文档内容
专题 05 有理数的乘方及混合运算
考点一 有理数幂的概念理解 考点二 有理数的乘方运算
考点三 有理数乘方逆运算 考点四 程序流程图与有理数的计算
考点五 含乘方的有理数混合运算 考点六 科学记数法
考点一 有理数幂的概念理解
例题：（2021·全国·七年级专题练习）在 中，指数是________，底数是________，在 中，指数是
________，底数是________，在 中底数是________，指数是________．
【答案】 3 2 2 2
【解析】
【分析】
根据幂的定义中指数与底数的说明解答此题．
【详解】
解： 中指数是 ，底数是 ；
中指数是 ，底数是 ；
中指数是 ，底数是 ；
故答案为：4 ， ， 3 ， 2， 2， 2
【点睛】
此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
【变式训练】（2022·全国·七年级）下列说法正确的是（ ）
A． 的底数是-2 B． 的底数是
C． 的底数是-3，指数是4 D． 的幂是-12【答案】C
【解析】
【分析】
利用有理数乘方底数、指数的概念以及幂的运算依次判断即可．
【详解】
解：A、-23的底数是2，故此选项错误；
B、2×32中，32的底数是3，故此选项错误；
C、（-3）4的底数是-3，指数是4，正确；
D、-34的幂是-81，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记乘方中相关概念和幂的运算法则是解题的关键．
考点二 有理数的乘方运算
例题：（2021·河南郑州·七年级期中） 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据有理数的乘方运算求解即可．
【详解】
解： ，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式训练】（2022·辽宁铁岭·七年级期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】D
【解析】【分析】
只是符号不同的两个数称为互为相反数，互为相反数的两个数的和是0．
【详解】
解：A、 ，不是互为相反数，故不符合题意；
B、 ，不是互为相反数，故不符合题意；
C、 ，不是互为相反数，故不符合题意；
D、 ，互为相反数，故符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了相反数的意义和乘方运算，不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
考点三 有理数乘方逆运算
例题：（2021·山东淄博·期中） 等于（ ）
A． B．8 C．0.125 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方进行计算即可．
【详解】
解： ．
故选B
【点睛】
本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
【变式训练】（2022·江苏·七年级专题练习）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：(1)验证：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通过上述验证，归纳得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；
(2)ab，anbn，abc，anbncn；
(3)﹣0.125
【解析】
【分析】
（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根据有理数乘方的定义求出即可；
（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．
(1)
解：（4×0.25）100＝1100＝1；
4100×0.25100＝1，
故答案为：1，1．
(2)
解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)
解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125
【点睛】
本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键．
考点四 程序流程图与有理数的计算
例题：（2022·河南洛阳·七年级期末）照如图所示的操作步骤，若输出 的值为6，则输入 的值为
（ ）A．－8 B．－2 C．－8或－2 D．以上均不对
【答案】C
【解析】
【分析】
把y＝6代入程序框图，倒着计算即可求出x的值．
【详解】
解：根据程序框图得：先加3，得9，再根据（±3）2＝9，
∴x+5＝±3，
解得：x＝﹣8或﹣2；
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握有理数的混合运算是解本题的关键．
【变式训练】（2023·江苏·七年级单元测试）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是
（ ）
A．16 B．26 C．﹣16 D．﹣26
【答案】D
【解析】
【分析】
将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可．
【详解】
解：当x＝2时，10﹣x2＝10﹣4＝6＞0，不输出；
当x＝6时，10﹣x2＝10﹣36＝﹣26＜0，符合题意，输出结果，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，按程序图的要求运算是解题的关
键．考点五 含乘方的有理数混合运算
例题：（2022·河北保定·七年级期末）计算
(1) (2)
【答案】(1)－6
(2)0
【解析】
【分析】
（1）运用幂的运算，乘法的分配律计算即可．
（2）按照有理数混合运算的顺序计算即可．
（1） ==36×（ － ） =36× - 36× =12-18=﹣6 ．
（2） == - 4+（-8）×（- ）=- 4+4=0．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，运算律是解题的关键．
【变式训练】（2022·河南信阳·七年级期末）计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1)8
(2)-8
(3)-35.93
【解析】
【分析】
（1）先去括号，再计算加减法；
（2）先算乘方，再算乘除；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
（1）解：12-（-18）+（-7）-15=12+18-7-15=（12+18）-（7+15）=30-22=8；（2）解： =-8；
（3）解：4+（-2）3×5-（-0.28）÷4=4+（-8）×5-（-0.28）÷4=4+（-40）-（-0.07）=-36+0.07=-35.93．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应
按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运
算律的运用，使运算过程得到简化．
考点六 科学记数法
