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专题 07 实数的相关运算
题型一 实数的基本运算
一．实数的基本计算（共17小题）
1．下列计算中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，所以 选项的计算错误；
、 与 不能合并，所以 选项的计算错误；
、原式 ，所以 选项的计算正确；
、原式 ，所以 选项的计算错误．
故选： ．
2．下列计算结果，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，所以 选项错误；
、 与 不能合并，所以 选项错误；
、原式 ，所以 选项错误；
、原式 ，所以 选项正确．
故选： ．
3．计算： 的结果为 1 ．
【解答】解：原式 ，
，
，故答案为：1．
4．计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
5．计算： ．
【解答】解：原式．
6．计算．
（1） ．
（2） ．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
7．计算：
【解答】解：原式
．
8．计算： ．
【解答】解：原式．
9．计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
10．计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
11．计算：
（1） ；
（2） ．【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
12．计算．
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
13．计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；（2）原式
．
14．（1）计算： ；
（2）计算： ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
15．计算：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
16．计算下列各题：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．计算题
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
题型二 实数的化简求值
18．已知：如图：
化简： ．
【解答】解：由已知 ， ， ， ，
则原式 ．
19．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为 ，化简 ．
【解答】解：由三边关系定理，得 ， ，即 ，
原式
．
20．化简求值： ，其中 ．
【解答】解：原式
，
当 时，原式 ．
21．先化简，再求值：，其中 ， ．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
22．先化简，再求值：已知 ， ，试求 的值．
【解答】解：
当 ， 时，
原式
23．化简： ．
【解答】解：原式
．
题型三 实数的探究性问题24．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算
规律．
下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例 ，
特例 ，
特例 ，
特例 （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）应用运算规律，化简： ．
【解答】解：（1）答案为 ；
（2）答案为 为正整数）；
（3）原式
．25．阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ① ；②
，等运算都是分母有理化，根据上述材料：
（1）化简： ； ； ；
（2）求下列式子的值．
．
【解答】解：（1）化简： ； ； ；
故答案为 ； ； ；
（2）原式
．
26．写作业时，小明被一道题难住了：“若 ，求 的值．”
老师给予了必要的方法提示；不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如 ．
，
．
请你根据老师的提示，解决如下问题：
（1）计算： ；（2）若 ，求 的值．
【解答】解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ，
，
．
27．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 ， ，使 ， ，即 ，
，则有： ．
（1）根据上述方法化简：
① ；
② ．
（2）已知 ，则 ．
【解答】解：（1）①原式 ；
②原式 ；
（2） ，
，，
即 ，
，
．
故答案为 ．
28．阅读下列解题过程：
；
；
；
解答下列各题
① ；
②观察下面的解题过程，请直接写出式子 ．
③利用这一规律计算： ．
【解答】解：①原式 ；
故答案为 ；
② ；
故答案为 ；③原式
．
29．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中 、 、 、 均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ；
（2）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
（3）化简： ．
【解答】解：（1） ， ，
， ．
故答案为 ， ；
（2） ， ，
， ，
、 均为正整数，
、 或 ， ，
或7；（3） ，
则
．
30．观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： ；
（2）求 的值；
（3）请直接写出 的结果．
【解答】解：
（1）依题意：接下来的第4个算式为：
故答案为（2）原式
（3）
原式
31．阅读下列解题过程：
；
；
；
解答下列各题
① ； ；
②观察下面的解题过程，请直接写出式子 ．
③利用这一规律计算：
．【解答】解：① ；
；
② ．
