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专题 07 手拉手型
【基本模型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]
②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则
，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
【例题精讲】
例1.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：
4，则BD：CE为（ ）A．5：3 B．4：3 C．√5：2 D．2：√3
【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
AC AE
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， = ，
AB AD
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
AC AE BD AB
∵ = ，∴△ACE∽△ABD，∴ = ，
AB AD CE AC
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，故选：A．
例2.如图，以 的两边 、 分别向外作等边 和等边 ， 与 交于点 ，已知
， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数及 的长；
（3）若点 、 分别是等边 和等边 的重心（三边中线的交点），连接 、 、 ，作
出图象，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）60°，12；（3）
【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ADC与△ABE中，，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
设AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如图①，在PE上取点F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF为等边三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）如图②，过点Q作QG⊥AD于G，设QG=x，
∵点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG= x，AB= x，∵ ，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
∴ ．
例3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD
于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【详解】解：（1） 四边形 是正方形，四边形 是正方形，
，
，
，
，
；
（2） 四边形 是正方形，
， ，
，
同理可得 ，
，
，，
；
（3） ， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
即正方形 的边长为 ．
例4.如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点， ，点M、N分
别在直线BC、DC上．
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证： ；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为
；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若 ， ，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）BM− DN= BC；（3）EF的长为 ．【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴ ，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP= DC，∴BQ=3DQ，DN+NP= DC= BC，
∴BQ=3PQ，∴ ，∴NP= BM，∴DN+ BM= BC；
（2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，∴QH∥OC，
∵Q是OB的中点，∴BH=CH= BC，
∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，
∴ ，∴HM= ND，∵BM-HM=HB，∴BM− DN= BC．
故答案为：BM− DN= BC；
（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．
∵HM= ND，∴ND=3x，∴CN=7x，
∵四边形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴ ，∴ ，∴DE= x，∴ ，
∵NQ=9 ，∴QM=3 ，在Rt MNQ中，由勾股定理得：
△
，∴ ，∴ ，∴ ，
设EF=a，则FM=7a，∴ ，∴ ．∴EF的长为 ．
【变式训练1】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，
边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 2 7 °；
（2）证明：△AFC∽△AGD；
BF 1 FC
（3）若 = ，请求出 的值．
FC 2 FH
【解析】（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴∠BAC＝∠GAF＝45°，
∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠HAG＝∠BAF＝18°，
∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，AD √2 AG √2 AD AG
（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴ = ， = ，∴ = ，
AC 2 AF 2 AC AF
∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠DAG＝∠CAF，∴△AFC∽△AGD；
BF 1
（3）∵ = ，设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，
FC 2
∴AF=√AB2+BF2=√(3k) 2+k2=√10k，AC=√2AB＝3√2k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，
AF FH FC 3√2 3√5
∴△AFH∽△ACF，∴ = ，∴ = = ．
AC CF FH √10 5