例题：（2022·贵州黔西·中考真题）据央视6月初报道，电信5G技术赋能千行百业，打造数字经济底座．
5G牌照发放三年来，三大电信运营商共投资4772亿元．把数字4772亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将4772亿元换算成477200000000元，再根据科学记数法可直接得到答案．
【详解】
解：4772亿元=477200000000元= 元
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的方法，科学记数法的基本形式为 ，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练】（2022·辽宁鞍山·九年级开学考试）2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约
710万名党员获此纪念章．数710万用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，正确确定 的值以及 的值是解决问题的关键．
一、选择题
1．（2022·江苏宿迁·九年级期末）计算 等于( )
A．－6 B．6 C．－8 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据乘方的意义即可进行计算，负数的奇数次方是负数．
【详解】
=-2×（-2）×（-2）=-8
故选：C
【点睛】
本题主要考查了乘方的运算，熟练的掌握乘方的运算法则是解题的关键．注：负数的奇数次方是负数，负
数的偶数次方是正数．
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】
根据幂的运算法则计算判断即可．
【详解】
∵ ，
∴符合题意；
∵ ，
∴不符合题意；
∵ ，
∴不符合题意；
∵ ，
∴不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了幂的综合计算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
3．（2022·海南省直辖县级单位·七年级期末）近年来，我国 发展取得明显成效，截至2020年2月底，
全国建设开通 基站达164000个，数据164000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：16.4万=1.64×105，
故选：C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表
示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2022·重庆·七年级期末）下列算式：① ，② ；③ ；④ ，运
算结果为负数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数的运算法则逐项计算即可．
【详解】
解：① ，② ，③ ，④ ，
所以结果为负数的有1个，
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
5．（2021·河北·邯郸市汉光中学七年级期中）定义一种对正整数 的“F”运算：①当n为奇数时，
；②当 为偶数时， （其中 是使 为奇数的正整数）.两种运算交替重复进行，
例如，取 ，则第1次“ ”运算为 ，第2次“ ”运算为 ，第3
次“ ”运算为 …若 ，则第2021次“ ”运算的结果为（ ）
A．1 B．4 C．2021 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出n=13时第1、2、3、4、5、6、7次运算的结果，通过计算从第4次开始，结果就只有4、1两个数
循环出现，进而观察规律即可得结论．
【详解】
当n=13时，
第1次“F”运算的结果是： ，第2次“F”运算的结果是： ，
第3次“F”运算的结果是： ，
第4次“F”运算的结果是： ，
第5次“F”运算的结果是： ，
第6次“F”运算的结果是： ，
第7次“F”运算的结果是： ，
……
观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，
且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4，
而2021为奇数，故其结果为4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字类的变化规律及有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意中的新定义，严格按照定
义来计算．
二、填空题
6．（2022·湖北黄石·七年级期末）计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】
理解乘方的意义，然后再计算．
【详解】
解：原式的意义是2个2相乘的相反数，进而得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了有理数乘方，掌握有理数的乘方运算，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值是解题的
关键．7．（2022·四川成都·七年级期末）若 ，则 的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据绝对值的非负性，平方的非负性，求出x，y的值；再代入求乘方即可；
【详解】
解：∵ ，
∴x＋9=0，y-8=0，
∴x=﹣9，y=8，
∴ = = ，
故答案为：1；
【点睛】
本题考查了乘方的运算，非负数的性质——几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；掌握非负数的
性质是解题关键．
8．（2022·江苏·七年级专题练习）《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是
说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩 尺，两天之后 尺，
那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩_________．
【答案】 ##0.015625
【解析】
【分析】
根据题意可得∶ 一天之后剩 尺，两天之后剩 尺，三天之后剩 尺，由此发现规律，
即可求解．
【详解】
解：一天之后剩 尺，
两天之后剩 尺，三天之后剩 尺，
以此类推，六天之后剩 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了乘方的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
9．（2022·江苏·七年级专题练习）如果 ， ， 是整数，且 ，那么我们规定一种记号 ，例
如， ，那么记作 ，根据以上规定，求 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．
【详解】
解：设 ，
∵ ，那么我们规定一种记号 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来
记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩
