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专题 03 图形的平移与旋转必刷压轴题
选择题必练
1．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段
ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝ DM＝ x，
而EM+ x＝2，
∴EM＝﹣ x+2，
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，
易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣ x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（﹣ x+2）2+（2+x）2＝ （x+ ）2+4+2 ，
此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝ x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（ x+2）2+（2﹣x）2＝ （x﹣ ）2+4+2 ，
当x＝ 时，AF2有最小值4+2 ，
∴AF的最小值为 ＝ +1．
解法二：过点A作AJ⊥BC于J，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G，过点E作
EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，过点A作AH⊥FG于H．
证明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM＝ ，推出点F的运动轨迹是直线FG，
当AF⊥FG时，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1+ ．
故选：D．2．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在
绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM
＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，
正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF（AAS），∴OE＝OF，PE＝PF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，
∴S△PEM ＝S△PNF ，
∴S四边形PMON ＝S四边形PEOF ＝定值，故④正确，
∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以
MN的长度是变化的，故③错误，
故选：B．
3．如图，边长为 24的等边三角形 ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接
MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段
HN长度的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
【答案】B
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝ AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝ ×60°＝30°，CG＝ AB＝ ×24＝12，
∴MG＝ CG＝ ×12＝6，
∴HN＝6，
故选：B．
4．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕
点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（ ）A． ﹣1 B． C． D．2
【答案】A
【解答】解：如图，过点 C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到
CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．
∵∠DCE＝∠KCH＝90°，
∴∠DCK＝∠ECH，
∵CD＝CE，CK＝CH，
∴△CKD≌△CHE（SAS），
∴∠CKD＝∠H＝90°，
∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，
∴四边形CKJH是矩形，
∵CK＝CH，
∴四边形CKJH是正方形，
∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，
在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，
∴CK＝BC•sin60°＝ ，BK＝BC•cos60°＝1，
∴KJ＝CK＝
∴BJ＝KJ﹣BK＝ ﹣1，
∴BE的最小值为 ﹣1，
补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时
最小．
故选：A．
5．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如
图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝ AP＝ ，PF＝ AP＝ ．
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+ ）2+（ ）2＝25+12 ．
则△ABC的面积是 •AB2＝ •（25+12 ）＝ ．
故选：A．6．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心
逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋
转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′ ＝6+3 ；
⑤S△AOC +S△AOB ＝6+ ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】A
【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO ′＝S△AOO′+S△OBO′ ＝ ×3×4+ ×42＝6+4 ，
故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″
点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC +S△AOB ＝S四边形AOCO″ ＝S△COO″+S△AOO″ ＝ ×3×4+ ×32＝6+ ，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选：A．
7．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点
C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝DE＝ ，
故选：D．
8．如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG
绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（ ）cm．
A．3 B．2 C．4 ﹣1 D．3
【答案】D
【解答】解：如图，连接AF，CF，AC．∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，
∴∠B＝∠G＝90°，AB＝BC＝4cm，AG＝GF＝1cm，
∴AF＝ ＝ ＝ ，AC＝ ＝ ＝4 ，
∵CF≥AC﹣AF，
∴CF≥3 ，
∴CF的最小值为3 ，
故选：D．
9．如图等边△ABC中，点D，E为线段BC、AC上动点且BD＝CE，连接AD、BE交于点
F，连接CF，下面结论：①△ABD≌△BCE；②∠AFB＝120°；③若BD＝CD，则FA
＝FB＝FC；④若∠AFC＝90°，则AF＝3BF．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
在△ABD和△BCE中， ，∴△ABD≌△BCE（SAS）；故①正确；
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC，
∴∠BFD＝∠ABC＝∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，故②正确；
∵BD＝CD，
∴直线AD是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
同理AF＝CF，
∴FA＝FB＝FC，故③正确；
将△ABF绕A点逆时针旋转60°得到：△ACH，
延长BE至H，使FH＝AF，连接AH、CH，
由（1）知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE，
