专题07平行四边形（知识点梳理+典例剖析+变式训练）-八年级数学下学期期末冲刺满分必刷常考压轴题（北师大版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练

专题 07 平行四边形 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 考点1 平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC， AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C， ∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 考点2 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边 形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 考点3 三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 考点4 多边形 概念：由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形。 公式：①n边形的内角和等于（n-2）x180° ②过n边形一个顶点有（n-3）条对角线； ③n边形共有n×（n-3）÷2=对角线；④n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形 ⑤任意凸形多边形的外角和都等于360° ⑥ n边形截去一个角后得到n-1、n、n+1边形． 正正正正 正正正各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 正n边形的一个外角为：360°÷n 【经典题型】 考点1 平行四边形的性质 【典例1】（2022春•仁怀市月考）如图，已知平行四边形ABCD的周长等于22cm，AC＝ 8cm，则△ABC的周长是（ ） A．11cm B．15cm C．16cm D．19cm 【变式1-1】（2020春•恩平市期中）已知一个平行四边形两邻边的长分别为4和7，那么 它的周长为（ ） A．11 B．18 C．22 D．28 【变式1-2】（2020春•南岗区期末）如果一个平行四边形相邻两边的长分别为5和3，那 么它的周长是（ ） A．6 B．10 C．16 D．20 【变式1-3】（2022春•朝阳区校级期中）在 ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于 点E，∠CBE＝34°，则∠C的度数为（ ▱） A．120° B．146° C．108° D．112° 【典例2】（2022春•拱墅区校级月考）已知在 ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠B的度 ▱数为（ ） A．100° B．160° C．80° D．60° 【变式2-1】（2022春•东台市期中）如图， ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠D的度数 为（ ） ▱ A．50° B．60° C．70° D．80° 【变式2-2】（2022春•丰台区校级期中）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，且 AB＝BE，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，如果∠F＝70°，那么∠B的度 数是（ ） A．30° B．40° C．50° D．70° 【典例3】（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1， 0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶▱点D的坐标是（ ） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2） 【变式3-1】（2022•固原一模）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边 在 x 轴上，点 O 为坐标原点，已知点 A（4，0），E（3，1），则点 C 的坐标为 （ ） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）【变式3-2】（2021秋•张店区期末）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B （﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点▱D的坐标是（ ） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 【典例4】（2022春•广陵区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且 AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的 周长为 ． 【变式4-1】（2021春•梁平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交 于点O，若AC＝12，BD＝16，CD＝11，则△DOC的周长为（ ） A．39 B．31 C．33 D．25 【变式4-2】（2020•吉安模拟）如图， ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O， OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长▱为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm考点2 平行四边形的判定 【典例5】（2020春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， 下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A．AB∥DC，AD＝BC B．AD∥BC，AB∥DC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 【变式5-1】（2019春•天桥区期末）下列说法正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 【变式5-2】（2020春•南宁期末）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD 【典例6】（2021春•宜兴市期中）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF ＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证： （1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形． 【变式6-1】（2020•钦州模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点 E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．（1）证明：△BEO≌△DFO； （2）证明：四边形ABCD是平行四边形． 【变式6-2】如图，点B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，AB//DE，BE CF． （1）求证：ABC DEF ； （2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形． 考点3 三角形中位线 【典例7】（2020春•五莲县期末）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距 离，在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝15m，则AB的长为（ ） A．7.5m B．15m C．30m D．45m 【变式7-1】（2019春•宜城市期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝8．点D， E，F分别是相应边上的中点，则四边形DFEB的周长等于（ ） A．8 B．9 C．12 D．13 【变式 7-2】如图，在ABC 中，点D、E分别是 AB、 AC 的中点，若B40，则 ( ) BDE 的度数为 A．40 B．50 C．140 D．150 考点4 平行四边形的性质与判定 【典例8】（2021•天等县一模）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点 E，AF∥CE，且交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）如图，若∠1＝65°，求∠B的大小． 【变式8-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为 AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长． 