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专题 07 生活中的轴对称必刷常考题
选择题必练
1．（2020秋•南宁期末）下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，
其中轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021春•焦作期末）如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中不
一定成立的是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E
C．AB∥DF D．线段AD被MN垂直平分
3．（2021春•贵阳期末）如图，在△ABC中，D是AB垂直平分线上一点，∠CAD＝80°，
∠C＝50°，则∠B的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°4．（2021春•砀山县期末）已知，如图，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，
△ACD的周长是13，BC＝8，则AC的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2021春•莲湖区期末）如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分
AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
6．（2021春•济宁期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
7．（2021春•东坡区校级期末）如图1， ABCD的对角线交于点O， ABCD的面积为
120，AD＝20．将△AOD、△COB合并▱（A与C、D与B重合）形成如▱图2所示的轴对
称图形，则MN+PQ＝（ ）
A．29 B．26 C．24 D．258．（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路 l旁修建一座移动信号发射塔．按
照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
9．（2020秋•武昌区期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点
为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对
称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
10．（2021春•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、
OA的对称点P ，P ，连接P P 交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的
1 2 1 2
度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°11．（2020秋•上城区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的
坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
12．（2020•巨野县模拟）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中
心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚
圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
13．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则
PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．2
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD ＝
15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）A．15 B．30 C．45 D．60
16．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三
条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
17.（2020秋•射阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
18．（2021春•建平县期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知 A，B
是两格点，如果点C也是格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，那么点C的
个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
19．（2020秋•船营区期末）平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴
上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
20．（2020秋•费县期末）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）A．9 B．11 C．15 D．18
21（2021春•沂源县期末）如图，△ABC为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使AD
＝AO，则∠DOB的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
22．（2020秋•夏津县期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点
M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
23．（2020•隆化县二模）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在A
处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在
北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航程AD的距离是（
）A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
填空题必练
24．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．
分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
25．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的
面积为 ．
解答题必练
26．（2021春•市中区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单
位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A B C ；
1 1 1
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A B C ；
2 2 2
（3）在直线m上画一点P，使得|PA﹣PC |的值最大．
227．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB两边的距
离相等．
28．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与
EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．29．（2021春•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、
AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
31．（2020秋•中山区期末）阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，
∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截
取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证．
（1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD；
（2）参考小明的方法解决下面的问题；如图 3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝
∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由．32．（2020秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长
线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
33．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上
一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．34．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，
∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等α边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α专题 07 生活中的轴对称必刷常考题
选择题必练
1．（2020秋•南宁期末）下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，
其中轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以是轴对称图形；
故选：A．2．（2021春•焦作期末）如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论中不
一定成立的是（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E
C．AB∥DF D．线段AD被MN垂直平分
【答案】C
【解答】解：A、AB＝DE，成立，不符合题意；
B、∠B＝∠E，成立，不符合题意；
C、AB与DF不一定平行，不成立，符合题意；
D、线段AD被MN垂直平分，成立，不符合题意．
故选：C．
3．（2021春•贵阳期末）如图，在△ABC中，D是AB垂直平分线上一点，∠CAD＝80°，
∠C＝50°，则∠B的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵∠CAD＝80°，∠C＝50°，
∴∠ADC＝50°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝ ∠ADC＝25°．
故选：A
4．（2021春•砀山县期末）已知，如图，DE垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点D，
△ACD的周长是13，BC＝8，则AC的长是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵△ACD的周长是13，
∴AC+DA+CD＝13，
∴AC+DB+CD＝AC+BC＝13，
∵BC＝8，
∴AC＝5，
故选：B．
5．（2021春•莲湖区期末）如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分
AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝20°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝25°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°，
故选：B．
6．（2021春•济宁期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上【答案】B
【解答】解：∵PA＝PB，
∴P点在在边AB的垂直平分线上，
故选：B．
7．（2021春•东坡区校级期末）如图1， ABCD的对角线交于点O， ABCD的面积为
120，AD＝20．将△AOD、△COB合并▱（A与C、D与B重合）形成如▱图2所示的轴对
称图形，则MN+PQ＝（ ）
A．29 B．26 C．24 D．25
【答案】B
【解答】解：如图，连接PQ，
则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴MN＝AD＝20， ，
∴PQ＝6，
又MN＝20，
∴MN+PQ＝26，
故选：B．
8．（2020秋•甘井子区期末）如图，电信部门要在公路 l旁修建一座移动信号发射塔．按
照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）B．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【答案】C
【解答】解：
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
故选：C．
9．（2020秋•武昌区期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点
为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对
称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】A
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故选：A．
10．（2021春•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、
OA的对称点P ，P ，连接P P 交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的
1 2 1 2
度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P ，P点关于OA的对称点是P ，
1 2
∴PM＝P M，PN＝P N，∠P ＝∠P PN，∠P ＝∠P PM，
1 2 2 2 1 1
∵∠AOB＝40°，
