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2022-2023 学年北师大版数学七年级上册压轴题专题精选
汇编
专题 05 探索与表达规律
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022七上·城固期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的黑白
两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有2021个黑色小正方形，
则这个图案是（ ）
A．第505个 B．第506个 C．第507个 D．第508
个
【答案】A
【完整解答】解：由图可得，第1个图案涂有黑色的小正方形的个数为5，
第2个图案涂有黑色的小正方形的个数为5×2-1=9，
第3个图案涂有黑色的小正方形的个数为5×3-2=13，
…，
第n个图案涂有黑色的小正方形的个数为 ，
∴
解得， .
故答案为：A.
【思路引导】由图可得：第1个图案涂有黑色的小正方形的个数为5；第2个图案涂有黑色
的小正方形的个数为5×2-1=9；第3个图案涂有黑色的小正方形的个数为5×3-2=13，推出
第n个图案涂有黑色的小正方形的个数为4n+1，据此解答.
2．（2分）（2022七上·句容期末）观察下列两列数：
第一列：2，4，6，8，10，12，……
第二列：2，5，8，11，14，17，……
通过探究可以发现，第1个相同的数是2，第2相同的数是8，…….则第2022个相同的
数在第一列中是第（ ）个
A．6062 B．6064 C．6066 D．6068
【答案】B
【完整解答】解：第1个相同的数是2，第2个相同的数是8=2+6×1，
第3个相同的数是14=2+6×2，
第4个相同的数是20=2+6×3，
…，
第n个相同的数是2+6×（n-1）=6n-4，
∴第2022个相同的数为6×2022-4=12128，
∵第一列的数为2，4，6，8，10，…，2n，
∴12128=2n，
∴n=6064.
故答案为：B.
【思路引导】观察可得：第n个相同的数是2+6×(n-1)=6n-4，求出第2022个相同的数，第
一列的数规律为2n，据此计算.
3．（2分）（2021七上·章贡期末）根据下表中提供的四个数的变化规律，则 的值为（
）
1 4 2 6 3 8 4 10 20
2 9 3 20 4 35 5 54 … m x
第1个 第2个 第3个 第4个 第 个
A．252 B．209 C．170 D．135
【答案】B
【完整解答】解：观察可知：
表格中左上的数为从1开始的连续自然数，
左下的数为从2开始的连续自然数，
右上的数为左下的数的2倍，
右下角的数等于右上角与左下角的两个数的积与左上角数的和，
∴n=20÷2-1=9，m=20÷2=10，
∴x=20m+n=209，
故答案为：B．
【思路引导】通过观察可知，n所在的位置的数是1，2，3……的自然数，m=n+1，第一
行第一个是2 的倍数，由20可知n=9，则可求出m=10，再由x=20m+n即可求解。
4．（2分）（2021七上·槐荫期末）将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6……按如图所
示进行排列，则2022应排在（ ）
A． 位置 B． 位置 C． 位置 D． 位置【答案】A
【完整解答】解：由题可知，
每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，
∵（2022-1）÷5=2021÷5=404......1，
∴2022应排在A位置，
故答案为：A．
【思路引导】根据图中的数字可以发现数字的变化特点，从而求得2022应排在哪个位置即
可得出答案。
5．（2分）（2021七上·封开期末）已知整数 、 、 、 、……满足下列条件：
， ， ， ，…， （n为
正整数）依此类推，则 的值为（ ）
A．-1010 B．-2020 C．-1011 D．-2022
【答案】C
【完整解答】解：
是奇数时，结果等于 ， 是偶数时，结果等于
故答案为：C
【思路引导】先将数据代入计算可得前几项的结果，再通过观察和归纳可得：n是奇数时，
结果等于 ， 是偶数时，结果等于 ，最后将n-2022代入计算即可。
6．（2分）（2021七上·黄埔期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条
“边”（包括两个顶点）有n（n>1）个点，当n=11时，该图形总的点数是（）A．27 B．30 C．33 D．36
【答案】B
【完整解答】解：当n=2时，有3×2-3=3个点，
当n=3时，有3×3-3=6个点，
当n=4时，有4×3-3=9个点，
…
第n个图形中有3n-3个点，
当n=11时，3n-3=3×11-3=30．
故答案为：B．
【思路引导】观察已知图形可得规律：第n个图形中有(3n-3)个点，把n=11时代入计算即
可.
