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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 05 垂径定理的应用
一．选择题
1．（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面
宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
【思路引导】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据
勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【完整解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝ AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝ ＝ ＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．
2．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于
A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳
出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【思路引导】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的
长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【完整解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝ AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝ ＝ ＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．
3．（2021•广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直
相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）
A．50m B．40m C．30m D．25m【思路引导】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交 于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝
BC＝ AB＝75（m），再由勾股定理求出OC＝100（m），然后求出CD的长即可．
【完整解答】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交 于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝ ×250＝125（m），AC＝BC＝ AB＝ ×150＝75（m），
∴OC＝ ＝ ＝100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．
4．（2021•海安市模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形
ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】由题意得⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧 于点H、I，连
接OF，易求得FH的长，设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，然后在Rt△OFH中，由勾股定理得r2﹣（2
﹣r）2＝12，解此方程即可求得答案．【完整解答】解：由题意得：⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧 于点H、
I，连接OF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴FH＝ EF＝1，
设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得：r2﹣（2﹣r）2＝12，
解得：r＝ ，
即球的半径长为 ，
故选：C．
5．（2020秋•平谷区期末）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度 AB＝8cm，半径
OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
【思路引导】连接AO，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出AD的长，设圆的
半径为rcm，由OC﹣CD表示出OD，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．【完整解答】解：连接AO，
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，
∴AD＝4cm，
设圆的半径为rcm，
在Rt△AOD中，OD＝OC﹣CD＝（r﹣2）cm，
根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即r2＝16+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：C．
6．（2021•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多
年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几
何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长
1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（
）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【思路引导】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）
2，解方程即可；
【完整解答】解：设⊙O的半径为r寸．
在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
7．（2020秋•滨湖区期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有
圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度 CD为1寸，锯长AB为1尺（10
寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（ ）
A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
【思路引导】设圆材的圆心为 O，延长 CD，交⊙O 于点 E，连接 OA，由题意知 CE 过点 O，且
OC⊥AB，AD＝BD＝5，设圆形木材半径为r，可知OD＝r﹣1，OA＝r，根据OA2＝OD2+AD2列方程求
解可得．
【完整解答】解：设圆材的圆心为O，延长CD，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意知：CE过点O，且OC⊥AB，
则AD＝BD＝ AB＝5，
设圆形木材半径为r，
则OD＝r﹣1，OA＝r，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得：r＝13，
即⊙O的半径为13寸，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．8．如图，某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形，一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一
起最高为多少米（ ）
A．3m B．3.4m C．4m D．2.8m
【思路引导】过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OE即可．
【完整解答】解：
过O作OE⊥AB于E，
则∠OEB＝90°，AB＝DC＝3.2m，
由垂径定理得：AE＝BE＝ m＝1.6m，
在 Rt△BEO 中，∠BEO＝90°，BE＝1.6m，OB＝3.4m，由勾股定理得：OE＝ ＝3
（m），
即连车带货一起最高为3m，
故选：A．
二．填空题
9．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小
明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB
＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 4 cm．
【思路引导】先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即
可．【完整解答】解：∵C点是 的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝ AB＝ ×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
