文档内容
专题 03 图形的平移与旋转
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
考点1 平移
一、平移的相关概念
1、平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的离，这样的图形运动称为平移。
2、平移的条件
（1）方向（任意方向）（ 2）距离
3、平移的实质
图形上的每一个点都沿着同一个方向移动了相同的距离。
4、平移的性质
平移改变了图形的位置， 但不改变图形的形状和大小。 这说明平移前后的两
个图形是全等的，因此得到了如下性质：
（1）平移前后的两个图形对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相
等。
（2）平移前后的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
（3）平移前后的两个图形对应角相等。
5、平移作图的条件
（1）图形原来的位置
（2）平移的方向
（3）平移的距离
考点2 旋转
一、旋转的相关概念
1、旋转的定义
在平面内， 将一个图形绕着某一个定点按某个方向转动一个角度，2、旋转的三要素
1）旋转中心：旋转时的定点称为旋转中心。
2）旋转方向：顺时针、逆时针
3）旋转角：转动的角称为旋转角。
【说明】 ①如图 1 所示，△ ABO 绕点 O 顺时针旋转得到△ CDO ，则：
点 A 的对应点是点C ，点 B 的对应点是点D ；
线段 OA 的对应线段是线段OC ；
线段 OB 的对应线段是线段OD ；
线段 AB 的对应线段是线段CD ；
∠A 的对应角是∠C ；∠B 的对应角是∠D ；
∠ AOB 的对应角是∠COD ；
旋转中心是点O；旋转的角是∠ AOC 或 ∠BOD 。
②如图 2 所示，△ ABC 绕点 O 顺时针旋转得到△ DEF ，则：
点 A 的对应点是点D ，
点 B 的对应点是点E ；
点 C 的对应点是点F ；
线段 AB 的对应线段是线段DE ；
线段 BC 的对应线段是线段EF
线段 AC 的对应线段是线段DF ；
∠ A 的对应角是∠D ；
∠ B 的对应角是∠E ；
∠ C 的对应角是∠F ；
旋转中心是点 O；旋转的角是 ∠ AOD 或 ∠ BOE 或 ∠COF 。
③旋转中心在旋转过程中保持不动，旋转中心可以在图形上，可以在图形外，
还可以在图形内。
④旋转角的角度范围为0°＜ x＜ 360 °。3、旋转的实质
图形上的每一个点都绕着旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。
4、旋转的性质
旋转改变了图形的位置， 但不改变图形的形状和大小， 这
说明旋转前后的两个图形是全等的，因此得到如下性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等。
2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等。
3）对应线段相等，对应角相等。
5、旋转作图的条件
（1）原图形的位置 （2）旋转中心（3）旋转方向（4）旋转角度
考点3 中心对称
1、中心对称的概念
如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做它们的对称中心。
【说明】中心对称是对两个图形来说的，它表示两个图形之间的对称关系。
2、中心对称的性质
因为成中心对称的两个图形能够重合，所以这两个图形是全等的，因此有如下
性质：
1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平
分。
2）成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在一条直线上）且相等。
3）成中心对称的两个图形中，对应角相等。
3、确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法
1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点即为对称中心。
2）连接任意两对对称点，两条线段的交点即为对称中心。
二、中心对称图形1、中心对称图形的概念
把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【说明】中心对称图形是对一个图形来的说的。
2、中心对称图形的性质
1）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
2）任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。
3、作中心对称图形的步骤
1）确定对称中心
2）找出所给图形中的关键点
3）作出这些关键点关于对称中心的对称点
4）按原图顺序连接所作的对称点，完成中心对称图形。
【经典题型】
考点1图形的平移
【典例1】如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，
HD＝2，CF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【变式1-1】下列生活现象中，属于平移的是（ ）
A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉
C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动
【变式1-2】如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝3cm，则平移的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式1-3】如图所示，要在竖直高AC为3米，水平宽BC为12米的楼梯表面铺地毯，地
毯的长度至少需要 米．
【变式1-4】如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且互相垂直的
道路，剩余部分进行绿化，则绿化面积共有 m2．
【典例2】在平面直角坐标系中将M（4，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，
则移动后的点的坐标是（ ）
A．（1，6） B．（1，4） C．（7，4） D．（7，6）
【变式2-1】在平面直角坐标系中，把点（2，﹣1）向左平移1个单位后所得的点的坐标是
（ ）
A．（2，0） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（3，﹣1）
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），将
线段AB平移至A'B'，那么a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-3】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到的点坐
标为（ ）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
考点2 旋转的性质
【典例3】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，若∠AOB＝45°，∠AOD＝
110°，则旋转角度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．110°
【变式3-1】如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC
的延长线上，则∠BB'C'的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到
△AB'C'．若点B'刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．16° C．15° D．14°
【变式3-3】如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点
F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【典例4】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（
）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转
得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋
转得到△A'BC'，使点C恰好落在A'B上，则A'C的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时
针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（ ）
A．10 B．2 C．2 D．4
考点3 中心对称【典例5】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（
）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（
）
A． B．
C． D．
【变式5-2】用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是
甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【变式5-3】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝
90°，则AE的长是 ．
考点4 关于原点对称点的性质
【典例6】若点P的坐标为（3，﹣5），其关于原点对称的点P'的坐标为（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
【变式6-1】在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的
值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【变式6-2】已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的
坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【变式6-3】已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为
（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
考点5 关于旋转作图问题
【典例7】在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格
点上．
（1）画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转 90°后得到的△AB C ；若连接 CC ，则
1 1 1
△ACC 是怎样的三角形？
1
（2）画出△A B C ，使△A B C 和△AB C 关于点O成中心对称；
2 2 2 2 2 2 1 1
（3）指出如何平移△AB C ，使得△A B C 和△AB C 能拼成一个长方形．
1 1 2 2 2 1 1【变式7-1】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方
形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答
下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度居所得到的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D E F ；
1 1 1
（3）△A B C 和△D E F 组成的图形是中心对称图形吗？ ，它的对称中心为
1 1 1 1 1 1
．
考点6 平移对称有关作图问题
【典例8】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B
（﹣2，4），C（﹣1，1），若把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位
长度得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
（1）写出A′，B′，C′的坐标：
A′（ ， ）B′（ ， ）C′（ ， ）；
（2）在图中画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
【变式8-1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）平移△ABC，使点B平移到对应点B'（﹣3，0），画出△A'B'C'；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内对应点P'的坐标为
；
（3）求△ABC的面积．
【变式8-2】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，点C坐标为
（1，2）．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）将△ABC先向上平移1个单位长度，再左平移2个单位长度，得到△A'B'C'．请写
出△A'B'C'的三个顶点坐标；
（3）求△ABC的面积．
【变式8-3】如图所示的三种拼块A，B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位．
现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平
移、旋转，或翻转．
（1）若用1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为
25 个单位．
（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分
别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A，B，C三种拼
块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．
考点7 关于旋转的几何综合问题
【典例9】如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD
与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为 ；∠AOB度数为 ；
（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中
的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【变式 9-1】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转得到
△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【变式9-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转
得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．【变式9-3】如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，CE＝5，
CD＝2．
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ECD的度数；
（3）求AC的长．
专题 03 图形的平移与旋转
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
考点1 平移一、平移的相关概念
1、平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的离，这样的图形运动称为平移。
2、平移的条件
（1）方向（任意方向）（ 2）距离
3、平移的实质
图形上的每一个点都沿着同一个方向移动了相同的距离。
4、平移的性质
平移改变了图形的位置， 但不改变图形的形状和大小。 这说明平移前后的两
个图形是全等的，因此得到了如下性质：
（1）平移前后的两个图形对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相
等。
（2）平移前后的两个图形对应线段平行（或在同一条直线上）且相等。
（3）平移前后的两个图形对应角相等。
5、平移作图的条件
（1）图形原来的位置
（2）平移的方向
（3）平移的距离
考点2 旋转
一、旋转的相关概念
1、旋转的定义
在平面内， 将一个图形绕着某一个定点按某个方向转动一个角度，
2、旋转的三要素
1）旋转中心：旋转时的定点称为旋转中心。
2）旋转方向：顺时针、逆时针
5）旋转角：转动的角称为旋转角。
【说明】 ①如图 1 所示，△ ABO 绕点 O 顺时针旋转得到△ CDO ，则：