7．（2分）（2021七上·乐平期末）一段跑道长100米，两端分别记为点A、B．甲、乙两
人分别从A、B两端同时出发，在这段跑道上来回练习跑步，甲跑步的速度是6m/s，乙跑
步的速度为4m/s，练习了足够长时间，他们经过了多次相遇，相遇点离A端不可能是（
）
A．60米 B．0米 C．20米 D．100米
【答案】B
【完整解答】解：设跑步时间为ts，
第一次相遇：
，
∴相遇点距A为60米，故A不符合题意；
第二次相遇： ，
，
（米），
∴相遇点距A为20米，故C不符合题意；
第三次相遇： ，
，
（米），
∴相遇点距A为100米，选项D说法符合题意，不符合题意；
第四次相遇： ，，
（米），
∴相遇点距A为20米；
第五次相遇： ，
，
（米），
∴相遇点距A为60米；
综上，相遇点离A端不可能是0米，
故答案为：B．
【思路引导】设跑步时间为ts，第一次相遇： ，第二次相遇： ，
第三次相遇： ，第四次相遇： ，第五次相遇： ，分讨论
即可。
8．（2分）（2021七上·香洲期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝
20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M，N；第二次操作：分别取线段AM 和
1 1 1
AN 的中点M，N；第三次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M，N；…连续这样操
1 2 2 2 2 3 3
作10次，则M N ＝（ ）
10 10
A．2 B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵线段MN＝20，线段AM和AN的中点M，N，
1 1
∴MN＝AM ﹣AN
1 1 1 1
＝ AM﹣ AN
＝ （AM﹣AN）
＝ MN
＝ ×20
＝10．
∵线段AM 和AN 的中点M，N；
1 1 2 2
∴MN＝AM ﹣AN
2 2 2 2＝ AM ﹣ AN
1 1
＝ （AM ﹣AN ）
1 1
＝ MN
1 1
＝ × ×20
＝ ×20
＝5．
发现规律：
MN＝ ×20，
n n
∴M N ＝ ×20．
10 10
故答案为：C．
【思路引导】先求出MN＝10，再找出规律求出MN＝ ×20，最后作答即可。
1 1 n n
9．（2分）（2021七上·鞍山期末）已知动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移
动1厘米，第二次向右移动2厘米，第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，
……，移动第2022次到达点B，则点B在点A点的（ ）
A．左侧1010厘米 B．右侧1010厘米
C．左侧1011厘米 D．右侧1011厘米
【答案】D
【完整解答】解：动点A在数轴上从原点开始运动，第一次向左移动1厘米，第二次向右
移动2厘米，
则此时对应的数为：
第三次向左移动3厘米，第四次向右移动4厘米，
则此时对应的数为：
所以每两次移动的结果是往右移动了1个单位长度，
所以移动第2022次到达点B，则 对应的数为：
所以点B在点A点的右侧1011厘米处.故答案为：D
【思路引导】先根据题干中点移动的规律，求出前几次的结果，即可得到规律，再利用
即可得到点B表示的数。
10．（2分）（2021七上·五常期末）观察图中给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的
个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）．
A．3n－2 B．3n－1 C．4n＋1 D．4n－3
【答案】D
【完整解答】根据所给的数据，不难发现：第一个数是1，后边是依次加4，则第n个点阵
中的点的个数是1+4（n-1）=4n-3．
故答案为：D.
【思路引导】由已知图形可知第1个图形点的个数是1，第2个图形点的个数是1+4，第3
个图形点的个数是1+4×2；第4个图形点的个数是1+4×3；从而得出第n个图形点的个数是
1+4×（n-1），据此判断即可.