10．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连
杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB
＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 2 0 cm ．
【思路引导】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD＝BD＝30cm，即可得到PD＝100cm，
利用勾股定理即可求得结果．
【完整解答】解：作OD⊥AB于D，连接OB，
∴AD＝BD＝ AB＝30cm，
∴OD＝ ＝ ＝40（cm），
∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP＝ ＝20 （cm）；
故答案为20 cm．方法二：
解：延长PO交圆于E；
∵AB＝60cm，PB＝70cm，
∴PA＝130cm；
由割线定理，得：PB•PA＝PC•PD；
设点P到圆心的距离是xcm，则有：
（x﹣50）（x+50）＝70×130，
解得x＝20 cm．
故OP长为20 cm．
故答案为20 cm．
11．（2021•永嘉县模拟）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由 和Rt∠ACB围成，且
点C也在 所在的圆上，已知AC＝4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP＝7m，则该道路的路面
宽BC＝ ， 2 m；在 上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是 的中点，
则这两排照明灯离地面的高度是 （ +2 ） m．【思路引导】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到 AM＝CM＝2，即可求得半径为5，根据勾股定理
即可求得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得
ON，通过证得△EOK≌△OPN求得EK＝ON，进一步即可求得EQ．
【完整解答】解：作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，
∴OD＝MC＝ AC＝2m，
∵PD＝7m，
∴圆的半径为7﹣2＝5（m），
∴CD＝ ＝ ＝ （m），
∴BC＝2CD＝2 m，
连接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，
∵PD＝7m，DH＝AC＝4m，
∴PH＝7﹣4＝3（m），
∵AH＝CD＝ m，
∴PA＝ ＝ （m），
∵E是 的中点，
∴OE垂直平分PA，
∴PN＝ m，
∴ON＝ ＝ ＝ （m），
∵EQ∥PD，
∴∠OEK＝∠EOP，
在△EOK和△OPN中，，
∴△EOK≌△OPN（AAS），
∴EK＝ON＝ ，
∴EQ＝EK+KQ＝（ +2）（m），
故答案为2 ，（ +2）．
12．（2020秋•姜堰区期末）在圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽 AB＝800mm，油的
最大深度为200mm，则该油罐横截面的半径是 50 0 mm．
【思路引导】过O作OD⊥AB于C，交圆 O于D，连接 OA，由垂径定理得 AC＝BC＝ AB＝400
（mm），设该油罐横截面的半径为xmm，则OC＝（x﹣200）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得出方
程，解方程即可．
【完整解答】解：过O作OD⊥AB于C，交圆O于D，连接OA，如图所示：
则AC＝BC＝ AB＝400（mm），CD＝200mm，
设该油罐横截面的半径为xmm，则OC＝（x﹣200）mm，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：4002+（x﹣200）2＝x2，
解得：x＝500，即该油罐横截面的半径为500mm，
故答案为：500．
13．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本
框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那
么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 2 6 寸．
【思路引导】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出
DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，
即可得出直径AB的长．【完整解答】解：连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝ CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸，
故答案为：26．
14．（2019秋•洛阳期末）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一
边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝8cm，点D在量角器上的读数为
60°，则该直尺的宽度为 cm．
【思路引导】连接OC，OD，利用垂径定理解答即可．
【完整解答】解：如图，连接OC，OD．∵直尺一边与量角器相切于点C，
∴OC⊥AD，
∵AD＝8cm，∠DOB＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴OE＝ （cm），OA＝ （cm），
∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE＝ （cm），
故答案为： ．
15．（2020•武侯区模拟）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，
埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，
CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD
＝ 2 6 寸 ．
【思路引导】根据垂径定理和勾股定理求解．
【完整解答】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故答案为：26寸．
16．（2018•成都模拟）如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，
现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段
BC）为 （ +1 ） m ．
【思路引导】先证明△OBC是等边三角形，则圆心角为∠BOC＝60°，可知：要打掉墙体构成一个300°
的弧，其周长为300°的弧长和边BC的长．
【完整解答】解：设矩形外接圆的圆心为O，连接OB，
∵矩形ABCD的AC＝2m，BC＝1m，
∴OB＝OC＝BC＝1m，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°．
∴弧形门洞的周长（含线段BC）为： +1＝ +1，
故答案为：（ +1）m．
17．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB为10米，拱高CD为1米，则桥拱的半径是 1 3 米．【思路引导】构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．
【完整解答】解：∵拱桥的跨度AB＝10m，拱高CD＝1m，
∴AD＝5m，
∴AD2＝OA2﹣（OC﹣CD）2，即52＝AO2﹣（AO﹣1）2，
解得AO＝13m．即圆弧半径为13米．
答：石拱桥拱的半径为13m．
故答案为：13
三．解答题
18．（2021•和平区一模）如图一面墙上有一个矩形门ABCD现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门，
在圆内接矩形ABCD中，AD＝ m，CD＝1m．
（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少m？
（2）求要打掉墙体的面积是多少m2？
（π≈3.1， ≈1.7，结果精确到1m2）
【思路引导】（1）先证得BD是直径，利用勾股定理求出BD的长，即可求得半径；
（2）打掉墙体的面积＝2（S ﹣S ）+S ﹣S ，根据扇形的面积和三角形的面积求出即
扇形OAD △AOD 扇形OAB △AOB可．
【完整解答】解：（1）连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝CD＝1m，
∴BD是直径，BD＝ ＝ ＝2（m），
∴圆弧形门所在圆的半径为1m；
（2）取圆心O，连接OA，
由（1）可知，OA＝OB＝AB＝1m，
∴△AOB是正三角形，
∴∠AOB＝60°，∠AOD＝120°，
∴S ＝S ＝ S ＝ × × ×1＝ （m2），
△AOB △AOD △ABD
∴要打掉墙体的面积S＝2（S ﹣S ）+S ﹣S
扇形OAD △AOD 扇形OAB △AOB
＝2（ ﹣ ）+（ ﹣ ）
＝ π﹣
≈1（m2），
∴要打掉墙体的面积约为1m2．
19．（2020秋•淮南月考）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁
中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，