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FAH＝60°，AF＝AH，
∴∠BAC＝∠FAH＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，
即∠BAF＝∠CAH，
在△BAF和△CAH中，
∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAH，AF＝AH，
∴△BAF≌△CAH（SAS），
∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF；
又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠ABF＝∠CAF，
∴∠ACH＝∠CAF，∴AF∥CH，
∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，
∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，
∴FH＝2CH，
∴AF＝2BF，故④错误；
故选：C
填空题必练
10．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，
垂足为点E，连接BF，CE，且BC＝2．下面四个结论：
①BF＝ ；
②∠CBF＝45°；
③∠CED＝30°；
④△ECD的面积为 ，
其中正确的结论有 ．
【答案】①②④．
【解答】解：∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴BF＝ BC＝2 ，∠CBF＝45°，所以①②正确；
∵直线DF垂直平分AB，
∴FA＝FB，BE＝AE，
∴∠A＝∠ABF，
而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，
∴∠A＝22.5°，∵CE为斜边AB上的中线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；
作EH⊥BD于H，如图，
∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CD＝CA＝2+2 ，
∵点E为AB的中点，
∴EH＝ AC＝ +1，
∴△ECD的面积＝ •（ +1）•（2+2 ）＝2 +3，所以④正确．
故答案为①②④．
11．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝
4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，
下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断
（1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP B；
1
（2）试判断△AP P的形状，并说明理由；
1
（3）试判断△BP P的形状，并说明理由；
1
（4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝ ．
【解答】解：（1）如图，△AP B为所作；
1（2）连接PP ，如图，
1
△AP P为等边三角形．理由如下：
1
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP B，
1
∴AP ＝AP，∠PAP ＝60°，
1 1
∴△AP P为等边三角形；
1
（3）△BP P为直角三角形．
1
理由如下：
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP B，
1
∴BP ＝PC＝5，
1
∵△AP P为等边三角形，
1
∴PP ＝AP＝3，
1
∵PP 2+PB2＝BP 2，
1 1
∴△BP P为直角三角形，∠BPP ＝90°；
1 1
（3）∵△AP P为等边三角形，
1
∴∠APP ＝60°，
1
而∠BPP ＝90°；
1
∴∠AP B＝90°+60°＝150°，
1
∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP B，
1
∴∠BPC＝∠AP B＝150°．
1
故答案为150°．
12．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），
如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐
标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接
BC，BD，如图2所示．若S△BCD ＝7（S△BCD 表示三角形BCD的面积），求点C、D的
坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使 ＝ （S△PCD 表示三角形
PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，
∴a＝﹣5，b＝4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），
连接OD，
S△BCD ＝S△BOC +S△COD ﹣S△BOD
＝ OB×OC+ OC×2﹣ OB×y＝7，
∴y＝2，
∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），
∴PC＝|4﹣m|，∵ ＝ ，
∴ |4﹣m|×2＝ ×7，
∴|4﹣m|＝ ，
∴m＝﹣ 或m＝ ，
∴存在点P，其坐标为（0，﹣ ）或（0， ）．
13．已知：BC∥OA，∠B＝∠A＝120°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，求证：OB∥AC；
（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，则
∠EOC的度数是 ；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，其它条件不变，如图3，则∠OCB：∠OFB
的值是 ．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠B＝∠A，
∴∠B+∠C＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵BC∥OA，∠B＝∠A＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵∠FOC＝∠AOC，且OE平分∠BOF，
∴∠EOF＝ BOF，∠COF＝ ∠AOF，
∴∠EOC＝ ∠AOB＝30°，
故答案为：30°；（3）∵BC∥OA，
∴∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠AOC：∠AOF＝1：2，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2．
故答案为：1：2．
14．已知，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC＝6．
（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP＝ 3 时，四边
形BCDP是矩形；
（2）将点B绕点E逆时针旋转．
①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF＝ °，求证：△ABF是直角三
角形； α
②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG＝90°，求△DEG的面积．
【解答】解：（1）∵四边形BCDP是矩形，
∴DP＝BC＝6，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE＝ BC＝3，
∴EP＝6﹣3＝3，
故答案为：3；
（2）①∵点E是边AB的中点，
∴AE＝BE，
∵根据旋转的性质可得，BE＝EF，
∴BE＝EF＝AE，在△BEF中，∠BEF＝ °，可得∠EBF＝∠BFE＝ （180°﹣ °）＝90°﹣ °，
α α α
在△AEF中，可得∠EAF＝∠AFE＝ ∠FEB＝ °，
α
∴∠BFE+∠AFE＝90°﹣ °+ °＝90°，
∴△ABF是直角三角形； α α
②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∵∠C＝90°，EK⊥BC，GM⊥DE，
∴∠M＝∠EKB＝90°，EK∥DC，
∴∠MEK＝∠EDC＝90°，
∴∠MEB+∠BEK＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠GEB＝90°，
∴∠GEM+∠MEB＝90°，
∴∠GEM＝∠BEK，
∵将点B绕点E逆时针旋转到G，
∴EG＝BE，
在△GME和△BKE中
∵ ，
∴△GME≌△BKE（AAS），
∴GM＝BK，
∵∠C＝∠EKC＝∠EDC＝90°，
∴四边形DCKE是矩形，
∴DE＝CK＝3，
∴GM＝BK＝6﹣3＝3，∴△DEG的面积为 DE×GM＝ ×3×3＝ ．