【变式训练2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB
绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝ ，请直接写出点D到CP的距离．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 或
【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，∴ ，
由旋转的性质可得： ，
∴△PBD为等边三角形，∴ ，
∴在 和 中，
∴ ，∴
（2）过点 作 ，如下图：
∵当α＝120°时， ，∴ ， ，∴
由勾股定理得
∴ ，∴
由旋转的性质可得： ，
∴ ，
又∵ ，∴
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴
∴
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则点D到CP的距离就是 的长度
当 在线段 上时，如下图：由题意可得： ，∵α＝120°，∴
在 中， ， ∴ ，
在 中， ， ，∴
∴ ，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设 ，则
由勾股定理可得：
即 ，解得 ，则
当 在线段 延长线上，如下图：
则 ，
由（2）得， ，设 ，则
由勾股定理可得：
即 ，解得 ，则综上所述：点D到CP的距离为 或
【变式训练3】在 和 中， ， ，且 ，点E在 的内部，
连接EC，EB，EA和BD，并且 ．
【观察猜想】
（1）如图①，当 时，线段BD与CE的数量关系为__________，线段EA，EB，EC的数量关系为
__________．
【探究证明】
（2）如图②，当 时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若 ，请直接写出 的面积．
【答案】（1） ， ；（2）不成立，理由见解析；（3）2
【详解】（1）如图①中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC， ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠E△AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为：BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．理由：如图②中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC， ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC，
△
∵ = ， = ，∴ ，∴△DAB∽△EAC，
∴ = ，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，
∵EA= DE，BD= EC，∴ EA2= EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，
∵∠AED=45°，D，E，C共线，∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE，∴DE= BD，∵EC= BD，∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt ABC中，∵AB=BC=2 ，∴AC=2 ，
△
在Rt ADC中，
∵AD△2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，
∴x=2 （负根已经舍弃），
∴AD=DE=2 ，∴BD=BE=2，∴S BDE= ×2×2=2．
△
【课后训练】
1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
【答案】B
AC 2 AB 3 2 BC 4 2 AC AB BC
【解答】 = ， = = ， = = ，∴ = = ，
AE 3 AD 4.5 3 DE 6 3 AE AD DE
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故选：B．
Rt ABC Rt△DEF ABC EDF 30 BAC DEC 90 BC DF
2.在 和 中， ， ， 与 在同一条直
线上，点C与点F 重合，AC 2，如图为将 CED绕点C顺时针旋转30�后的图形，连接BD，AE，
1
EF AC
若 2 ，求 BDC和 AEC的面积．
1
【答案】 和 的面积分别为2和 ．
BDC AEC 2
【解析】如图所示，过点D作DMBC于点M，
1
EF= AC
∵AC=2， 2 ，∴EC=1，又∵ABC=30，EDC=30，
∴在Rt△BAC和Rt△DEC中，BC=2AC=4，DC=2EC=2，
BC CD
= =2
由旋转性质知，BCDACE 30，AC EF ，
BD BC
= =2
∴ BDC∽ AEC，故AE AC ，
Rt△ BCD=30 DC=2 DM=1
在 DMC中， ， ，∴ ，
BCDM 41
S 2
∴ △BDC 2 2 ，
2
S 1 1 1 1
∵ BDC∽ AEC，∴ AEC ，∴S 2 ，
S 2 4 △AEC 4 2
BDC
1
∴ BDC和 AEC的面积分别为2和 ．
2
3.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，
把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
BF
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出 AE 的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；AE 2 DF
【答案】（1）1；（2）不成立， BF ＝ 2 ，理由见解析；（3）E为AD中点时， DC 的最小值 ＝sinα
【解析】（1）连接BF，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，
BF
∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴ AE ＝1．
AE 2
（2）不成立，结论： BF ＝ 2 ．证明：连接BF，
∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和 CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，
AC CE△ 2 AE AC 2
∴ BC ＝CF ＝ 2 ，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴ BF ＝ BC ＝ 2 ．
4．如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝
kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用
含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，