点 A 的对应点是点C ，点 B 的对应点是点D ；
线段 OA 的对应线段是线段OC ；线段 OB 的对应线段是线段OD ；
线段 AB 的对应线段是线段CD ；
∠A 的对应角是∠C ；∠B 的对应角是∠D ；
∠ AOB 的对应角是∠COD ；
旋转中心是点O；旋转的角是∠ AOC 或 ∠BOD 。
②如图 2 所示，△ ABC 绕点 O 顺时针旋转得到△ DEF ，则：
点 A 的对应点是点D ，
点 B 的对应点是点E ；
点 C 的对应点是点F ；
线段 AB 的对应线段是线段DE ；
线段 BC 的对应线段是线段EF
线段 AC 的对应线段是线段DF ；
∠ A 的对应角是∠D ；
∠ B 的对应角是∠E ；
∠ C 的对应角是∠F ；
旋转中心是点 O；旋转的角是 ∠ AOD 或 ∠ BOE 或 ∠COF 。
③旋转中心在旋转过程中保持不动，旋转中心可以在图形上，可以在图形外，
还可以在图形内。
④旋转角的角度范围为0°＜ x＜ 360 °。
3、旋转的实质
图形上的每一个点都绕着旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。
4、旋转的性质
旋转改变了图形的位置， 但不改变图形的形状和大小， 这
说明旋转前后的两个图形是全等的，因此得到如下性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等。
2）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，它们都相等。3）对应线段相等，对应角相等。
5、旋转作图的条件
（1）原图形的位置 （2）旋转中心（3）旋转方向（4）旋转角度
考点3 中心对称
1、中心对称的概念
如果把一个图形绕着某一点旋转 180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做它们的对称中心。
【说明】中心对称是对两个图形来说的，它表示两个图形之间的对称关系。
2、中心对称的性质
因为成中心对称的两个图形能够重合，所以这两个图形是全等的，因此有如下
性质：
1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平
分。
2）成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在一条直线上）且相等。
3）成中心对称的两个图形中，对应角相等。
3、确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法
1）连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点即为对称中心。
2）连接任意两对对称点，两条线段的交点即为对称中心。
二、中心对称图形
1、中心对称图形的概念
把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【说明】中心对称图形是对一个图形来的说的。
2、中心对称图形的性质
1）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。2）任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。
3、作中心对称图形的步骤
1）确定对称中心
2）找出所给图形中的关键点
3）作出这些关键点关于对称中心的对称点
6）按原图顺序连接所作的对称点，完成中心对称图形。
【经典题型】
考点1图形的平移
【典例1】如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，
HD＝2，CF＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【解答】解：∵△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△ABC的面积＝△DEF的面积，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB＝6，BE＝CF＝3，
∵AB＝6，DH＝2，
∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，
∴阴影部分的面积＝ ×（4+6）×3＝15．
故选：B．
【变式1-1】下列生活现象中，属于平移的是（ ）A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉
C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动
【答案】B
【解答】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移，故本
选项错误；
B．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移，故本选项正确；
C．把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；
故选：B．
【变式1-2】如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝3cm，则平移的距离为
（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【解答】解：△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若BE＝3cm，
则平移的距离为3cm，
故选：C．
【变式1-3】如图所示，要在竖直高AC为3米，水平宽BC为12米的楼梯表面铺地毯，地
毯的长度至少需要 米．
【答案】15
【解答】解：由题意可得：
地毯的水平长度＝BC＝12米，地毯的垂直长度＝AC＝3米，
∴地毯的长度至少需要：12+3＝15米，
故答案为：15．
【变式1-4】如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且互相垂直的
道路，剩余部分进行绿化，则绿化面积共有 m2．【答案】 48
【解答】解：由题意得：
（9﹣1）×（7﹣1）＝8×6＝48（m2），
∴绿化面积共有48m2，
故答案为：48．
【典例2】在平面直角坐标系中将M（4，5）先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，
则移动后的点的坐标是（ ）
A．（1，6） B．（1，4） C．（7，4） D．（7，6）
【答案】B
【解答】解：平移后的坐标为（4﹣3，5﹣1），即坐标为（1，4），
故选：B．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，把点（2，﹣1）向左平移1个单位后所得的点的坐标是
（ ）
A．（2，0） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（3，﹣1）
【答案】C
【解答】解：平移后的坐标为（2﹣1，﹣1），即坐标为（1，﹣1），
故选：C．
【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0），（0，1），将
线段AB平移至A'B'，那么a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：根据题意：A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（0，1），A′的坐标为（3，b），B′（a，2），即线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段
A′B′；
则：a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
a+b＝2．
故选：A．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到的点坐
标为（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【答案】D
【解答】解：将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到的点坐标为（﹣3+5，﹣
2），即（2，﹣2），
故选：D．
考点2 旋转的性质
【典例3】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，若∠AOB＝45°，∠AOD＝
110°，则旋转角度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．110°
