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专题05 概率的进步认识
一、单选题
1．掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的意义进行解答即可．
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结
果情况是解决问题的关键．
2．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【解析】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，
故A错误；
B、正确；
C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相
同．
故选：B．
3．从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为 ，则该班女生与男生的人数比是（ ）
A． B． C． D．
1【答案】A
【分析】先设出总人数，利用概率求出女生人数，利用总数-女生人数求出男生人数即可，
【解析】解：设总人数有5x人，
∵随机选取一名学生是女生的概率为 ，
∴女生人数为 人，
∴男生人数为： 人，
∴女生与男生的人数比是 ．
故选A．
【点睛】本题考查频数总数与频率的关系，掌握利用概率估计女生的方法，会求单项式除以单项式求比值
是解题关键．
4．一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子
中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发
生的概率，即可求出答案．
【解析】根据题意可得：箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，共9个球，
从箱子中随机摸出一个球，它是红色球的概率是 ；
故选：C．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率 ．
5．如图，假设可以随意在菱形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
2A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设阴影部分的面积是 ，得出整个图形的面积是 ，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解析】解：设阴影部分的面积是 ，
因该图形是菱形，故整个图形的面积是 ，
故这个点取在阴影部分的概率是： ，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件 ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件 发生的概率．
6．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为
一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）= ．
故选B．
7．学校新开设了A，B，C，D四个社团，如果甲、乙两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么甲
和乙不在同一社团的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与甲和乙不在同一社团的情况，再利
用概率公式即可求得答案．
【解析】列表如下：
∵共有16种等可能的结果，甲和乙不在同一社团的有12种情况，∴甲和乙不在同一社团的概率是：
．
故选A．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
8．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，获得如下数据：
杯口朝
抛掷总次数 杯口朝下 横卧
上
100 0.21 0.38 0.41
200 0.22 0.38 0.40
500 0.22 0.38 0.40
根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是
（ ）
A．0.21 B．0.22 C．0.38 D．0.40
【答案】B
4【分析】经过大量实验，杯口朝上的频率既是概率．
【解析】解：根据表格通过大量实验，杯口朝上的频率为0.22，则估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概
率约是 ，
故选B．
【点睛】本题考查频率估计概率，掌握频率与概率之间的联系是解题的关键．
9．正方形ABCD内，有一个内切圆⊙O．电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点，当点数很多
时，电脑自动统计正方形内的点数a个，⊙O内的点数b个（在正方形边上和圆上的点不在统计中），根
据用频率估计概率的原理，可推得π的大小是（ ）
A．π≈ B．π≈ C．π≈ D．π≈
【答案】B
【分析】根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比，列式求解即可．
【解析】设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，
根据题意得： ≈ ，
则π≈ .
故选B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解落在圆内的概率约等于圆与正方形
的面积的比，难度不大．
10．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图
案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数
（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折
线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
5A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为x cm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长
方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
【解析】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为10cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上： =0.35，
解得：x=3.5，
∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，
能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
二、填空题
11．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是 ．
【答案】
【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【解析】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：
6共有4种出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此至少有
一次正面朝上的概率为
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m种结果，那么事件A的概率
12．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的A、B、C三个队和县区学校的D，E，
F，G，H五个队，如果从A，B，D，E四个队与C，F，G，H四个队中个抽取一个队进行首场比赛，那么首
场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是 ．
【答案】 /0.375
【解析】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，首场比赛出场的两个队都是县区学校队的有6种情况，
∴首场比赛出场的两个队都是县区学校队的概率是： ．
故答案为： .
13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食
物的概率是 ．
7【答案】 ．
【解析】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是 = ．故答案为 ．
考点：列表法与树状图法．
14．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字 ，2；转盘B被三等
分，分别标有数字3，0， ．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数
字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点 落在平面直角坐标系第
二象限的概率是 ．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：列表如下：
2
3
0
由表可知，共有6种等可能，其中点 落在直角坐标系第二象限的有1种，
所以点 落在直角坐标系第二象限的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，
列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形
8图．
15．历史上数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币200次，正面朝上的次数是110次，频率约为 ，则
掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
【答案】 /
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【解析】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在 左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答
本题的关键．
16．甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为
m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足 ，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、
乙两人“心有灵犀”的概率是 .