∴∠P PP ＝140°，
2 1
∴∠P +∠P ＝40°，
1 2
∴∠PMN＝∠P +∠MPP ＝2∠P ，∠PNM＝∠P +∠NPP ＝2∠P ，
1 1 1 2 2 2
∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故选：B．
11．（2020秋•上城区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标
是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【解答】解：点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：A．
12．（2020•巨野县模拟）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中
心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚
圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】B
【解答】解：如图：小莹放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．
故选：B．
13．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则
PQ的最小值为（ ）A． B．2 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PB＝PA＝3，
∴PQ的最小值为3．
故选：C．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD ＝
15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD ＝ AB•DE＝ ×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴△ABD的面积＝ AB•DE＝ ×15×4＝30．
故选：B．
16．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三
条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选：D．
17.（2020秋•射阳县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【答案】A
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．
故选：A．
18．（2021春•建平县期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知 A，B
是两格点，如果点C也是格点，且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，那么点C的
个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解答】解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：B．
19．（2020秋•船营区期末）平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．
∴AB＝ ，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，
0）、（2，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足
△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的
C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：C．
20．（2020秋•费县期末）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、
∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
【答案】C
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝7，AC＝8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝
15．故选：C．
21（2021春•沂源县期末）如图，△ABC为等边三角形，BO为中线，延长BA至D，使AD
＝AO，则∠DOB的度数为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BO是中线，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∠DBO＝30°．
又∵AD＝AO，
∴∠D＝∠AOD．
又∵∠BAO＝∠D+∠AOD，
∴∠D＝∠AOD＝ ∠BAO＝30°．
∴∠D＝∠DBO＝30°．
∴∠DOB＝180°﹣30°﹣30＝120°．
故选：B．
22．（2020秋•夏津县期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点
M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【答案】A
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝ OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4（cm），
∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），
故选：B．
6．
故选：A．
23．（2020•隆化县二模）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方航行，在A
处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在
北偏西60°方向上，当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，则轮船航程AD的距离是（
）
A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
【答案】C【解答】解：由题意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝BA＝2×20＝40，
∵∠CDB＝90°，
∴BD＝ BC＝20，
∴AD＝BD+AB＝20+40＝60，
则轮船航程AD的距离是60海里．
故选：C．
填空题必练
24．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．
分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
【答案】6
【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．
25．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的
面积为 ．
【答案】16
【解答】解：过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，
，
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，
∴∠C＝∠ABC＝15°，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC＝8，
∴BD＝ AB＝4，
∴△ABC的面积为： ．
故答案为16．
解答题必练
26．（2021春•市中区期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单
位，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A B C ；
1 1 1
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A B C ；
2 2 2
（3）在直线m上画一点P，使得|PA﹣PC |的值最大．
2【答案】（1）略 （2）略 （3）略
【解答】解：作图如下：
（1）如图，△A B C ．
1 1 1
（2）如图，△A B C ．
2 2 2
（3）如图，点P即为所求．
27．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC＝PD，且P到∠AOB两边的距
离相等．
【解答】解：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．
28．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与
EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．29．（2021春•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、
AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1） 略 （2）∠DEF＝70°
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°30．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于
F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．31．（2020秋•中山区期末）阅读下面材料小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，
∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，求证：BC＝AB+2BD．小明利用条件AD⊥BC在CD上截
取DH＝BD，如图2，连接AH既构造了等腰△ABH，又得到BH＝2BD，从而命题得证．
（1）根据阅读材料证明BC＝AB+2BD；
（2）参考小明的方法解决下面的问题；如图 3在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABD＝
∠BCE，∠ABC＝∠DCE，请探究AD与BE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） 略 （2）略
【解答】解：（1）∵DH＝BD，AD⊥BC，
∴AB＝AH，∠ABH＝∠AHB，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AHB＝2∠C，
∵∠AHB＝∠C+∠HAC，
∴∠HAC＝∠C，
∴AH＝HC
∴AB＝HC，
∴BC＝CH+BH＝AB+2BD；
（2）BE＝2AD．理由如下：
延长DA至F，使AF＝AD，连接BF．
设∠ABD＝∠BCE＝x，∠ABC＝∠DCE＝y，
∵AF＝AD，∠BAC＝90°，∴AB垂直平分DF，
∴BF＝BD，
∴∠1＝∠DBA＝x，∠FBC＝∠1+∠ABC＝x+y，
∠ACB＝∠DCE+BCE＝x+y，
∴∠FBC＝∠ACB，
∴BF＝CF，
∵BF＝BD，
∴BD＝FC
∵∠2＝∠3+x＝∠ABC＝y＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴BE+DE＝CF＝CD+DF＝CD+2AD，
∴BE＝2AD．
32．（2020秋•潮州期末）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长
线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
【答案】（1） 略 （2）16【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝ ，则∠BDC＝5 ，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α ， α
∴6 +60°﹣ +60°﹣ ＝α180°，
∴ α＝15°，α α
∴α∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝ EC＝ 8＝4，
∴△EDC的面积＝ EC•DH＝ 8×4＝16．
33．（2021•路南区三模）如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上
一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．【答案】（1） ∠2＝∠1＝50° （2）∠1＝∠3
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）连接DF，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠3．
34．（2020秋•呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，
∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等α边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
【答案】（1）略 （2） △AOD是直角三角形．（3）当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【解答】证明α：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC， ＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣α∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝ ，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣α∠COD＝360°﹣110°﹣ ﹣60°＝190°﹣ ，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝ ﹣60°， α α
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠αADO＝180°﹣（190°﹣ ）﹣（ ﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣ ＝ ﹣60°， α α
∴ ＝125°． α α
②α当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣ ＝50°，
∴ ＝140°． α
③α当∠ADO＝∠OAD时，
﹣60°＝50°，
α∴ ＝110°．
综α上所述：当 ＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
α