OC⊥AB，垂足为D，CD＝1寸，AB＝1尺，求⊙O的直径是多少寸？”（注：1尺＝10寸）．【思路引导】连接OA，如图，设⊙O的半径为r寸，则OD＝（r﹣1）寸，根据垂径定理得到AD＝BD
＝5，再利用勾股定理得52+（r﹣1）2＝r2，然后解方程求出r，从而得到⊙O的直径．
【完整解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r寸，则OD＝（r﹣1）寸，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×10＝5，
在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，
∴52+（r﹣1）2＝r2，解得r＝13，
∴⊙O的直径是26寸．
20．（2020秋•房县期中）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽 40米，拱高10米，
今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
【思路引导】设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，过O作OE⊥CD
于E，交AB于F．连接OA、OD，则OF⊥AB，先由垂径定理得 AF＝BF＝ AB＝20（米），CE＝
DE，设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，再根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，解得：r＝25，则OF
＝15米，在Rt△OED中，OE＝20（米），由勾股定理求出∴DE＝15（米），则CD＝2DE＝30（米）．
【完整解答】解：如图，设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD，
则OF⊥AB，
∴AF＝BF＝ AB＝20（米），CE＝DE，
设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，
解得：r＝25，则OF＝15米，
在Rt△OED中，OE＝OF+EF＝15+5＝20（米），
∴DE＝ ＝ ＝15（米），
∴CD＝2DE＝30（米），
即水位到达警戒水位时水面宽30米．
21．（2020秋•汤阴县期中）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图 是公路转弯处的一
段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，AB＝3km，DF
＝450m．
（1）求圆的半径；
（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．
【思路引导】（1）连接OA，设圆O的半径为rm，则OF＝（r﹣450）m，由垂径定理得AF＝BF＝
AB＝1500，在Rt△AOF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）利用等弧所对的圆周角相等得∠BCD＝∠ABD，再证出∠DBE＝∠DEB，从而证明AD＝BD＝DE，即可得出结论．
【完整解答】解：（1）连接OA，如图所示：
设圆O的半径为rm，则OF＝（r﹣450）m，
∵直径CD⊥AB，
∴AF＝BF＝ AB＝1500，
在Rt△AOF中，由勾股定理得：15002+（r﹣450）2＝r2，
解得：r＝2725，
即圆的半径为2725m；
（2）A、B、E三点在以点D为圆心DE为半径的圆上，理由如下：
∵直径CD⊥AB，
∴ ＝ ，
∴∠BCD＝∠ABD，AD＝BD，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∠DEB＝∠BCD+∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE．
∴AD＝BD＝DE，
∴A、B、E三点在以点D为圆心DE为半径的圆上．
22．（2021•金山区二模）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深
度等于25cm（水的深度指 的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．（2）横截面浸没在水中的 的长（结果保留π）．
【思路引导】（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，根据垂径定理得出AH＝BH， ＝ ，
求出OH，根据勾股定理求出AH，再求出答案即可；
（2）求出∠AOH的度数，根据等腰三角形求出∠AOH＝∠BOH，求出∠AOB，再根据弧长公式求出答
案即可．
【完整解答】解：（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，
∵OH⊥AB，OH过O，
∴∠OHA＝90°，AH＝ AB， ＝ ，
∵水的深度等于25cm，
∴HD＝25（cm），
∵OA＝OD＝50cm，
∴OH＝OD﹣HD＝25（cm），
∴AH＝ ＝ ＝25 （cm），
∴AB＝50 cm；
（2）连接OB，∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝ OA，
∵∠OHA＝90°，
∴∠OAH＝30°，
∴∠AOH＝60°，
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴∠BOH＝∠AOH＝60°，
即∠AOB＝120°，
∴ 的长是 ＝ （cm）．
23．（2020秋•防城港期末）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．截面圆的直径为 200cm，若油
面的宽AB＝160cm，求油槽中油的最大深度．
【思路引导】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，由垂径定理求出AC的长，再根据
勾股定理求出OC的长，进而可得出CD的长．
【完整解答】解：过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接AO．Rt△ACO中，AO＝ （cm），
AC＝ （cm），
∴OC＝ （cm），
∴油槽中油的最大深度CD＝OD﹣OC＝ （cm）．
24．（2020秋•环江县期末）如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水
筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，
盛水筒在水面以下的最大深度．
【思路引导】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算
出OE，然后计算出DE的长即可．
【完整解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，∴ ，
在Rt△AEO中， ，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
答：水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
25．（2020秋•江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧
形拱桥，并说明理由．
【思路引导】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．
【完整解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝ AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝ （m）．
∴MN＝2EN＝2× ≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
26．（2019秋•相山区期末）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工
厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
【思路引导】如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E
为垂足，CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，则CE＝DE＝0.8m，且OC＝1m，在Rt△OCE中，利用勾股定理
可求出OE＝0.6m，这样CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m，即可判断．
【完整解答】解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
在Rt△OCE中，OE＝ ＝ ＝0.6（m），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．
所以这辆卡车能通过厂门．27．（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否
要采取紧急措施？
【思路引导】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得
出结论．
【完整解答】解：（1）连接OA，
由题意得：AD＝ AB＝30（米），OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）．
∴A′B′＝32（米）．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
