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专题 1.2 折叠问题
【例题精讲】
【例1】如图，在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，则重叠部分
的面积为
A．12 B．10 C．8 D．6
【解答】解： △ ，
△ ，
△ 与 面积相等，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
的面积 ．
故选： ．
【例2】一张矩形纸 ，将点 翻折到对角线 上的点 处，折痕 交 于点 ．
将点 翻折到对角线 上的点 处，折痕 交 于点 ，折叠出四边形 ．
（1）求证： ；
（2）当 3 0 度时，四边形 是菱形？说明理由．【解答】（1）证明： 四边形 为矩形，
，
，
由翻折知， ， ，
，
；
（2）解：当 时四边形 为菱形，理由如下：
四边形 是矩形，
， ，
由（1）得： ，
四边形 是平行四边形，
，
．
，
由折叠的性质得 ，
，
，
四边形 是菱形；
故答案为：30．
【题组训练】
1．如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，将 沿 折叠，
使点 落在矩形内点 处，连接 ，则 的长为A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
，点 为 的中点，
，
又 ，
，
由折叠知， （对应点的连线必垂直于对称轴）
，
则 ，
，
，
．
故选： ．
2．如图，将矩形纸片 沿直线 折叠，使点 落在 边的中点 处，点 落在点
处，其中 ， ，则 的长为A． B．4 C．4.5 D．5
【解答】解：设 ，则 ，
，四边形 为矩形，点 为 的中点，
， ．
在 △ 中， ， ， ， ，
，即 ，
解得： ．
故选： ．
3．如图，把矩形 沿 翻折，点 恰好落在 边的 处，若 ， ，
，则矩形 的面积是
A．12 B．24 C． D．
【解答】解：在矩形 中，
，
，
由 折 叠 的 性 质 得 ， ， ，
，
．
在 △ 中，，
，而 ，
，
，即 ，
， ，
，
矩形 的面积 ．
故选： ．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形， ，将 沿直线 翻折，
使点 落在点 处， 交 轴于点 ，若 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：过 点作 轴，垂足为 ，则 轴，
四边形 为矩形，
， ， ，，
， ，
由折叠可知： ， ，
，
， ，
，
轴，
，
， ，
，
点坐标为 ， ，
故选： ．
5．如图，把正方形纸片 沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为 ；再过点
折叠，使得点 落在 上的点 处，折痕为 ，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：设正方形纸片 的边长为 ．
由 题 意 可 知 ： ， ， ，
，，
．
设 ，则 ．
在 中， ，
，
，
，
．
故选： ．
6．如图，正方形 的边长为9，将正方形折叠，使顶点 落在 边上的点 处，折
痕为 ．若 ，则线段 的长是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设 ，则 ，
， ，
，
在 中， ，
即 ，
解得： ，即 ．
故选： ．
7．如图，将长方形纸片折叠，使 点落在 上的 处，折痕为 ，若沿 剪下，则
折叠部分是一个正方形，其数学原理是
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【解答】解： 将长方形纸片折叠， 落在 上的 处，
，
折痕为 ，沿 剪下，
四边形 为矩形，
四边形 为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
故选： ．
9．如图，正方形纸片 的边长为3，点 、 分别在边 、 上，将 、 分
别沿 、 折叠，点 、 恰好都落在点 处，已知 ，则 的长为 ．
【解答】解： 正方形纸片 的边长为3，
， ，
根据折叠的性质得： ， ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
， ．
故答案为 ．
三．解答题（共8小题）
10．如图，在矩形纸片 中， ， ，将矩形纸片折叠，使点 与点 重合，
点 落在点 处， 是折痕，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）求折痕 的长．
【解答】（1）证明： 将矩形纸片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处， 是折
痕，
， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解：过 作 于 ，则 ，四边形 是矩形，
，
四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ，
四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ， ，
，
在 中，由勾股定理得： ．
11．将矩形 折叠使 ， 重合，折痕交 于 ，交 于 ，
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若 ， ，求菱形的边长；
（3）在（2）的条件下折痕 的长．
【解答】（1）证明： 矩形 折叠使 ， 重合，折痕为 ，， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 为平时四边形，
，
四边形 为菱形；
（2）解：设菱形的边长为 ，则 ， ，
在 中， ，
，解得 ，
即菱形的边长为5；
（3）解：在 中， ，
，
在 中， ，
．
12．如图，将一张矩形纸片 沿直线 折叠，使点 落在点 处，点 落在点 处，
直线 交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 的面积与 的面积比为 ，求 的值．【解答】（1）证明： 将一张矩形纸片 沿直线 折叠，使点 落在点 处，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
；
（2）解：过点 作 于点 ，
则四边形 是矩形，
， ，
的面积与 的面积比为 ，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
．13．如图，在矩形 中， ， 是 上的一点，将 沿着 折叠，点
刚好落在 边上点 处；点 在 上，将 沿着 折叠，点 刚好落在 上
点 处，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的长．
【解答】解：（1） ，
， ，
由折叠的性质可得： ， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ， ，，
，
，
．
14．如图所示，在矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻
折至 ， 与 相交于点 ，且 ， 与 交于 点．
（1）求证： ；
（2）求线段 的长．
【解答】（1）证明 四边形 是矩形，
， ， ，
根据题意得： ，
， ， ，
在 和 中， ，
，
， ，
，
；
（2）解：设 ，则 ， ，
， ，
根据勾股定理得： ，
即 ，解得： ，
，
．
15．如图，四边形 为平行四边形纸片．把纸片 折叠，使点 恰好落在 边
上，折痕为 ．且 ， ， ．
（1）求证：平行四边形 是矩形；
（2）求 的长；
（3）求折痕 长．
【解答】（1）证明： 把纸片 折叠，使点 恰好落在 边上，
， ，
又 ，
，
是直角三角形，且 ，
又 四边形 为平行四边形，
平行四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（ 2 ） 解 ： 设 ， 则 ， ，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
故 ；
（3）解：在 中，由勾股定理得， ，， ，
．
16．如图，正方形 中， ，点 在边 上，且 ．将 沿 翻
折至 ，延长 交边 于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求 的面积．
【解答】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
将 对折得到 ，
， ，
，
又 ，
．
（2）证明： ， ，
，
， ，
，
设 ，
则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得 ，
， ，
．
（3）过点 作 于点 ，则 ，
又 ，
，
，
，
，
．