【变式8-2】如图，在 ABCD中，连接AC ，过点B作BM  AC ，垂足为E，交CD于点 M ，过点D作DN  AC ，垂足为点F ，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN 是平行四边形； （2）已知AF 12，EM 5，求AN 的长． 考点5 多边形内角和与外角和 【典例9】若多边形的内角和是1980，则此多边形的边数为 ( ) A．16 B．15 C．14 D．13 【变式9-1】（2021春•雁塔区校级期末）若一个正多边形的一个内角为144°，则此多边形 是（ ）边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式9-2】（2021•济宁）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（ ）A．72° B．45° C．36° D．35° 【典例10】如图，桐桐从 A点出发，前进3m到点B处后向右转20，再前进3m到点C处 后又向右转20，，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了 ( ) A．100m B．90m C．54m D．60m 【变式10-1】（2021•五华区一模）如图，小明从点A出发，沿直线前进8米后向左转 60°，再沿直线前进8米，又向左转60°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时， 走过的总路程为（ ） A．48米 B．80米 C．96米 D．无限长 【变式 10-2】如图，在五边形 ABCDE中， AB//ED，1，2，3分别是ABC， BCD，CDE的外角，则123的度数为 ( )A．180 B．210 C．240 D．270 【变式10-3】一个多边形的每一个外角都为72，这个多边形是 ( ) A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【典例11】将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边 AB与正五边形的边DE 在同一条直线上，则BOE 的度数是 ( ) A．48 B．54 C．60 D．72 【变式11-1】如图，以正五边形ABCDE的边DE 为边向外作等边三角形DEF ，连接AF ， 则AFE 等于 ( ) A．6 B．8 C．12 D．14 【变式11-2】（2018秋•渑池县期中）如图所示，直线 AF，BC，DE两两相交，交点分别 为P，Q，M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ． 【典例12】（2021春•玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形 的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 【变式12】将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为 ( ) A．180 B．180或360 C．360或540 D．180或360或540 专题 07 平行四边形 （知识点梳理+典例剖析+变式训练） 【知识点梳理】 考点1 平行四边形的性质 3. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC， AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 4. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C， ∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 考点2 平行四边形的判定 4. 与边有关的判定： （3）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边 形 6. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 考点3 三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。考点4 多边形 概念：由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形。 公式：①n边形的内角和等于（n-2）x180° ②过n边形一个顶点有（n-3）条对角线； ③n边形共有n×（n-3）÷2=对角线； ④n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形 ⑤任意凸形多边形的外角和都等于360° ⑥ n边形截去一个角后得到n-1、n、n+1边形． 正正正正 正正正各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 正n边形的一个外角为：360°÷n 【经典题型】 考点1 平行四边形的性质 【典例1】（2022春•仁怀市月考）如图，已知平行四边形ABCD的周长等于22cm，AC＝ 8cm，则△ABC的周长是（ ） A．11cm B．15cm C．16cm D．19cm 【答案】D 【解答】解：∵ ABCD的周长是22cm， ∴AB+BC＝11cm▱， ∵AC＝8cm， ∴△ABC的周长为AC+（AB+BC）＝8+11＝19（cm）， 故选：D． 【变式1-1】（2020春•恩平市期中）已知一个平行四边形两邻边的长分别为4和7，那么 它的周长为（ ） A．11 B．18 C．22 D．28 【答案】C【解答】解：∵平行四边形的对边相等， ∴平行四边形的周长＝2（4+7）＝22． 故选：C． 【变式1-2】（2020春•南岗区期末）如果一个平行四边形相邻两边的长分别为5和3，那 么它的周长是（ ） A．6 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：∵平行四边形的两组对边相等，且相邻两边的长分别为5和3 ∴平行四边形的四边为5，3，5，3 ∴平行四边形的周长＝16 故选：C． 【变式1-3】（2022春•朝阳区校级期中）在 ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于 点E，∠CBE＝34°，则∠C的度数为（ ▱） A．120° B．146° C．108° D．112° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A＝∠C， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC的平分线交AD于E， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝34°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝112°． ∴∠C＝112°． 故选：D． 【典例2】（2022春•拱墅区校级月考）已知在 ABCD中，∠B+∠D＝200°，则∠B的度 数为（ ） ▱ A．100° B．160° C．80° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D， ∵∠B+∠D＝200°， ∴∠B＝∠D＝100°， 故选：A． 【变式2-1】（2022春•东台市期中）如图， ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠D的度数 为（ ） ▱ A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∵∠A+∠C＝220°， ∴∠A＝∠C＝110°， ∴∠D＝∠B＝180°﹣∠A＝70°． 故选：C． 【变式2-2】（2022春•丰台区校级期中）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，且 AB＝BE，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，如果∠F＝70°，那么∠B的度 数是（ ） A．30° B．40° C．50° D．70° 【答案】B 【解答】解：如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B＝∠D， ∴∠1＝∠F＝70°． ∵AB＝BE，∴∠1＝∠3＝70°， ∴∠B＝40°， 故选：B． 【典例3】（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1， 0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶▱点D的坐标是（ ） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2） 【答案】B 【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）， ∴AB＝3，AB∥y轴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝3， ∵C（2，﹣1）， ∴D（2，2）， 故选：B． 