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专题 05 垂直平分线综合应用
线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系-垂直，数量关系-平分，
利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际
生活中的选址等问题。
解题思路
垂直平分线作图步骤：
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两边的距离相等。
典例分析
【典例1】（2022秋•秦淮区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD
平分∠ABC．
（1）若∠ADB＝48°，求∠A的度数；
（2）若AB＝5cm，△ABC与△ABD的周长只差为8cm，且△ADB的面积为
10cm2，求△DBC的面积．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠ABD＝48°，
∴∠ABD＝24°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣24°﹣48°＝108°；
（2）∵DE垂直平分BC，
∴DA＝DC，DE⊥BC，
∵△ABC与△ABD的周长只差为8cm，
∴（AB+BC+AD+DC）﹣（AB+AD+BD）＝BC＝8cm，
过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DH，
∵AB＝5cm，△ADB的面积为10cm2，
∴ AB•DH＝10，
∴DH＝DE＝ ＝4cm，
∴△ABC的面积＝10+ BC•DE＝10+ ×8×4＝26（cm2），
∴△DBC得面积＝26﹣10＝16（cm2）．
答：△BCD的面积为16cm2．【变式 1-1】（2022 秋•丛台区校级期末）如图，已知 AB＝AC，BC＝6cm，
△CBD周长为14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长
为（ ）
A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm
【答案】A
【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝14cm，
∵BC＝6cm，
∴AC＝14﹣6＝8（cm），
∵AB＝AC，
∴△ACB的周长为：8+8+6＝22（cm），
故选：A．
【变式1-2】（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的
中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四
边形 CDGE 与四边形 ACEG 的面积分别为 8 和 13，则△ABC 的面积为
（ ）A．18 B．20 C．22 D．36
【答案】C
【解答】解：∵四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，
∴S ＝13﹣8＝5，
△AGD
∵BD是△ABC的中线，
∴S ＝S ＝5，
△CGD △AGD
∴S ＝3，
△CGE
∵EF是BC边的中垂线，
∴E是BC的中点，
∴S ＝S ＝3，
△BEG △CGE
∴S ＝3+3+5＝11，
△BDC
∴S ＝22，
△ABC
故选：C．
【典例2】（2022秋•昭阳区校级月考）如图，在 ABC中，DM，EN分别垂直
平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为18cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝65°，求∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∵△CMN的周长为18cm，∴CM+CN+MN＝18cm，
∴AM+BN+MN＝18cm，
∴AB＝18cm，
∴AB的长为18cm；
（2）∵∠MFN＝65°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝115°，
∵∠AMD＝∠FMN，∠BNE＝∠FNM，
∴∠AMD+∠BNE＝115°，
∵∠ADM＝∠BEN＝90°，
∴∠A+∠B＝360°﹣（∠AMD+∠BNE）﹣∠ADM﹣∠BEN＝65°，
∵MA＝MC，NC＝NB，
∴∠A＝∠ACN，∠B＝∠BCN，
∴∠ACN+∠BCN＝65°，
∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B）﹣（∠ACN+∠BCN）＝50°，
∴∠MCN的度数为50°．
【变式2-1】（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，
DG、EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵DG，EF分别垂直平分AB，AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠ADE＝∠B+∠DAB，∠AED＝∠C+∠EAC，
∴∠ADE+∠AED＝160°，
∴∠DAE＝180°﹣160°＝20°，
故∠DAE的度数为20°．
【变式2-2】（2022秋•渝北区校级期末）如图，∠BAC＝105°，AB＝AC，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．45°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝75°，
∵MP，NQ分别垂直平分AB，AC，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝75°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝30°．
故选：C．
【变式2-3】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直
平分线分别交BC于点E、F．
（1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数．
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∵△AEF的周长为10cm，
∴AE+EF+AF＝10cm，
∴EB+EF+FC＝10cm，即BC＝10cm；
（2）∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40o．
夯实基础
1．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝
3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）cm
A．13 B．16 C．19 D．21
【答案】C
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6（cm），DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13cm，
∴AD+BD+DC＝13cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC
＝13+6
＝19（cm）；
故选：C．
2．（2021春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平
分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，
∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）A．34° B．36° C．44° D．46°
【答案】A
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∴∠PQC＝ ×（180°﹣32°﹣32°）﹣24°＝58°﹣24°＝34°，