子自出生后的天数．请根据图，计算孩子自出生后的天数是______天．【答案】109
【解析】
【分析】
类比于现在我们的十进制“满十进一”计算．
【详解】
解： ，
故答案为：109．
【点睛】
本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，考查有理
数乘方应用，解题的关键是根据图中的点列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，
另一方面也考查了学生的思维能力．
三、解答题
11．（2022·辽宁本溪·七年级期末）计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．
【详解】
解：原式
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2022·广西河池·七年级期末）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)－1
(2)－35
【解析】
【分析】
（1）先进行乘方运算，然后利用乘法分配律进行计算即可；
（2）先进行乘方运算，然后去绝对值，计算乘除运算，最后计算加减运算即可．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】
题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，绝对值化简，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
13．（2022·湖北鄂州·七年级期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)－6
(2)－84
【解析】【分析】
（1）先乘方运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解；
（2）先乘方运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解．
(1)
解：
=
=
= ；
(2)
解：
=
=
=
= ．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．
14．（2022·四川广元·七年级期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)42
(2)-19
【解析】
【分析】
(1)先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减运算即可；
（2）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算即可．(1)
解：原式=
=
=
(2)
原式=
=
=
【点睛】
本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
15．（2022·浙江衢州·七年级期末）小红与小亮两位同学计算﹣32﹣6×（ ）的过程如图：
请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用含乘方的有理数运算法则和乘法结合律计算即可．
【详解】
解：正确解答过程如下：
原式
．
【点睛】
本题考查含乘方的有理数运算和乘法结合律，解题的关键是掌握含乘方的有理数运算法则和乘法结合律，
能够正确计算．
16．（2021·福建三明·七年级期中）已知 ，y为有理数，现规定一种新运算“★”满足 ★ ＝
（1）求5★（﹣3）；
（2）求（5★ ）﹣2（ ★ ），其中| ﹣1|+（ +2）4＝0
【答案】（1）-1；（2）-13
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给新运算可直接进行求解；
（2）先由| ﹣1|+（ +2）4＝0得出 ，y的值，然后再利用新运算代入（5★ ）﹣2（ ★ ），进而问
题可求解．
【详解】
解：（1）5★（﹣3）＝（－3）2－2×5＝－1；
（2）∵| ﹣1|+（ +2）4＝0，
∴ ﹣1＝0， +2＝0，
∴ ＝1， ＝－2，
∴（5★ ）﹣2（ ★ ）＝（5★1）－2（1★（－2））＝1－2×5－2×（4－2）＝－13．【点睛】
本题主要考查偶次幂及绝对值的非负性、有理数的混合运算，熟练掌握偶次幂及绝对值的非负性、有理数
的混合运算是解题的关键．
17．（2021·广东梅州·七年级期末）已知下列有理数：0， ， | 4|， ， （ 1）．
(1)计算： ＝ ， | 4|＝ ；
(2)这些数中，所有负数的和的绝对值是 ；
(3)把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上描出表示0， ， （ 1）这些数的点，并把这些数标在对
应点的上方．
【答案】(1)4； 4；
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据乘方的意义、绝对值的意义和相反数的定义计算；
（2）先确定负数，再求它们的和，然后和的绝对值即可；
（3）利用数轴，标出表示3个数对应的点．
（1）（-2）2=4，-|-4|=-4，故答案为：4； 4；
（2）-（-1）=1，所以负数为 | 4|、 ，则所有负数的和的绝对值＝ ，故答案为： ；
（3）
【点睛】
本题考查了有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了相反数和绝对值的意义．
18．（2022·黑龙江哈尔滨·期末）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：
与标准重量的差值（单位：千
-0.5 -0.25 0 0.25 0.3 0.5
克）
箱数 1 2 4 6 n 2
(1)求n的值及这20箱樱桃的总重量；
(2)若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；
(3)实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决
定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或
亏损多少元．
【答案】(1) ， 千克；
(2) 元；
(3)是盈利的，盈利466元．
【解析】
【分析】
（1）根据总箱数和已知箱数求出n，求出与标准重量的差值与对应箱数的积的和再加200千克即可；
（2）根据总销售额＝销售单价×总数量，再用销售额减去进货的总钱数计算即可；
（3）根据销售额＝销售单价×总数量×销售比例，再用销售额减去进货的总钱数计算即可．
（1）解：n＝20﹣1﹣2﹣4﹣6﹣2＝5（箱），10×20+（﹣0.5）×1+（﹣0.25）×2+0.25×6+0.3×5+0.5×2＝203
（千克）；答：n的值是5，这20箱樱桃的总重量是203千克；
（2）解：由题意得，25×203﹣200×20，＝1075（元）；答：全部售出可获利1075元；
（3）解：由题意得，25×203×60%+25×203×（1﹣60%）×70%﹣200×20＝466（元）．答：是盈利的，盈利
466元．
【点睛】
本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