【变式3-1】（2022•固原一模）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边 在 x 轴上，点 O 为坐标原点，已知点 A（4，0），E（3，1），则点 C 的坐标为 （ ）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】D 【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G， ∴EF∥CG， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE＝CE， ∴AG＝2AF，CG＝2EF， ∵A（4，0），E（3，1）， ∴OA＝4，OF＝3，EF＝1， ∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2， ∴AG＝2， ∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2， ∴C（2，2）． 故选：D． 【变式3-2】（2021秋•张店区期末）如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B （﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点▱D的坐标是（ ） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4）【答案】B 【解答】解： 过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于 N， 则四边形EFNM是矩形， 所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM， ∴∠EAB＝∠AQC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠AQC＝∠DCN， ∴∠DCN＝∠EAB， 在△DCN和△BAE中 ， ∴△DCN≌△BAE（AAS）， ∴BE＝DN，AE＝CN， ∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1）， ∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3， ∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3， ∴D的坐标为（3，2）， 故选：B． 【典例4】（2022春•广陵区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且 AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的 周长为 ．【答案】 18 cm 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， ∵OE⊥BD， ∴BE＝DE， ∵△CDE的周长9cm， 即CD+DE+EC＝9cm， ∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2 （DE+EC+CD）＝2×9＝18cm． 故答案为：18cm． 【变式4-1】（2021春•梁平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交 于点O，若AC＝12，BD＝16，CD＝11，则△DOC的周长为（ ） A．39 B．31 C．33 D．25 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝12，BD＝16，AB＝CD＝11， ∴OC＝ AC＝6，OD＝ BD＝8， ∴△DOC的周长为：CD+OD+OC＝11+6+8＝25． 故选：D． 【变式4-2】（2020•吉安模拟）如图， ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O， OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长▱为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC， ∵ ABCD的周长为16cm， ∴▱AD+CD＝8cm， ∵OA＝OC，OE⊥AC， ∴EC＝AE， ∴△DCE的周长为：DE+EC+CD＝DE+AE+CD＝AD+CD＝8（cm）． 故选：C． 考点2 平行四边形的判定 【典例5】（2020春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， 下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A．AB∥DC，AD＝BC B．AD∥BC，AB∥DC C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD 【答案】A 【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故 本选项符合题意； B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形 ABCD为平行四边 形，故此选项不符合题意； C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边 形，故此选项不符合题意； D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形， 故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】（2019春•天桥区期末）下列说法正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形 【答案】B【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形的对角线 相等，故本选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如：筝形的对角线互相垂直，故 本选项错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； 故选：B． 【变式5-2】（2020春•南宁期末）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ） A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD 【答案】B 【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错 误； B、AB＝CD，AD＝BC判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项正确； C、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； D、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误； 故选：B． 【典例6】（2021春•宜兴市期中）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF ＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证： （1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）略 （2）略 【解答】证明：（1）∵DF∥BE， ∴∠DFE＝∠BEF． 在△ADF和△CBE中，， ∴△AFD≌△CEB（SAS）； （2）由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 【变式6-1】（2020•钦州模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点 E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF． （1）证明：△BEO≌△DFO； （2）证明：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1） 略 （2）略 【解答】证明： （1）∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中 ∴△BEO≌△DFO（ASA）； （2）由（1）可知△BEO≌△DFO， ∴OE＝OF， ∵AE＝CF，∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形 【变式6-2】如图，点B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，AB//DE，BE CF． （1）求证：ABC DEF ； （2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形． 【答案】略 【解答】证明：（1） AB//DE， BDEF ，  BE CF ， BECE CF CE， 即BC EF ， 在ABC 和DEF 中， ABDE  BDEF  BC EF ， ABC DEF(SAS) ； （2）由（1）得：ABC DEF ， AC DF ，ACBF ， AC//DF ， 四边形ACFD是平行四边形． 考点3 三角形中位线 【典例7】（2020春•五莲县期末）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距 离，在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝ 15m，则AB的长为（ ）A．