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022七上·巴中期末）如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆
成的，经计算可得第①个几何体的表面积为6个平方单位，第②个几何体的表面积为18个
平方单位，第③个几何体的表面积是36个平方单位，…依此规律，则第⑩个几何体的表面
积是 个平方单位.
【答案】330
【完整解答】解：根据题意得：第①个几何体的表面积为 个平方单位，
第②个几何体的表面积为 个平方单位，
第③个几何体的表面积是 个平方单位，
……由此发现，第⑩个几何体的表面积是 个平方
单位.
故答案为：330.
【思路引导】根据图形可得：第①个几何体的表面积为6=6×1个平方单位；第②个几何体
的表面积为18=6×(1+2)个平方单位；第③个几何体的表面积是36=6×(1+2+3)个平方单位，
据此可推出第⑩个几何体的表面积.
12．（2分）（2022七上·汇川期末）如图，1条直线最多将平面分成2个部分，2条直线最
多将平面分成4个部分，3条直线最多将平面分成7个部分，4条直线最多将平面分成11
个部分，5条直线最多将平面分成16个部分，6条直线最多将平面分成22个部分，则49
条直线最多将平面分成 个部分.
【答案】1226
【完整解答】解：1条直线最多将平面分成2个部分，而
2条直线最多将平面分成4个部分，而
3条直线最多将平面分成7个部分，而
4条直线最多将平面分成11个部分，而
5条直线最多将平面分成16个部分，而
6条直线最多将平面分成22个部分，而
总结归纳可得：
n条直线最多将平面分成 个部分，
当 时， ，
所以49条直线最多将平面分成1226个部分.
故答案为：1226.
【思路引导】由图形可得：1条直线最多将平面分成2=1+1个部分；2条直线最多将平面分
成4=1+1+2个部分；3条直线最多将平面分成7=1+1+2+3个部分；4条直线最多将平面分
成11=1+1+2+3+4个部分，推出n条直线最多将平面分成的个数，据此计算.13．（2分）（2021七上·揭东期末）一只兔子落在数轴的某点P 上，第1次从P 向左跳1
0 0
个单位到P，第2次从P 向右跳2个单位到P，第3次从P 向左跳3个单位到P，第4次
1 1 2 2 3
从P 向右跳4个单位到P，…，若按以上规律跳了100次时，兔子落在数轴上的点P 所
3 4 100
表示的数恰好是2021，则这只兔子的初始位置P 所表示的数是 ．
0
【答案】1971
【完整解答】解：设这只小兔子的初始位置点P 所表示的数是a，
0
则P 表示的数是a-1，
1
P 表示的数是a+1，
2
P 表示的数是a-2，
3
P 表示的数是a+2，
4
…，
∴P 表示的数是a+50，
100
∵点P 所表示的数恰好是2021，
100
∴a+50=2021，
解得a=1971，
故答案为：1971．
【思路引导】根据向左为负，向右为正，列出算式计算即可。
14．（2分）（2021七上·东莞期末）如图是由一些火柴棒搭成的图案：按照这种方式摆下
去，则摆第 个图案用了2021根火柴棒．
【答案】505
【完整解答】由题目得，第①个图案所用的火柴数：1+4=1+4×1=5，
第②个图案所用的火柴数：1+4+4=1+4×2=9，
第③个图案所用的火柴数：1+4+4+4=1+4×3=13，
依此类推，
由规律可知5=4×1+1，9=4×2+1，13=4×3+1，
第n个图案中，所用的火柴数为：1+4+4+…+4=1+4×n=4n+1；
故摆第n个图案用的火柴棒是4n+1；
根据规律可知4n+1=2021得，n=505．
【思路引导】先求出由规律可知5=4×1+1，9=4×2+1，13=4×3+1，再求出摆第n个图案用
的火柴棒是4n+1，最后列方程求解即可。15．（2分）（2021七上·历下期末）设一列数 ， ， ， ，……中任意三个相邻数
之和都是50，已知 ， ，则 ．
【答案】15
【完整解答】解：∵一列数 ， ， ， ，……中任意三个相邻数之和都是50，
∵
则
解得
故答案为：15．
【思路引导】先求出 再求出 最后计算求解即可。
16．（2分）（2022七上·松桃期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下列算式
和图形：
请用上面的规律计算：
.