作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt AOD中，
△
，同理：OE＝ OB，
∵OA＝OB，∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt DOM和Rt EON中， ，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
△ △
（2）如图2，
作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝ OA，OE＝ OB，∴ ，
由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，∴ ，∴ON＝k•OM．
（3）如图3，
设AC＝BC＝a，∴AB＝ a，
∵OB＝k•OA，∴OB＝ • a，OA＝ • a，∴OE＝ OB＝ a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝ ＝ OE＝ • a，
∵CE＝OD＝ OA＝ a，∴NC＝CE＋EN＝ a＋ • a，由（2）知： ，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°
∵ ，∴ ，∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝ a，∴PN＝PE＋EN＝ a＋ • a，
设AD＝OD＝x，∴DM＝ ，
由AD＋DM＝AC＋CM得，（ ＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝ （AC＋CM）＜ （AC＋ AC）＝ AC，
∴k＞1，∴ ，
∴ ．
5．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），
发现 且 ．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形 绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到 吗？若能，请给出证明，请
说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形 和菱形 ，将菱形 绕点A按顺时针方向旋转（如图
2），试问当 与 的大小满足怎样的关系时， ；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且 ， ， （如
图3），连接 ， ．试求 的值（用a，b表示）．【答案】（1）见解析；（2）当 时， ，理由见解析；（3） ．
【详解】（1）∵四边形 为正方形，∴ ， ，
又∵四边形 为正方形，
∴ ， ，∴ ∴ ，
在△AEB和△AGD中， ，∴ ，∴ ；
（2）当 时， ，
理由如下：∵ ，∴ ∴ ，
又∵四边形 和四边形 均为菱形，∴ ， ，
在△AEB和△AGD中， ，∴ ，∴ ；
（3）设 与 交于Q， 与 交于点P，
由题意知， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，连接 ， ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ， ，
在Rt EAG中，由勾股定理得： ，同理 ，
△
∴ ．
6．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α
得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时， 的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出 的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三
点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋ ，求BD的长．
【答案】（1）1，60；（2） ，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°；（3）BD＝ ．
【详解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB
∵将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，
∴△BDP是等边三角形，∴BP=BD
∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，
∴∠PBA=∠DBC
∴△PBA≌△DBC，
∴AP=CD
∴ =1
如图，延长CD交AB，AP分别于点G，H，则∠AHC为直线CD与AP所成的较小角，
∵△PBA≌△DBC
∴∠PAB=∠DCB
∵∠HGA=∠BGC
∴∠AHC＝∠ABC＝60°
故答案为：1，60；
（2）解：如图，延长CD交AB，AP分别于点M，N，则∠ANC为直线CD与AP所成的较小角，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°.在Rt ABC中， ＝cos∠ABC＝cos45°＝ .
△
∵PB＝PD，∠BPD＝90°，
∴∠PBD＝∠PDB＝45°.
在Rt PBD中， ＝cos∠PBD＝cos45°＝ .
△
∴ ＝ ，∠ABC＝∠PBD.
∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.
即∠PBA＝∠DBC.
∴△PBA∽△DBC.
∴ ＝ ＝ ，∠PAB＝∠DCB.
∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.
即 ＝ ，直线CD与AP所成的较小角的度数为45°.
(3)延长CA，BD相交于点K，如图.
∵∠APB＝90°，E为AB的中点，∴EP＝EA＝EB.
∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.
∵点E，F为AB，AC的中点，
∴PF BC.
∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.
∵∠BGP＝∠FGK，
∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，
∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，
∴∠K＝∠CBD.
∴CB＝CK.
∴∠BCD＝∠KCD.
由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，
∴∠PAB＝∠DCB.
∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.
∵∠BHD＝∠CHA，
∴∠DBA＝∠DCA.
∴∠DBA＝∠PAB.
∴AD＝BD.
由(2)知DC＝ AP，
∴AP＝ .
在Rt PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝ = x＝AD.
△
∴AD＋PD＝x＋ x＝AP＝1＋ .
∴x＝1.