故选：A．
3．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将 A、B、C三个村庄连成一个如图
的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距
离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点【答案B
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
4．（2022秋•荆门期末）如图，∠B＝15°，∠C＝25°，若MP和FN分别垂直
平分AB和AC，则∠PAF等于（ ）
A．100° B．95° C．85° D．80°
【答案】A
【解答】解：∵MP和FN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，FA＝FC，
∴∠B＝∠BAP＝15°，∠C＝∠FAC＝25°，
∴∠PAF＝180°﹣∠B﹣∠BAP﹣∠C﹣∠FAC＝100°，
故选：A．
5．（2022秋•万全区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC的垂直平分线
交AC于点D．交BC于点E，且∠BAE与∠EAC的比为4：1，则∠C的度数
为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠B＝45°，
∴∠BAC+∠C＝135°，
∵∠BAE与∠EAC的比为4：1，∴∠C+∠C+4∠C＝135°，
∴∠C＝22.5°，
故选：B．
6．（2022秋•镇江期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂
直平分线上，∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACE的度数等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝25°，
∴∠ABD＝∠CBD＝25°，∠ABC＝2∠ABD＝50°，
∵∠A＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝60°，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB＝25°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝35°，
故选：C．
7．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与
边 AB，AC 交于点 D，E，已知△ABC 与△BCE 的周长分别是 28cm 和
16cm，则BD的长为 cm．
【答案】6
【解答】解：∵DE垂直平分线AB，∴AE＝BE，AD＝BD＝ AB，
∵△ABC与△BCE的周长分别是28cm和16cm，
∴AB+AE+EC+BC＝28cm，BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝16cm，
∴AB＝12cm，
∴ ．
故答案为：6．
8．（2022秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点
D，交BC于E，FG垂直平分AC，垂足为F，交BC于G．若∠B＝50°，∠C
＝30°，则∠EAG的度数为 ．
【答案】20°
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝50°，
同理∠GAC＝∠C＝30°，
∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝80°，
∴∠EAG＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
9．（2022秋•市中区校级期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，点
D、E在BC边上，且点D在点B和点E之间．若∠BAC＝100°，则∠DAE＝
．【答案】20°
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠DAE＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
10．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平
分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．
【解答】解：（1）在△ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、
E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
又∵BC＝10，
∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
又∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．
11．（2022秋•东胜区校级期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交
1
BC 于点 D，AC 边的垂直平分线 l 交 BC 于点 E，l 与 l 相交于点 O，连接
2 1 2
AD，AE，△ADE的周长为12cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26cm，求OA的长．
【解答】解：（1）∵l 垂直平分AB，
1
∴DB＝DA，
同理EA＝EC，
∴BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l 垂直平分AB，
1
∴OB＝OA，
同理OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
又∵△OBC的周长为26cm，BC＝12cm，
∴OB+OC＝26﹣12＝14cm，
∴OB＝OC＝7cm，
∴OA＝7cm．
12．（2022秋•平南县期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，
交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点．
（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数；
（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝70°，
∵点D是BE的中点，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝40°；
（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，
∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝DE，
∴AC+CB+AB
＝AC+CD+DB+AB
＝AC+CD+（DE+CE）
＝AC+2CD
＝6+2×4
＝14（cm），
即△ABC的周长是14cm．
13．（2022秋•河北期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，
BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G．
（1）设△AEG的周长为P，当P＝12时，求BC的长；
（2）若∠BAC＝125°，求∠EAG的度数．【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EB＝EA，GA＝GC．
∵BC＝BE+EG+GC，
∴BC＝AE+EG+AG＝△AEG的周长＝P＝12．
（2）∵∠BAC＝125°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣125°＝55°，