【答案】772121
【完整解答】解：观察以下算式：，
1=1=12，1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+5+7+9=25=52，
发现规律：
1+3+5+7+9+…+2n-1=n2.
∴1+3+5+7+9+…+999=5002，
1+3+5+7+9+…+2021=10112，
∴ 10112-5002=772121.
故答案为：772121.
【思路引导】观察已知等式可得规律1+3+5+7+9+…+2n-1=n2，由于
（1+3+5+7+9+…+2021）-
（1+3+5+7+9+…+999），利用规律计算即可.
17．（2分）（2021七上·海曙期末）小明同学利用计算机设计了一个程序， 输入和输出
的情况如下表。他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关。按
此规律， 从1开始一直输入到 2022后， 输出项的系数与次数均为奇数的项共有
个.
输入 1 2 3 4 5 6 7 8
输出
【答案】674
【完整解答】解：输入1时， 输出项的系数与次数均为奇数 ；
输入4时， 输出项的系数与次数均为奇数 ；
输入7时， 输出项的系数与次数均为奇数 ；
......
输入3n+1时， 输出项的系数与次数均为奇数 ，
∵2022=3 X 674
∴从1开始一直输入到 2022后， 输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个
故答案为：674.
【思路引导】单独把满足题意的项列出来，通过n找规律，从而得出结果。
18．（2分）（2020七上·南沙期末）已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝
64……则22020﹣22019的个位数字是 ．
【答案】8
【完整解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，
∴每运算四次个位数循环一次，
∵22020﹣22019＝22019（2﹣1）＝22019，
∵2019÷4＝504…3，∴22020﹣22019的个位数与23的尾数相同，
∴22020﹣22019的个位数字是8，
故答案为：8．
【思路引导】观察已知等式可知每运算四次个位数循环一次，易求22020﹣22019＝22019（2﹣
1）＝22019，由于2019÷4＝504…3，可得22019的个位数与23的尾数相同，即得结论.
19．（2分）（2021七上·云梦期末）一只昆虫从点A处出发，以每分钟2米的速度在一条
直线上运动，它先前进1米，再后退2米，又前进3米，再后退4米，…依此规律继续走
下去，则运动1小时时这只昆虫与A点相距 米.
【答案】8
【完整解答】解：1小时 分，
规定昆虫每前进一次和后退一次为一运动周期，则设昆虫的运动周期数为 ，每一周期所
用总时间为 .
设每周期前进的距离为 ，则 ；
由题意可得： ；
假设昆虫运动所用总时间为T；则
；
当 分时，代入上式中可得 但还剩余7.5分钟，由公式
可得第8周需要15.5分钟，但是每一周期中后退时间比前进时
间多0.5分钟，所以在第8周期中前进时间为7.5分钟，后退时间为8分钟.
由于运动一个周期后退一米，所以运动7个周期就后退7米，由于在60分钟内运动完7周
期后正好剩余7.5分钟，这样在第8周期就正好前进的距离 米，故运动1
小时时这只昆虫与 点相距为 米.
故答案为：8.
【思路引导】 由于这只昆虫的速度为2米/分钟，所以“前进1米，再后退2米”共用了
1.5分钟，此时实际上向后只退了一米；“前进3米，再后退4米”共用了3.5分钟，此时
实际上也只向后退了一米．由此不难看出，后一次运动比前一次多用2分钟，每次实际上
都是向后退一米．然后根据规律列式计算即可求解．
20．（2分）（2021七上·奉化期末）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：
图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小
到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第55个数为.
