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专题 05 平方根（综合题）
易错点拨
知识点01：平方根和算术平方根的区别与联系
a a
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
细节剖析：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数
没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.
因此，我们可以利用算术平方根来研究 平方根 .
知识点02：平方根的性质
a a0
a2 |a|0 a0
a a0
2
a a a0
知识点03：平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1 位.
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
例如： ， ， ， .
易错题专训
一．选择题
1．（2022•黄冈开学）长方形ABCD的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该长方形的宽为（ ）
A．1 B． C． D．解：设矩形的宽为x，则长为3x，
根据题意得：3x2＝15，
所以x2＝5．
解得：x＝± （负值舍去），
∴长方形的宽为 ，
故选：D．
2．（2021秋•通州区期末）已知m＝20212+20222，则 的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．4043 D．4044
解：∵2m﹣1
＝2（20212+20222）﹣1
＝2[20212+（2021+1）2]﹣1
＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1
＝4×20212+4×2021+1
＝（2×2021+1）2
＝40432
∴
＝4043，
故选：C．
3．（2021秋•威宁县校级期末）如果一个正数a的两个不同平方根是2x﹣2和6﹣3x，则这个正数a的值
为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．36
解：由题意得：
2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得：x＝4．
当x＝4时，2x﹣2＝6，6﹣3x＝﹣6，
a＝（±6）2＝36．
故选：D．
4．（2021 秋•赫山区期末）设 a＝1+ + ，a＝1+ ，a＝1+ ，…，a＝1+
1 2 3 n，其中n为正整数，则 +…+ 的值是（ ）
A．2020 B．2020
C．2021 D．2021
解：∵n为正整数，
∴
＝
＝
＝ ，
∴ +…+ ＝ +…+
＝2021 +…
＝2021+1﹣
＝2021 ．
故选：D．
5．（2021春•饶平县校级期末） 的算术平方根是（ ）
A．（x2+4）4 B．（x2+4）2 C．x2+4 D．
解：∵ ＝x2+4，
∴ 的算术平方根是 ．
故选：D．6．（2021春•依安县期末）若 ，则2a+b﹣c等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：根据题意得： ，
解得： ，
则2a+b﹣c＝﹣4+1+3＝0．
故选：A．
7．（2018秋•惠山区校级月考）将一组数 ，2， ，2 ， ，…，2 ，…按下列方式进行排
列：
第一排 ，2， ，2 ， ；
第二排2 ， ，4，3 ，2 ；
第三排 ，……
若2的位置记为（1，2），2 的位置记为（2，1），则 这个数的位置记为（ ）
A．（3，5） B．（4，4） C．（5，3） D．（5，4）
解：这组数据可表示为：
、 、 、 、 ；
、 、 、 、 ；
…
∵23×2＝46，
∴ 为第5行，第3个数字， 这个数的位置记为（5，3）．
故选：C．
二．填空题
8．（2021秋•乌当区期末）正数a的平方根是5和m，则m＝ ﹣ 5 ．
解：正数a的平方根是5和m，则m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
9．（2022春•广阳区校级期末）一个数值转换器，如图所示：
①当输入的x为2时，输出的y值是 ．
②当输出的y值为 时，请写出两个满足条件的x的值为 3 和 9 ．解：（1）当x＝2时，输出y＝ ．
故答案为： ；
（2）当x＝3时，y＝ ，
当x＝9时， ＝3，3是有理数，不能输出， 是无理数，y＝ ；
故答案可为：3；9．
10．（2021秋•岳阳县期末）如果 ＝3.873， ＝1.225，那么 ＝ 122. 5 ．
解：∵1.5×10000＝15000，
∴ ，
故答案为：122.5．
11．（2022•东明县三模）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的数是16时，则输出的数是 ．
解：
∵ ＝4，4是有理数，
∴继续转换，
∵ ＝2，2是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是 ，是无理数，
∴符合题意，
故答案为： ．
12．（2022春•新兴县期末）若|x2﹣25|+ ＝0，则x＝ ± 5 ，y＝ 3 ．
解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案是：±5，3．
13．（2018秋•金牛区校级月考）若a、b均为整数，当x＝ ﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为 ．
解：当x＝ ﹣1时，代数式x2+ax+b的值为0，
∴（ ﹣1）2+a（ ﹣1）+b＝0，
6﹣2 + a﹣a+b＝0，
∵a、b均为整数，
∴6﹣a+b＝0，﹣2 + a＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∴ab＝2﹣4＝ ，
∴则ab的算术平方根为： ＝ ，
故答案为： ．
三．解答题
14．（2022秋•朝阳区校级月考）求下列各式中的x：
（1）（x+1）2＝5；
（2）（x﹣1）2﹣3＝0．
解：（1）∵（x+1）2＝5，
∴x+1＝± ，
∴x＝ ﹣1，x＝﹣ ﹣1；
1 2
（2）∵（x﹣1）2﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝± ，
∴x＝1+ ，x＝1﹣ ．
1 2
15．（2022春•云阳县校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义；对于三个互不相等的正整
数，若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数
称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数， ＝
2， ＝3， ＝6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中
“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根“是6．
（1）2，8，50这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最
大算术平方根”；（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方
根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
解：（1）因为 ＝4， ＝10， ＝20，
所以2，8，50这三个数是“老根数”；
其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；
（2）当a＜16时，则2 ＝ ，
解得a＝9，
当16＜a＜36时，则2 ＝ ，解得a＝0，不合题意舍去；
当a＞36时，则2 ＝ ，
解得a＝64，
综上所述，a＝9或a＝64．
16．（2021秋•金台区期末）已知|a﹣2|+ ＝0．
（1）求a，b的值．
（2）求a﹣4b的平方根．
解：（1）∵|a﹣2|+ ＝0，
∴a﹣2＝0且a+b+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣4；
（2）∵a＝2，b＝﹣4，
∴a﹣4b＝2﹣4×（﹣4）＝18，
∴18的平方根是±3 ．
17．（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为 cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，
沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为 3：2，且面
积为30cm2？请说明理由．
解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（ ）2+（ ）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，所以b＝ （取正值），
所以3b＝3 ＝ ＞ ，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
18．（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．
解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0
解得a＝﹣1．
所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．
19．（2021秋•通川区校级期中）先计算下列各式：
， ， ＝ 3 ， ＝ 4 ， ＝ 5 ．
（1）通过观察并归纳，请写出 ＝ n ．
（2）利用（1）中结论计算： ．
解： ＝1， ＝ ＝2， ＝3， ＝4， ＝5．
故答案为：3，4，5．
（1） ＝ ＝n．
故答案为：n．
（2） ＝ ＝ ．
20．（2021春•汉阴县期末）阅读下列解题过程： ＝ ＝ ＝ ； ＝ ＝
＝ ； ＝ ＝ ＝ ；…
（1） ＝ ， ＝ ．
（2）观察上面的解题过程，则 ＝ （n为自然数）
（3）利用这一规律计算： ．
解：（1） ＝ ， ＝ ，故答案为： ， ．
（2）观察上面的解题过程，则 ＝ ＝ ，故答案为：；
（3）原式＝
＝
＝
