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专题 05 垂直平分线综合应用
线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系-垂直，数量关系-平分，
利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际
生活中的选址等问题。
解题思路
垂直平分线作图步骤：
1
2
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两边的距离相等。
典例分析
【典例1】（2022秋•秦淮区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD
平分∠ABC．
（1）若∠ADB＝48°，求∠A的度数；
（2）若AB＝5cm，△ABC与△ABD的周长只差为8cm，且△ADB的面积为
10cm2，求△DBC的面积．【变式 1-1】（2022 秋•丛台区校级期末）如图，已知 AB＝AC，BC＝6cm，
△CBD周长为14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长
为（ ）
A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm
【变式1-2】（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的
中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四
边形 CDGE 与四边形 ACEG 的面积分别为 8 和 13，则△ABC 的面积为
（ ）
A．18 B．20 C．22 D．36
【典例2】（2022秋•昭阳区校级月考）如图，在 ABC中，DM，EN分别垂直
平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为18cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝65°，求∠MCN的度数．【变式2-1】（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，
DG、EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求∠DAE的度数．
【变式2-2】（2022秋•渝北区校级期末）如图，∠BAC＝105°，AB＝AC，若
MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．45°
【变式2-3】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直
平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数．
夯实基础
1．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝
3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cmA．13 B．16 C．19 D．21
2．（2021春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平
分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，
∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34° B．36° C．44° D．46°
3．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将 A、B、C三个村庄连成一个如图
的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距
离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
4．（2022秋•荆门期末）如图，∠B＝15°，∠C＝25°，若MP和FN分别垂直
平分AB和AC，则∠PAF等于（ ）
A．100° B．95° C．85° D．80°5．（2022秋•万全区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC的垂直平分线
交AC于点D．交BC于点E，且∠BAE与∠EAC的比为4：1，则∠C的度数
为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
6．（2022秋•镇江期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂
直平分线上，∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACE的度数等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
7．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与
边 AB，AC 交于点 D，E，已知△ABC 与△BCE 的周长分别是 28cm 和
16cm，则BD的长为 cm．
8．（2022秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点
D，交BC于E，FG垂直平分AC，垂足为F，交BC于G．若∠B＝50°，∠C
＝30°，则∠EAG的度数为 ．
9．（2022秋•市中区校级期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，点D、E在BC边上，且点D在点B和点E之间．若∠BAC＝100°，则∠DAE＝
．
10．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平
分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
11．（2022秋•东胜区校级期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交
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BC 于点 D，AC 边的垂直平分线 l 交 BC 于点 E，l 与 l 相交于点 O，连接
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AD，AE，△ADE的周长为12cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26cm，求OA的长．
12．（2022秋•平南县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，
交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点．
（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周长．13．（2022秋•河北期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，
BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G．
（1）设△AEG的周长为P，当P＝12时，求BC的长；
（2）若∠BAC＝125°，求∠EAG的度数．
14．（2022秋•龙马潭区期中）在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直
平分线，
（1）若∠BAC＝120°，求∠EAG的度数．
（2）若BC＝8，求△AEG的周长．
15．（2022秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别
交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝7，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAG的度数．
16．（2022秋•长兴县月考）在△ABC中，DE垂直平分 AB，分别交 AB、BC
于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．（1）如图1，求证：∠BAE＝∠B；
（2）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，求∠EAN的度数；
（3）如图1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度数；
（4）如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数．
17．（2022秋•高青县期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段 AB，
BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
能力提升
18．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交
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BC于点D，AC边的垂直平分线l 交BC于点E，l 与l 相交于点O．
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（1）如图1，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数 ；
（2）如图1，当AB≠AC，且90°＜∠BAC＜180°．
①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝ °；
②当∠BAC＝ °时，AD⊥AE；
（3）如图2，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长
为21cm．则线段BC＝ cm；线段OA＝ cm．
（4）如图3，若∠BAC＝72°，则∠DAE＝ °．
