1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切．
(1)如图1，已知 平分 ， ．求证： 是等腰三角形；
(2)如图2，已知在 中， ， 平分 的外角 ．求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查角平分线的应用、直线平行的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性
质：
（1）通过直线平行的性质和角平分线证明 即可；
（2）根据三角形外角的性质及角平分线证明 即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
，
，
，
，
，∴ 是等腰三角形；
（2） ，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
，
．
2．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在等边三角形 中，点 在边 上，点 在 的延长线上，
且 ．
(1)【特例探究】如图1，若点 为 的中点，求证： ；
(2)【类比迁移】如图2，若点 在边 上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解
题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形．
（1）先根据三线合一得到 ，然后由等边对等角得到 ，再证明 ，结
合 即可证明；
（2）过点 作 交 于点 ，证明 即可．
【详解】（1）证明：∵等边三角形 ，
∴
∵点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
（2）解：成立，理由如下：
过点 作 交 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
3．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1， 平分 ．点 为 上一点，
过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，求证： ；
（2）【问题探究】如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在
的延长线上，求证： ；【答案】（1）见详解，（2）见详解，
【分析】（1）利用已知条件，证明 ，即可得出结论；
（2）延长 交 延长线于F，求出 ，证明 ，推出 ，再证明
，进而可得结论；
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图：延长 交 延长线于F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定．
4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；
有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为 的平分线 上一
点，过点P作 交 于点D，易证 为等腰三角形．
(1)基本运用：如图（2），把长方形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处，重合部分的
是等腰三角形吗？为什么？
(2)解决问题：如图（3），在四边形 中， ，E为 的中点，且 平分 ，连接 ．
求证： ．
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）由 ，得到 ，由折叠的性质可知 ，则 ，
可以得到 ，由此即可得到答案；
（2）延长 交 延长线于点F，同（1）可证 ，然后证明 得到 ，
即可得到 ．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵四边形 是长方形，
∴ ，∴ ，
由折叠的性质可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）如图所示，延长 交 延长线于点F，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ （三线合一定理）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质
与判定，解题的关键在于添加辅助线，能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件．
5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）在边长为 的等边 中，点 从点 出发沿射线 移动，同时
点 从点 出发沿线段 的延长线移动，点 、 移动的速度相同，连接 与 边所在的直线相交于
点 ．(1)如图①，当点 为 的中点时， 的长为________
(2)如图②，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，当点 、 在移动过程中时，试确定 、 与边长
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）过点 作 交 于点 ，证明 ，推出 即可；
（2）分两种情形：当点 在线段 上时， ；当点 在线段 的延长线上时，
．
【详解】（1）解：如图①，过点 作 交 于点 ，
∵ 是等边三角形，
．
是 中点，
．
、 的运动速度相同，
．，
， ， ．
是等边三角形．
．
， ．
．
．
故答案为： ．
（2）解：如图②，当点 在线段 上时， ，理由如下：
作 交 于 ，
由（1）可知： ，
．
，
．
．
如图②-1，当点 在线段 的延长线上时， ，理由如下：理由：作 交 的延长线于 ，
∵ 是等边三角形，
．
、 的运动速度相同，
．
，
， ， ．
是等边三角形．
．
．
．
，
．
．
6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如
图1， 平分 ，点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，可得
，则有 ， （即点 为 的中点）．请你写出证明 的
过程．
（2）【类比解答】如图2，在 中， 平分 ， 于 ，若 ， ，
请通过上述构造全等的方法，求 的度数．
（3）【拓展延伸】如图3， 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在
的延长线上，试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ，见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的
性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质
是解题的关键．
（1）角平分线得 ，垂直得 ，加公共边 ，利用 证明全等即可；
（2）延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直构造 ，得到 ；
再根据三角形外角性质进行计算即可；
（3）延长 、 交于点 ，先证明 ，得到 ，再利用角平分线和垂直构造
，得到 ，从而推出结论．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
（2）解：延长 交 于点 ，
平分 ，
，
，
又 ，
，
，
，
；（3）解： ，理由如下，
延长 、 交于点 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
又 ，
，
，
．
7．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍
时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
（1）如图①，若 ，可作 的平分线 交 于点D，则 是等腰三角形，请给
出证明；
（2）如图②，若 ，可延长 至点D，使 ，连接 ，则______是等腰三角形；
（3）如图③，若 ，以C为顶点， 为一边，在 外作 ______，交 的延长线于点D，则 是等腰三角形；
【解决问题】
（4）如图④，在 中， ， ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2） （3） （4）见解析
【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对
等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键：
（1）根据角平分线的定义，推出 ，即可得证；
（2）利用等边对等角，三角形的外角，推出 ，即可得出结论；
（3）根据等角对等边，证明 是等腰三角形即可；
（4）延长 至点 ，使 ，取 的中点 ，连接 ，证明 ，进而证明 ，
推出 为等边三角形，求出 ，利用三角形的内角和定理求出 即可．
【详解】解：（1）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
故答案为： ；
（3）作 ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（4）延长 至点 ，使 ，取 的中点 ，连接 ，则： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题：
在几何题自中如果有 的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的
点拨，同学们会发现了这样几种方法：
①如图a，作 的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作 ，构造等腰三角形．
③如图c，作 ，构造等腰三角形．④如图d，作 ，构造等腰三角形．
参考以上方法同学们就会解决下面问题：
如图1，在 中， ， ，求证 ．
【类比分析】
（2）如图2，在 中，点D、E两点分别在线段AB、BC上， ， ，过点E作
．如图2，求证 ．【学以致用】
（3）如图3， 为等边三角形， ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【分析】（1）作 的平分线交 于点E，作 于点F．推出 ，得到 ，证明
，即可证明 ；
（2）在 上作 ，在 上作 ，得到 ，推出 ，证明
，得到 ， ，再证明 ，据此即可证明结论成
立；
（3）在 上作 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ，证明
，推出 ，证明 ，设 ，则 ，
，在 中，求得 ， ，在 中，利用勾股定理列式计算即可
求解．
【详解】（1）证明：作 的平分线交 于点E，作 于点F．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：在 上作 ，在 上作 ，连接 ，如图，
∵ ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：在 上作 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，作 ，如图，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，利用勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