∵EB＝EA，GA＝GC，
∴∠BAE＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAG＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠GAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝125°﹣55°＝
70°．
14．（2022秋•龙马潭区期中）在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直
平分线，
（1）若∠BAC＝120°，求∠EAG的度数．
（2）若BC＝8，求△AEG的周长．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝60°，
∵DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠GAC，
∴∠BAE+∠GAC＝60°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠BAE+∠GAC）＝60°，
∴∠EAG的度数为60°；
（2）∵BC＝8，EA＝EB，GA＝GC，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG
＝BE+EG+GC
＝BC
＝8，
∴△AEG的周长为8．
15．（2022秋•红花岗区校级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别
交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝7，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝110°，求∠EAG的度数．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝7；
（2）∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠EAG＝110°﹣70°＝40°．
16．（2022秋•长兴县月考）在△ABC中，DE垂直平分 AB，分别交 AB、BC
于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．
（1）如图1，求证：∠BAE＝∠B；
（2）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，求∠EAN的度数；
（3）如图1，若∠BAC＝108°，求∠EAN的度数；
（4）如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数．【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B；
（2）解：∵∠B＝32°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝112°，
由（1）可知，∠BAE＝∠B＝32°，
同理可得：∠NAC＝∠C＝36°，
∴∠EAN＝112°﹣32°﹣36°＝44°；
（3）解：∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝180°﹣108°＝72°，
∴∠EAN＝108°﹣72°＝36°；
（4）解：∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∴∠EAN＝∠EAB+∠NAC﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°．
17．（2022秋•高青县期中）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段 AB，
BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，
当P点在Q点右侧时，
∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝70°．
当P点在Q点左侧时，
∵∠BAP+∠CAQ+∠PAQ＝∠BAC，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC﹣40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝110°．
综上∠BAC＝70°或110°．能力提升
18．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交
1
BC于点D，AC边的垂直平分线l 交BC于点E，l 与l 相交于点O．
2 1 2
（1）如图1，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数 ；
（2）如图1，当AB≠AC，且90°＜∠BAC＜180°．
①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝ °；
②当∠BAC＝ °时，AD⊥AE；
（3）如图2，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长
为21cm．则线段BC＝ cm；线段OA＝ cm．
（4）如图3，若∠BAC＝72°，则∠DAE＝ °．
【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l 交BC于点D，
1
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B
同理：∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝25°+25°＝50°，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝130°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①AB边的垂直平分线l 交BC于点D，
1
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，同理：∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∴∠BAD+∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝120°﹣60°＝60°；
②当AD⊥AE时，∠DAE＝90°，
∵AB边的垂直平分线l 交BC于点D，
1
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
同理：∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE＝180°，
∴∠BAD+∠EAC＝（180°﹣90°）× ＝45°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+45°＝135°，
故答案为：60，135；
（3）∵l 垂直平分线AB，
1
∴DA＝DB，OB＝OA，
同理：EA＝EC，OC＝OA，
∴DA+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC，
∵△ADE的周长是9，
∴BC＝9cm，
∵△OBC的周长是21cm，
∴OB+OC+BC＝21cm，
∴OB+OC＝21﹣9＝12cm，
∴OA＝OB＝OC＝6cm，
故答案为：9，6；
（4）∵l 垂直平分线AB，
1
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B，同理：∠DAC＝∠C，
∴∠BAE+∠DAC＝∠B+∠C，
∵∠BAC＝72°，
∴∠B+∠C＝108°，
∴∠BAE+∠DAC＝108°，
∴∠BAE+∠DAE+∠EAC＝∠BAC+∠DAE＝108°，
∴∠DAE＝108°﹣72°＝36°．
故答案为：36°．
