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专题 07 手拉手型
【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]
②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则
，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
【例题精讲】
例1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：
4，则BD：CE为（ ）A．5：3 B．4：3 C．√5：2 D．2：√3
例2.如图，以 的两边 、 分别向外作等边 和等边 ， 与 交于点 ，已知
， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数及 的长；
（3）若点 、 分别是等边 和等边 的重心（三边中线的交点），连接 、 、 ，作
出图象，求 的长．
例3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD
于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．例4.如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点， ，点M、N分
别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： ；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为
；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 ， ，求EF的长．
【变式训练1】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，
边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 2 7 °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
BF 1 FC
（3）若 = ，请求出 的值．
FC 2 FH【变式训练2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB
绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
【变式训练3】在 和 中， ， ，且 ，点E在 的内部，
连接EC，EB，EA和BD，并且 ．
【观察猜想】
（1）如图①，当 时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为
__________．【探究证明】
（2）如图②，当 时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若 ，请直接写出 的面积．
【课后训练】
1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
Rt ABC Rt△DEF ABC EDF 30 BAC DEC 90 BC DF
2.在 和 中， ， ， 与 在同一条直
线上，点C与点F 重合，AC 2，如图为将 CED绕点C顺时针旋转30�后的图形，连接BD，AE，
1
EF AC
若 2 ，求 BDC和 AEC的面积．
3.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，
把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
BF
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出 AE 的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；4．如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝
kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用
含k的式子表示）．
5．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），
发现 且 ．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 吗？若能，请给出证明，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形 和菱形 ，将菱形 绕点A按顺时针方向旋转（如图
2），试问当 与 的大小满足怎样的关系时， ；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且 ， ， （如
图3），连接 ， ．试求 的值（用a，b表示）．
6．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α
得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三
点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ ，求BD的长．7．如图1，在 中， ，在斜边 上取一点D，过点D作 ，交 于
点E．现将 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 的内部），使得
．
（1）①求证： ；
②若 ，求 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ，
，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
8．将 绕点 逆时针方向旋转 ，并使各边长变为原来的 倍，得到 ，我们将这种变换记为
．
（1）问题发现
如图①，对 作变换 得 ，则 ______；直线 与直线 所夹的锐角
度数为______．
（2）拓展探究
如图②， 中， 且 ，连结 ， ．对 作变换 得 ，
求 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决
如图③， 中， ， ，对 作变换 得 ，使点 、 、 在同
一直线上，且四边形 为矩形，请直接写出 的值．
9．在矩形 中， ，点 为 的中点，点 为对角线 的中点，点 、 分别在边
、 上，且 ．
（1）求 的值．
（2）求证： ．
（3）作射线 与射线 交于点 ，若 ， ，求 的长．
10．矩形 中， ，点 分别在边 上，且 ，连接 并延长，
交 的延长线于点 ，点 为射线 上一动点，过点 作 的垂线，交 于点 ．
（1）特例发现，如图，若点 恰好与点 重合，填空：
① ________；② 与 的等量关系为_________．（2）拓展探究
如图，若点 在 的延长线上， 与 能否相等？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点 是线段 上异于点 一点，连接 ，过点 作直线 ，交直线 于点 ，是否存
在点 ，使 相等？若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由．