【答案】C
【解答】解：将△AOB绕着点 O顺时针旋转，得△COD，∠AOB＝45°，∠AOD＝
110°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝110°﹣45°＝65°，
∴旋转角度数是65°，
故选：C．
【变式3-1】如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，若点B'在线段BC
的延长线上，则∠BB'C'的度数为（ ）A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【解答】解：根据旋转的性质可知∠BAB'＝110°，且AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'．
∵点B'在线段BC的延长线上，
∴∠BB'A＝∠B＝35°．
∴∠AB'C'＝35°．
∴∠BB'C'＝∠BB'A+∠AB'C'＝35°+35°＝70°．
故选：B．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝126°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到
△AB'C'．若点B'刚好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18° B．16° C．15° D．14°
【答案】A
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣126°＝54°，
∴∠C＝18°，
∴∠C'＝∠C＝18°，
故选：A．【变式3-3】如图，△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转30°所得，边DE，AC相交于点
F．若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【解答】解：∵将△ABC顺时针旋转30°得到△DEC，
∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝30°，
∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝65°，
故选：D．
【典例4】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（
）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE＝3cm，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝3cm，
故选：B．
【变式4-1】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转
得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，CD的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵AB＝5，BC＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3．
故选：A．
【变式4-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋
转得到△A'BC'，使点C恰好落在A'B上，则A'C的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝ ＝4，
由旋转可知：A′B＝AB＝5，B′C＝BC＝4，
∴A'C＝A′B﹣BC′＝5﹣4＝1．
故选：A．
【变式4-3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时
针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（ ）A．10 B．2 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝10，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，
∴AB′＝AB＝6，B'C'＝BC＝8，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，
∴B'C＝AC﹣AB'＝4，∠C'B'C＝90°，
在Rt△B'C'C中，CC'＝ ＝ ＝4 ，
故选：D．
考点3 中心对称
【典例5】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（
）
A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故A，B，C正确，
故选：D．
【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（﹣ ，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
故选：D．
【变式5-2】用一条直线m将如图1的直角铁皮分成面积相等的两部分．图2、图3分别是
甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】C【解答】解：如图：图形2中，直线m经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所
以两旁的图形的面积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分
成了面积相等的两部分，即甲做法正确；
图形3中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都
是大正方形面积的一半﹣添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面
积相等的两部分，即乙做法正确．
故选：C．
【变式5-3】如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝
90°，则AE的长是 ．
【答案】2
【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝ ＝2 ，
故答案为2
考点4 关于原点对称点的性质
【典例6】若点P的坐标为（3，﹣5），其关于原点对称的点P'的坐标为（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
【答案】B
【解答】解：∵点P的坐标为（3，﹣5），
∴点P关于原点对称的点的坐标为：（﹣3，5）．
故选：B．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：∵点A（1，﹣2）和点B（m，2）关于原点对称，
∴m＝﹣1，
故选：D．
【变式6-2】已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的
坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【答案】D
【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴点M（﹣1，2），
∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
【变式6-3】已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为
（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【答案】B
【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，
∴
解得 ．
故选：B．
考点5 关于旋转作图问题
【典例7】在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格
点上．
（1）画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转 90°后得到的△AB C ；若连接 CC ，则
1 1 1
△ACC 是怎样的三角形？
1（2）画出△A B C ，使△A B C 和△AB C 关于点O成中心对称；
2 2 2 2 2 2 1 1