7.5m B．15m C．30m D．45m 【答案】C 【解答】解：∵E、F是AC，BC中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF＝ AB， ∵EF＝15m， ∴AB＝30m． 故选：C． 【变式7-1】（2019春•宜城市期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝8．点D， E，F分别是相应边上的中点，则四边形DFEB的周长等于（ ） A．8 B．9 C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：∵点D，F分别是AB、AC的中点， ∴DF＝ BC＝2.5， 同理，EF＝ AB＝2， ∴四边形DFEB的周长＝EF+FD+DB+BE＝9， 故选：B． 【变式 7-2】如图，在ABC 中，点D、E分别是 AB、 AC 的中点，若B40，则 ( ) BDE 的度数为A．40 B．50 C．140 D．150 【答案】C 【解答】解：点D、E分别是AB、AC 的中点， DE//BC ， BBDE 180，  B40， BDE140， 故选：C． 考点4 平行四边形的性质与判定 【典例8】（2021•天等县一模）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点 E，AF∥CE，且交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）如图，若∠1＝65°，求∠B的大小． 【变式8-1】（2021春•饶平县校级期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为 AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长． 【答案】（1）略 （2）EF＝【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DE＝ BC， ∵EF∥CD ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE＝CF． （2）∵四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2， ∴DC＝EF＝ ． 【变式8-2】如图，在 ABCD中，连接AC ，过点B作BM  AC ，垂足为E，交CD于点 M ，过点D作DN  AC ，垂足为点F ，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN 是平行四边形； （2）已知AF 12，EM 5，求AN 的长． 【答案】略 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， AB//CD，  BM  AC，DN  AC ， BM //DN ， 四边形BMDN 是平行四边形； （2）解：四边形ABCD是平行四边形， AB//CDABCD， CABDCA， 由（1）可知：四边形BMDN 是平行四边形， DM BN ， ABBN CDDM ，AN CM ，  BM  ACDN  AC ， AFN CEM 90， AFN CEM(AAS) ， FN EM 5， 在RtAFN中，由勾股定理得：AN  AF2 FN2  122 52 13． 考点5 多边形内角和与外角和 【典例9】若多边形的内角和是1980，则此多边形的边数为 ( ) A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得： (n2)1801980 解得：n13， 所以这个多边形的边数是13． 故选：D． 【变式9-1】（2021春•雁塔区校级期末）若一个正多边形的一个内角为144°，则此多边形 是（ ）边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：设这个正多边形的边数为n， ∴（n﹣2）×180°＝144°×n， ∴n＝10． 故选：D． 【变式9-2】（2021•济宁）如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（ ）A．72° B．45° C．36° D．35° 【答案】C 【解答】解：根据正多边形内角和公式可得， 正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°， 则∠BAE＝∠B＝∠E＝ ＝108°， 根据正五边形的性质，△ABC≌△AED， ∴∠CAB＝∠DAE＝ （180°﹣108°）＝36°， ∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°， 故选：C． 【典例10】如图，桐桐从 A点出发，前进3m到点B处后向右转20，再前进3m到点C处 后又向右转20，，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了 ( ) A．100m B．90m C．54m D．60m 【答案】C 【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 由于正多边形的外角和是360，且每一个外角为20， 3602018， 所以它是一个正18边形， 18354(m) 因此所走的路程为 ， 故选：C． 【变式10-1】（2021•五华区一模）如图，小明从点A出发，沿直线前进8米后向左转 60°，再沿直线前进8米，又向左转60°，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时， 走过的总路程为（ ）A．48米 B．80米 C．96米 D．无限长 【答案】A 【解答】解：360°÷60°＝6， 8×6＝48（米）， 故选：A． 【变式 10-2】如图，在五边形 ABCDE中， AB//ED，1，2，3分别是ABC， BCD，CDE的外角，则123的度数为 ( ) A．180 B．210 C．240 D．270 【答案】A 【解答】解：反向延长AB，DC，  AB//ED， 45180， 根据多边形的外角和定理可得12345360， 123360180180． 故选：A．【变式10-3】一个多边形的每一个外角都为72，这个多边形是 ( ) A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【答案】A 【解答】解：一个多边形的每个外角都等于72， 多边形的边数为360725． 故这个多边形的边数是5． 故选：A． 【典例11】将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边 AB与正五边形的边DE 在同一条直线上，则BOE 的度数是 ( ) A．48 B．54 C．60 D．72 【答案】A 【解答】解：由题意得：DEO108，ABO120， OEB72，OBE60， BOE180726048， 故选：A． 【变式11-1】如图，以正五边形ABCDE的边DE 为边向外作等边三角形DEF ，连接AF ， 则AFE 等于 ( ) A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】A 【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，AED108，  DEF 是正三角形， DEF 60， AEF AEDDEF 10860168，  AE EF， 180168 AFE  6 2 ， 故选：A． 【变式11-2】（2018秋•渑池县期中）如图所示，直线 AF，BC，DE两两相交，交点分别 为P，Q，M，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ． 【答案】360° 【解答】解：∵∠APB+∠A+∠B＝180°，∠CMD+∠C+∠D＝180°，∠EQF+∠E+∠F＝ 180°， ∴∠APB+∠A+∠B+∠CMD+∠C+∠D+∠EQF+∠E+∠F＝540°， ∵∠APB+∠CMD+∠EQF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故答案为360°． 【典例12】（2021春•玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形 的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ） A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝1620°， 解得n＝11， ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D 【变式12】将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为 ( ) A．180 B．180或360 C．360或540 D．180或360或540 【答案】D 【解答】解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180， 如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360， 如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540． 综上所述，剩下图形的内角和为180或360或540． 故选：D．