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2021-2022 学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编
专题 05 垂径定理的应用
一．选择题
1．（2021•柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面
宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（ ）
A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm
2．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于
A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳
出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
3．（2021•广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直
相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）
A．50m B．40m C．30m D．25m
4．（2021•海安市模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形
ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（ ）A． B． C． D．
5．（2020秋•平谷区期末）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度 AB＝8cm，半径
OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
6．（2021•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多
年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几
何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长
1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（
）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
7．（2020秋•滨湖区期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆
材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有
圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度 CD为1寸，锯长AB为1尺（10
寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（ ）A．22寸 B．24寸 C．26寸 D．28寸
8．如图，某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形，一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一
起最高为多少米（ ）
A．3m B．3.4m C．4m D．2.8m
二．填空题
9．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小
明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB
＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
10．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连
杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB
＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为 ．
11．（2021•永嘉县模拟）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由 和Rt∠ACB围成，且
点C也在 所在的圆上，已知AC＝4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP＝7m，则该道路的路面宽BC＝ m；在 上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是 的
中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
12．（2020秋•姜堰区期末）在圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽 AB＝800mm，油的
最大深度为200mm，则该油罐横截面的半径是 mm．
13．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本
框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一
尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那
么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 寸．
14．（2019秋•洛阳期末）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一
边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝8cm，点D在量角器上的读数为
60°，则该直尺的宽度为 cm．15．（2020•武侯区模拟）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，
埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，
CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD
＝ ．
16．（2018•成都模拟）如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，
现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段
BC）为 ．
17．如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB为10米，拱高CD为1米，则桥拱的半径是 米．
三．解答题
18．（2021•和平区一模）如图一面墙上有一个矩形门ABCD现要打掉部分墙体将它改为一个圆弧形的门，
在圆内接矩形ABCD中，AD＝ m，CD＝1m．
（1）求此圆弧形门所在圆的半径是多少m？
（2）求要打掉墙体的面积是多少m2？
（π≈3.1， ≈1.7，结果精确到1m2）19．（2020秋•淮南月考）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁
中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，
OC⊥AB，垂足为D，CD＝1寸，AB＝1尺，求⊙O的直径是多少寸？”（注：1尺＝10寸）．
20．（2020秋•房县期中）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽 40米，拱高10米，
今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
21．（2020秋•汤阴县期中）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图 是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD于点E，AB＝3km，DF
＝450m．
（1）求圆的半径；
（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．
22．（2021•金山区二模）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深
度等于25cm（水的深度指 的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的 的长（结果保留π）．
23．（2020秋•防城港期末）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．截面圆的直径为 200cm，若油面的宽AB＝160cm，求油槽中油的最大深度．
24．（2020秋•环江县期末）如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水
筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，
盛水筒在水面以下的最大深度．
25．（2020秋•江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧
形拱桥，并说明理由．
26．（2019秋•相山区期末）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工
厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
27．（2018秋•云安区期末）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否
要采取紧急措施？