（3）指出如何平移△AB C ，使得△A B C 和△AB C 能拼成一个长方形．
1 1 2 2 2 1 1
【答案】略
【解答】解：（1）如图，∵AC＝AC ，∠CAC ＝90°，
1 1
∴△ACC 是等腰直角三角形；
1
（2）如图，△A B C ，即为所求；
2 2 2
（3）答案不唯一．如：
①先将△AB C 向右平移5个单位，然后再向下平移6个单位．
1 1
②先将△AB C 向下平移6个单位，然后再向右平移5个单位．
1 1
③将△AB C 沿着点C 到点A 的方向，平移的距离为C A 的长度单位．
1 1 1 2 1 2
【变式7-1】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方
形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答
下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度居所得到的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D E F ；
1 1 1
（3）△A B C 和△D E F 组成的图形是中心对称图形吗？ ，它的对称中心为
1 1 1 1 1 1
．【答案】略
【解答】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△D E F 即为所求；
1 1 1
（3））△A B C 和△D E F 组成的图形是中心对称图形，它的对称中心为 （﹣1，﹣
1 1 1 1 1 1
1）．
故答案为：是，（﹣1，﹣1）．
考点6 平移对称有关作图问题
【典例8】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B
（﹣2，4），C（﹣1，1），若把△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位
长度得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′．
（1）写出A′，B′，C′的坐标：
A′（ ， ）B′（ ， ）C′（ ， ）；（2）在图中画出平移后的△A′B′C′；
（3）求△A′B′C′的面积．
【答案】略
【解答】解：（1）由平移可得，A'（1，0），B'（3，1），C'（4，﹣2），
故答案为：1，0；3，1；4，﹣2；
（2）平移后的△A'B'C'如图所示．
（3）S△A′B′C′ ＝3×3﹣ ×2×1﹣ ×3×1﹣ ×2×3＝3.5，
∴△A'B'C'的面积为3.5．
【变式8-1】已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）平移△ABC，使点B平移到对应点B'（﹣3，0），画出△A'B'C'；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内对应点P'的坐标为
；
（3）求△ABC的面积．【答案】略
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）∵B（3，﹣4），将点B左移6个单位，上移4个单位顶点点B′（﹣3，0），
∴P'（a﹣6，b+4）；
故答案为：（a﹣6，b+4）；
（3）S△ABC ＝4×4﹣ 2×4﹣ 2×3﹣ 1×4＝7．
【变式8-2】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，点C坐标为
（1，2）．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）将△ABC先向上平移1个单位长度，再左平移2个单位长度，得到△A'B'C'．请写
出△A'B'C'的三个顶点坐标；（3）求△ABC的面积．
【答案】略
【解答】解：（1）A（2，﹣1），B（4，3）；
故答案为（2，﹣1），（4，3）；
（2）如图，△A′B′C′为所作；A′（0，0），B′（2，4），C′（﹣1，3）；
（3）△ABC的面积＝3×4﹣ ×2×4﹣ ×3×1﹣ ×3×1＝5．
【变式8-3】如图所示的三种拼块A，B，C，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单
位的小正方形组成，如编号为A的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平
移、旋转，或翻转．
（1）若用1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，则拼出的正方形的面积为
25 个单位．
（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A种拼块和1个B种拼块，请分
别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A，B，C三种拼
块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．
【答案】略
【解答】解：（1）1个A种拼块，2个B种拼块，4个C种拼块，面积＝3+6+16＝25，
故答案为：25．
（2）图形如图所示：
考点7 关于旋转的几何综合问题
【典例9】如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD
与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为 ；∠AOB度数为 ；
（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中
的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】略
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵△ECD是等边三角形，
∴CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）
＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）
＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）
＝180°﹣（60°+60°）＝60°，
∴∠AOB＝60°，
故答案为：AE＝BD，60°；（2）成立．
证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS ），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
又∵∠ANO＝∠BNC，
∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°．
【变式 9-1】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转得到
△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【答案】略
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝ （180°﹣50°）＝65°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝ ＝ ＝4 ．
【变式9-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，将△ABC绕点B顺时针旋转
得到△DBE，使点C的对应点E恰好落在AB上，求线段AE的长．
【答案】4
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝8，
∴AB＝ ＝10，
由旋转的性质得：BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4．
【变式9-3】如图，点B、C、D在同一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，CE＝5，
CD＝2．
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）求∠ECD的度数；
（3）求AC的长．
【答案】略【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°；
（3）∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣2＝3，
∴AC＝BC＝3．