【答案】120；3486
【完整解答】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为： ，
第③个图形中的黑色圆点的个数为： ，
第④个图形中的黑色圆点的个数为： ，
……
第n个图形中的黑色圆点的个数为 ，
∴这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
∴其中每3个数中，就有2个能被3整除，
10÷2=5（组），
∴第10个能被3整除的数为原数列中的个数为5×3=15（个），
∴ =120，
∵55÷2=27（组）……1，
∴第55个能被3整除的数为原数列中的个数为27×3+2=83（个）
∴ =3486，
故答案为：120，3486.
【思路引导】由前4幅图黑色圆点的个数总结出规律：第n个图形中的黑色圆点的个数为：
，再判断其中能被3整除的个数，得出每3个数中，都有2个能被3整除，再
计算出第10和55个能被3整除的数所在的组为原数列中的个数，代入式中计算即可.
三．解答题（共9题，满分60分）
21．（5分）（2021七上·番禺期末）图1中，有一个平行四边形；
图2中，由2个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到3个平行四边形；
图3中，由3个相同的平行四边形拼成一排的图形，这图形中可以找到6个平行四边形；
由此我们可以提出一个这样的问题：图4中，由4个相同的平行四边形拼成一排的图形中，可以找到几个平行四边形？
答：10个
请你根据以上事实，将一些相同的平行四边形横向或纵向拼接，由此提出一个数学问题，
并写出答案．
【答案】解：问题：第22个图有多少个平行四边形?
图1中平行四边形的个数为：1，
图2中平行四边形的个数为： ，
图3中平行四边形的个数为： ，
图4中平行四边形的个数为： ，
，
第n个图中平行四边形的个数为： ，
第22个图中平行四边形的个数为： ．
【思路引导】先结合图形归纳总结出规律：第n个图中平行四边形的个数为：
，再将n=22代入计算即可。
22．（5分）（2021七上·七星关期中）请你仔细阅读下列材料，计算：
阅读下列材料：计算 .
解法一：原式=
解法二：原式=
解法三：原式的倒数为
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_▲__是错误的.
请你选择合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】解：解法一：原式 ，解法二：原式 ，
解法三：原式的倒数为
，
∴ ；
上述得到的结果不同，所以我认为解法一是错误的；
故答案为一；
的倒数为
；
∴ .
【思路引导】根据题干提供的三种方法分别完成后面的步骤，然后比较结果，即可判断；
再根据解法三，先计算原式的倒数，则可求出原式的值.
23．（5分）（2021七上·成都月考）从2开始，连续偶数相加，它们的和的情况如下所示：
2＝1×2
2＋4＝6＝2×3
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
若用n表示连续相加的偶数的个数，用S表示其和，那么S与n之间有什么样的关系？
请用公式表示出来，并由此计算2＋4＋6＋…＋2022的值.
【答案】解：观察上述等式，所得的规律是：从2开始连续偶数的和，等于相加的偶数个
数与偶数个数加1的和的积，即
∴2＋4＋6＋…＋2022= .