∴BD＝ ．
7．如图1，在 中， ，在斜边 上取一点D，过点D作 ，交 于
点E．现将 绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在 的内部），使得
．
（1）①求证： ；②若 ，求 的长；
（2）如图3，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变， 设，若 ，
，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“ ”去掉，其它条件不变，若 ，设 ，
，试探究 三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【答案】（1）①见解析；② ；（2） ；（3）4p2=9m2+4n2．
【详解】解：（1）①∵DE∥BC，
∴ ，
由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
②在Rt ABC中，AC=BC，
△
∴ ，
由①知， ABD∽△ACE，
∴∠ABD△=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
∵△ABD∽△ACE，
，
∴ ，
∵
∴
在Rt CDE中，
△
根据勾股定理得，DE=2，在Rt ADE中，AE=DE，
△
∴
（2）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=4，BD=3，
∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，
∴1+9△k2=16-16k2，
∴ 或 （舍），
（3）由旋转知，∠EAC=∠DAB，
∴△ABD∽△ACE，
∵AD=p，BD=n，
∴ ，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt CDE中， ，
△
∵ ，
，∴4p2=9m2+4n2．
8．将 绕点 逆时针方向旋转 ，并使各边长变为原来的 倍，得到 ，我们将这种变换记为
．
（1）问题发现
如图①，对 作变换 得 ，则 ______；直线 与直线 所夹的锐角
度数为______．
（2）拓展探究
如图②， 中， 且 ，连结 ， ．对 作变换 得 ，
求 的值及直线 与直线 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③， 中， ， ，对 作变换 得 ，使点 、 、 在同
一直线上，且四边形 为矩形，请直接写出 的值．
【答案】（1） ， ；（2） ，理由见解析；（3） ．
【详解】解：（1）由题意可知：对 作变换 得 ，∽ ，且相似比为 ， ，
，
，
， ，
，
即直线 与直线 所夹的锐角度数为： ．
故答案为： ， ．
（2）根据题意得： ， ，
，
，
∽ ， 相似比 ， ，
， ，
延长 交 于 ，如图，
设 交 于 ．
， ， ∽ ， ，
，直线 与直线 相交所成的较小角的度数为 ．
（3） 四边形 为矩形， ，
， ，
， ，
在 中， ，
， ，即 的值为 ．
9．在矩形 中， ，点 为 的中点，点 为对角线 的中点，点 、 分别在边
、 上，且 ．
（1）求 的值．
（2）求证： ．
（3）作射线 与射线 交于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2）证明过程见解析；（3）
【详解】解：（1）解：取AB的中点N，连接PN，PM．
∵AM=MD，PB=PD，AN=NB，
∴PM= AB，PN= AD，PM∥AB，PN∥AD，
∴四边形ANPM是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ANPM是矩形，
∴∠MPN=∠EPF=90°，
∴∠EPN=∠EPM，∵∠PMF=∠PNE=90°，∴△PMF∽△PNE，∴
故答案为： ；
（2）∵ 为 的中位线，∴ 为 中点，∴ ，
又∵ ∽ （已证），∴ ，∴ ，
∴ ．
（3）延长 交 于点 ，
∵BE：AF=3：4，EN=2MF，
设BE=3x，AF=4x，FM=a，EN=2a，
∵AM=2BN，
∴4x-a=2（3x-2a），
∴a= x，
∴AM= x，AD= x，DF= x，AE= x，
在Rt AEF中，∵（ x）2+（4x）2=29，
△
解得x= ，
∴ ，
∵DH//AE，∴ ，可得 ，设DQ=y，
∵DH//BE，∴ ，
∴ ，∴ ．∴ ．
10．矩形 中， ，点 分别在边 上，且 ，连接 并延长，
交 的延长线于点 ，点 为射线 上一动点，过点 作 的垂线，交 于点 ．
（1）特例发现，如图，若点 恰好与点 重合，填空：
① ________；② 与 的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点 在 的延长线上， 与 能否相等？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点 是线段 上异于点 一点，连接 ，过点 作直线 ，交直线 于点 ，是否存
在点 ，使 相等？若存在，请直接写出 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①4； ② ；（2） 与 能够相等，理由详见解析；（3）（3） 能够相
等，
【详解】（1）①∵ ，∴ ，∴ ，
， ，，解得 ，
故答案是：4；
②如图，过点Q作 ，交AB于点H，交DC于点G，
可得 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，得 ，
∴ ，
根据 ，得 ，解得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
故答案是： ；
（2） 与 能够相等， ，
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，
，
又 ，
设 ，则 ，
，解得 ，经检验， 是该分式方程的根，
；
（3） 能够相等， ，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，根
据“k”字型全等得 ，
设 ，则 ，
，解得 ，故 的长为 ．