【答案】 ．
【解析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他们“心有灵犀”的情况，再利用
概率公式求解即可求得答案：
画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，m、n满足 的有10种情况，
∴得出他们“心有灵犀”的概率为： ．
17．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从
这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为 ．（精确到0.01）．
9抽查数 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
【答案】0.96
【分析】根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率，据此求解即可．
【解析】解：根据题意，由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为0.96，
故答案为：0.96．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆
动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定
的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键．
18．若正整数n使得在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n为“本位数”．
例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，任
意抽取一个数，抽到偶数的概率为 ．
【答案】
【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就
是其发生的概率．因此，
∵所有大于0且小于100的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、31、32，共有11个，7
个偶数，4个奇数，
∴P（抽到偶数） ．
三、解答题
19．一个不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．
（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果；
（2）求2个球颜色相同的概率．
10【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用树状图把所有可能情况罗列出来即可．
（2）找出两个颜色相同的事件的个数，再用这个个数除以总共事件的个数．
【解析】（1）如图所示
（2）：一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，
故2个球颜色相同的概率为： = ．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，概率的计算，掌握这些是本题关键．
20．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购
买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，
那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不
愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）= ；（2）选择转转盘对顾客更合算．
【解析】解：（1）∵转盘被均匀分为 份，转动一次转盘获得购物券的有 种情况，
∴转动一次转盘获得购物券概率= ．
（2）因为红色概率= ，黄色概率= ，绿色概率= ， 元，
11∴选择转转盘对顾客更合算．
21．某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、
C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学
去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）12件；（2）作图见解析；（3）
【分析】（1）根据扇形统计图算出C班作品数量占整体的份数，然后再计算整体件数即可；
（2）由第一问知道作品总件数，算出B班件数，画图即可；
（3）画出表格或树状图，然后计算概率即可
【解析】解：（1） （件）
（2）12-2-5-2=3，补充作图如下：
（3）列表如下：
12由列表知，共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的情况有8种，所以恰好抽到一男生一女生的概率为
【点睛】本题考查数据的收集处理，用列表和树状图计算概率等知识点，牢记相关内容是解题关键，
22．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别
写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出
1个小球．
（本题中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母．）
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
【答案】（1）P（1个元音） ；P（2个元音） ；P（3个元音） ；（2）P（3个辅音） ．
【分析】（1）用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可；
（2）用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可．
【解析】根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图（如图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即
A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
13H I H I H I H I H I H I
这些结果出现的可能性相等．
（1）只有1个元音字母的结果（红色）有5种，即 ， ， ， ， ，所以
P（1个元音） ．
有2个元音字母的结果（绿色）有4种，即 ， ， ， ，所以
P（2个元音） ．
全部为元音字母的结果（蓝色）只有1种，即 ，所以
P（3个元音） ．
（2）全是辅音字母的结果共有2种，即 ， ，所以
P（3个辅音） ．
【点睛】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．
23．一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号
为M的衬衫．每包中混入的M号衬衫数见下页表：
M号衬衫数 0 1 4 5 7 9 10 11
包数 7 3 10 15 5 4 3 3
一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率：
（1）包中没有混入M号衬衫；
（2）包中混入M号衬衫数不超过7；
（3）包中混入M号衬衫数超过10．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解析】解：（1）P(没混入M号衬衫)＝ ．
（2）P(混入的M号衬衫数不超过7)＝ ＝ ．
（3）P(混入的M号衬衫数超过10)＝ ．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A
14的概率P（A）= ．根据概率公式分别计算即可．
24．衢州城市形象宣传片《南孔圣地 衢州有礼》已正式发布，此篇历时多个月拍摄，从不同角度向世界
介绍了衢州，现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“衢”、“州”、“有”、“礼”的四个小球，除
汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字是“礼”的概率是多少．
（2）甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法，求出甲取出的两个球上
的汉字恰能组成“衢州”的概率P．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解析】（1）∵分别标有汉字“衢”、“州”、“有”、“礼”的四个小球，
∴从中任取一个球，球上的汉字“礼”的概率是 ；
（2）画树状图如下：
∵共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的有2种结果，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“衢州”的概率P＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
25．成语是我国灿烂文化宝库中一颗璀璨的明珠，具有简洁明快、画龙点睛的特点．如：成语“物美价
廉”形容东西价钱便宜、质量又好．乐乐无返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中准备购买一个金边的
“冰墩墩”作为纪念．已知甲、乙、丙三地相离较远，都可以买到乐乐心仪的同款金边“冰墩墩”；但市
场上这款金边冰墩墩的质量有优、良、合格、不合格，价格有130元、120元、105元、95元、90元、85
元等情况，乐乐认为只要买到优良品质、价格不超过100元的金边冰墩墩，就达到“物美价廉”．
(1)若乐乐打听到甲地所卖的金边冰墩墩质量为优品，因此乐乐决定在甲地购买．试求出乐乐买到“物美价
廉”的金边冰墩墩的概率；
15(2)乐乐认为：没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择到了丙地再购买，能买到“物美价
廉”的金边冰墩墩的概率与（1）中在甲地买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率是一样的，这个想法是
否正确？试说明理由，并列举出乐乐没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择在丙地购买到
“物美价廉”金边冰墩墩的情况．
【答案】(1)
(2)这个想法不正确，理由见解析，
【分析】（1）甲地均为优品，买到每种价格的冰墩墩是等可能的，根据概率公式解答即可；
（2）丙地冰墩墩的相关信息不明，根据列举法求出所有情况，进行计算．
【解析】（1）解：∵买到130元、120元、105元、95元、90元、85元的冰墩墩是等可能的，且95元、
90元、85元的有三种情况，
∴ ；
（2）解：这个想法不正确．列表为：
价格
130元 120元 105元 95元 90元 85元
质量
优 * * *
良好 * * *
合格
不合
格
*表示可以买到“物美价廉”冰墩墩的情况，
∵有24种等可能的情况，其中买到“物美价廉”冰墩墩的情况有6种，
∴在丙地买到“物美价廉”冰墩墩的概率为： ，
∵ ，
∴这个想法是不正确．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
26．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：
16①棋盘为正五边形 ．一跳棋棋子从点 开始按照逆时针方向起跳．从点 跳到点 为 步．从点
跳到点 为 步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：
②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点 ，就算完成了一次操作：
③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点 ，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位
置，不论是否回到点 ．都算完成了一次操作．
（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到 点的概率为___．
（2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到 点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过
程）
【答案】 ；
【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；
（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.
【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，
其中，掷出5时可以回到点A，
∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到 点的概率为 ；
（2）若要经一次操作， 使得棋子跳回到 点，
则①第一次就掷出5，
②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，
画树状图如下：
17共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到 点的情况有7种，
∴经一次操作， 使得棋子跳回到 点的概率为 .
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要
求的情况数.
18