【思路引导】 观察上述等式，总结出规律：从2开始连续偶数的和，等于相加的偶数个数
与偶数个数加1的和的积，即S=n(n+1)，根据规律代值计算即可.24．（7分）（2020七上·河西期末）如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条
“边”（包括两个顶点）有 个点，每个图形的总点数记为S．
（1）（1分）当 时，S的值为 ；当 时，S的值为 ；
（2）（1分）每条“边”有n个点时的总点数S是 （用含n的式子表示）；
（3）（4分）当 时，总点数S是多少？
【答案】（1）9；15
（2）S=3n-3
（3）解：当 时，总点数S=3´（2021-1）=3×2020=6060个点
【完整解答】解：第一个图形有S=3=3´（2-1）个点，
第二个图形有S=6=3´（3-1）个点，
第三个图形有S=3´（4-1）=9个点，
第四个图形有S=3´（5-1）个圆，
故第n-1个图形有S= 个圆，
（1）n=4, 第三个图形有S=3´（4-1）=9个点，
当n=6时，第五个图形有S=3´（6-1）=15个点，
故答案为：9，15；
（2）每边有n个点时，每边减去一个顶点上的点，有（n-1）个点，一共三条边，共有点
数为S=3（n-1）=(3n-3)个点；
【思路引导】根据题意可知属于找规律题型，根据前四组图形可得出规律为 ，
把4,6，2021代入即求值即可．
25．（8分）（2021七上·顺德期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的
数表．
（1）（4分）写出数表所表示的规律；（至少写出4个）（2）（4分）若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，
求方框里中间数是多少？
【答案】（1）解：规律有：①第一列个位数都是1，②每行只有5个奇数，③每行相邻两
个数的和是2的倍数，④每列相邻的两个数相差10．
（2）解：设方框里中间数为x，则另外8个数为 ， ， ， ， ，
， ， ，
由题意得，
，
，
则方框里中间数是33．
【思路引导】（1）根据数表写出规律即可；
（2）设方框里中间数为x，则另外8个数为 ， ， ， ， ，
， ， ，9个数的和为297，列出方程求解即可。
26．（9分）（2021七上·和平期末）观察图，解答下列问题．
（1）（1分）图中的圆圈被折线隔开分成六层，第一层有 个圆圈，第二层有 个圆圈，
第三层有 个圆圈，…，第六层有 个圆圈．如果要你继续画下去，第 层有
个圆圈．
（2）（1分）某一层上有 个圆圈，这是第 层．
（3）（3分）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为
或 ，由此得， ，同样：由前三层的圆圈个数和得： ，由
前四层的圆圈个数和得： ，…根据上述规律，从 开始的 个连续奇数之
和是多少？用 的代数式把它表示出来
（4）（4分）运用（3）中的规律计算： ．
【答案】（1）（2n-1）
（2）33
（3）解：∵前两层的圆圈个数和为 ，由前三层的圆圈个数和得： ，
由前四层的圆圈个数和得： ，…∴1+3+5+…+（2n-1）=n2；
故答案为：n2；
（4）解：原式=（1+3+5+…+153）-（1+3+5+…+71）
【完整解答】解：（1）∵第一层有 个圆圈，第二层有 个圆圈，第三层有 个圆圈，第
六层有 个圆圈…．
∴第n层有（2n-1）个小圆圈；
故答案为：（2n-1）；
（2）令2n-1=65，
解得n=33．
∴这是第33层；
故答案为：33；
【思路引导】（1）根据已知数据可得每一层小圆圈的个数是连续的奇数，据此即得规律：
第n层有（2n-1）个小圆圈；
（2）利用（1）规律解答即可；
（3）根据已知数据可知： 前n层的圆圈个数和等于首位数字平均数的平方，据此即得结
论；
（4）根据（3）中的规律进行计算即可.
27．（5分）（2021七上·丰台期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早
在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称
为“铺地锦”．
例如：如图1，计算46×71，将乘数46写在方格上边乘数71写在方格右边，然后用乘
数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相
加得3266（1）（1分）如图2用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则x＝ ，y＝
；
（2）（1分）如图3，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则m＝
，n＝ ；
（3）（1分）如图4，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则k＝ ．
【答案】（1）3；2
（2）1；2
（3）5
【完整解答】解：（1）解：设方格右边的两位数的十位数字为r，由“格子乘法”法则可
知，
，解得， ；
所以， ，解得， ；
，解得， ；
故答案为：3，2
（2）由题意bd＝16． ， ， ，
∴ ，
画出“格子乘法”如图：
因为积为三位数，故左上角数字为0，阴影斜行和为2，当mn=1时，m=1， n=1三个三角
形中只有中间的数为mn，另两个为0，不符合题意；当mn=2时，三个三角形中只有中间
的数为mn，另两个为0，其他格子填数如图；
根据“格子乘法”法则得， ， ，
因为m、n为正整数，∴m和n的值分别为1和2．
另解：根据乘积为2176可知表格如图：
由“格子乘法”法则得， ，即 ，当 ， 时，符合题意；
当 ， 时， ，因为 ，不符合题意，舍去；
故答案为：1，2
（3）解：设方格右边的两位数的十位数字为e，由“格子乘法”法则可知，
则有 ，
因为k、e为正整数，
解得：k＝5，e＝1．
故答案为：5
【思路引导】（1）由 ， ，即可求出x、y的值；
（2）由题意得出bd＝16． ， ， ，即可得出m、n的值；
（3）根据运算法则，将表格补充，得出 即可求出k的值。
28．（7分）（2021七上·上虞期末）如图是一个运算程序的示意图.输入一个整数便能按图
中程序进行计算.（1）（1分）设输入数x为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9，第2次计算的
结果是4…，按这样的程序计算下去，第5次计算的结果为 ；程序最终输出结果
为
（2）（5分）若输入某数x后，程序依次交替进行两种运算，且最后输出结果为1.请尝
试通过分析，判断输入数x是奇数还是偶数？进一步借助计算，直接写出该输入数x.
【答案】（1）-4；-4
（2）解：根据题意，交替进行两种运算，则
第2021次计算的结果为1=1+6 0，则第2020次计算的结果为2= ，
第2019次计算的结果为7=1+6 1，则第2018次计算的结果为14= ，
第2017次计算的结果为19= ，则第2016次计算的结果为
，
第2015次计算的结果为 ，则第2014次计算的结果为
，
……
发现规律，第 次（奇数次）计算的结果为
（ 为小于2017的奇数），
则第 次计算的结果为 （
为小于2017的奇数），
则第3次计算的结果为 ，则第2次计算的结果为
第一次输入的数为 是奇数；
该输入数x=
【完整解答】解：（1）设输入数x为18，那么根据程序，第1次计算的结果是9，第2次计算的结果是4，
第3次计算的结果是2，
第4次计算的结果是1，
第5次计算的结果是-4，
第6次计算的结果是-2，
第7次计算的结果是-1
第8次计算的结果是-6
第9次计算的结果是-3
第10次计算的结果是-8
第11次计算的结果是-4
第12次计算的结果是-2
……
发现规律，从第5次的结果开始，每6次一个循环，
，
故第2021次计算的结果为-4
故答案为：-4；
（2）设
则
则
【思路引导】（1）根据程序计算各次的结果，总结出规律，即从第5次的结果开始，每6
次一个循环，然后依此列式计算即可求解；
（2）从第2021次往回计算，发现规律，依此求得第一次输入的数为：
设 ，
则 ，两式作差即可求得输入数x.
29．（9分）（2021七上·缙云期末）【阅读理解】规定：我们把若干个相同的有理数（不
为0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的
乘方，我们把 ，记作 ，读作“2的圈3次方”，
记作 ，读作“-3的圈4次方”.一般地，把
记作 作“a的圈n次方”.（1）（1分）【初步探究】直接写出计算结果： ＝ ， ＝
；
（2）（1分）【类比探究】我们知道，有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算可
以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：仿照如图所示的
算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：
＝ ； ＝ .
（3）（1分）【深入思考】想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是
.
（4）（4分）【综合运用】算一算： （约定：除方
和乘方是同级运算）
【答案】（1） ；4
（2） ；
（3）
（4）解：
解： ， ， ，
∴
【完整解答】（1）解： ，
，故答案为： ；4；
（2）解： ，
，
故答案为： ； ；
（3）a的圈n次方= ，
故答案为： ；
【思路引导】（1）【初步探究】 根据除方的定义分别列式计算即可；
（2）【类比探究】 根据题干的方法分别列式计算，即可得出结果；
（3）【深入思考】 根据（2）的方法计算得到的结果，总结出规律： = ，
即可作答；
（4）【综合运用】 利用（3）的结果分别把算式中的除方运算转化为乘方的运算，然后代
入原式进行含乘方的有理数混合运算即可.
