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专题05 变量之间的关系
考向一、常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识
考向二、列表法表示变量之间的关系
考向三、关系式表示变量之间的关系
考向四、根据实际信息判断函数图象
考向五、行程问题中的变量关系
考向六、打折销售、水电费等类型中的变量关系
考向一、常量、变量（自变量、因变量）基本概念认识
1．（2021·宁夏中卫·七年级期末）圆的周长公式是 ，那么在这个公式中，关于变量和常量的说法
正确的是（ ）
A．2是常量，C、 、r是变量 B．2、π是常量，C、r是变量
C．2是常量，r是变量 D．2是常量，C、r是变量
【答案】B
【解析】
【分析】
常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【详解】
解：圆的周长计算公式是c=2πr，C和r是变量，2、π是常量，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了常量，变量的定义，识记的内容是解题的关键．
2．（2022·山东聊城·七年级期末）小张到单位附近的加油站加油，如图是小张所用的加油机上的数据显示
牌，则数据中的变量是（ ）
116.64 金额
18 数量/升
6.48 单价/元A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】D
【解析】
【分析】
根据变量和常量的定义判断即可．
【详解】
解：金额随着数量的变化而变化，单价不变
故选：D．
【点睛】
本题考查了常量和变量，解题的关键是正确理解变量和常量的定义．
3．（2021·四川甘孜·七年级期末）某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变
化情况如表所示．在该变化过程中，常量是（ ）
场次 售票量（张） 售票收入（元）
1 50 2000
2 100 4000
3 150 6000
4 150 6000
5 150 6000
6 150 6000
A．场次 B．售票量 C．票价 D．售票收入
【答案】C
【解析】
【分析】
根据表格可知，场次、售票量、售票收入中，不变的量是票价，进而根据函数的定义可知票价是常量．
【详解】
根据表格数据可知，不变的量是票价，则常量是票价．
故选C．
【点睛】
本题考查了函数的定义，掌握常量是不变的量是解题的关键．考向二、列表法表示变量之间的关系
1．（2022·山东聊城·七年级期末）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他
们得到如表数据：
支撑物的高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑的时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
下列说法正确的是（ ）
A．当h＝70cm时，t＝1.50s B．h每增加10cm，t减小1.23
C．随着h逐渐变大，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的表示方法，可得答案．
【详解】
A、当h＝70cm时，t＝1.59s，故A错误；
B、h每增加10cm，t减小的值不一定，故B错误；
C、随着h逐渐升高，t逐渐变小，故C错误；
D、随着h逐渐升高，小车的平均速度逐渐加快，故D正确；
故选：D．
2．（2022·山东青岛·七年级期末）从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度
v（m/s）与运动时间t（s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（ ）
v（m/s） 25 15 5 ﹣5
t（s） 0 1 2 3
A．v＝25t B．v＝﹣10t＋25 C．v＝t2＋25 D．v＝5t＋10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格中的数据，把对应的数据代入函数关系式中进行求解即可得到答案．【详解】
解：A、当 时， ，不满足 ，故此选项不符合题意；
B、当 时， ，满足 ，
当 时， ，满足 ，
当 时， ，满足 ，
当 时， ，满足 ，故此选项符合题意；
C、当 时， ，不满足 ，故此选项符合题意；
D、当 时， ，不满足 ，故此选项符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了用表格表示变量间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握用表格表示变量间的关系．
考向三、关系式表示变量之间的关系
1．（2021·黑龙江大庆·七年级期末）一个长方体的底面是一个边长为10cm的正方形，如果高为h(cm)时，
体积为V(cm3)，则V与h的关系为_______；
【答案】V=100h
【解析】
【分析】
根据体积公式：体积=底面积×高进行填空即可．
【详解】
解：V与h的关系为V=100h；
故答案为：V=100h．
【点睛】
本题主要考查了列函数关系式，题目比较简单．
2．（2022·山东泰安·七年级期末）2021年泰安市市区出租车调整收费标准，起步价由原来2公里内6元调
整为2公里内8元，超过2公里，超过部分由原来1.5元每公里调整为1.6元每公里．外地游客小明在泰安
搭乘出租车沿环山路欣赏泰山美景，则行驶路程x（ ）千米与收费y（元）之间的函数关系式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
【分析】
根据题意列出对应的函数关系式即可．
【详解】
解：由题意得： ，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
3．（2021•密云区·七年级期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为
xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．S＝4x+6 B．S＝4x﹣6 C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x
【分析】根据已知可得矩形的长为x+3，然后利用矩形的面积公式进行计算即可．
【解析】由题意得：S＝x（x+3）＝x2+3x，∴S与x满足的函数关系是：S＝x2+3x，故选：C．
考向四、根据实际信息判断函数图象
1．（2021·广东梅州·七年级期末）小刚从家出发徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后骑车原路
返回．设他从家出发后所用的时间为t分，离家的路程为s米，则s与t之间的关系大致可以用图象表示为
（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，把小刚的运动过程分为三个阶段，分别分析出s、t之间的变化关系，从而得解．
【详解】
解：小刚取车的整个过程共分三个阶段：
①徒步从家到同学家，s随时间t的增大而增大；
②在同学家逗留期间，t增大，s不变；
③骑车返回途中，速度比徒步速度要快，比徒步时的直线更陡，s随t的增大而减小；
纵观各选项，只有C选项符合．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数图象，根据题意，分析出整个过程的运动情况，并判断出各阶段的图象变化情况是解题的
关键．
2．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级期末）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在
操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度
h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是_________，因变量是_________；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是_________分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为_________米/分；
（4）图中a表示的数是_________；b表示的数是_________；
（5）图中点A表示_________．
【答案】 操控无人机的时间 ； 无人机的飞行高度 ； 5；
25； 2； 15； 在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
【解析】
【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留时间为 分钟即可；
（3）根据“速度=路程÷时间”计算即可；
（4）根据速速、时间与路程的关系式，列式计算求解即可；
（5）根据点的实际意义解答即可．
【详解】
解：（1）横轴代表的是无人机被操控的时间，纵轴是无人机飞行的高度，所以自变量是操控无人机的时
间 ；因变量是无人机的飞行高度 ；
（2）无人机在75米高的上空停留时间为 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为： 米/分；
（4）图中 表示的数为： 分钟；图中 表示的数为 分钟；
（5）图中点A表示，在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
【点睛】
本题考查变量之间的关系在实际中的应用，根据图象学会分析是解题重点．
考向五、行程问题中的变量关系
1．（2020·贵州毕节·七年级期末）如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之
间的关系的一幅图．
（1）下图反映了哪两个变量之间的关系？
（2）爷爷从家里出发后 分钟到 分钟可能在做什么？
（3）爷爷每天散步多长时间？
（4）爷爷散步时最远离家多少米？
（5）分别计算爷爷离开家后的 分钟内、 分钟内、 分钟内的平均速度．
【答案】（1）爷爷散步的时间与距离之间的关系；（2）可能在某处休息；（3）爷爷每天散步45分钟；（4）爷爷散步时最远离家为900米；（5）爷爷离开家后：20分钟内平均速度是45米/分；30分钟内平均
速度是30米/分；45分钟内平均速度是40米/分．
【解析】
【分析】
（1）根据图象中的横纵坐标的意义解答即可；
（2）根据图象可看出20分钟到30分钟之间，时间在增加，而路程不变，据此解答即可；
（3）根据图象可得45分钟后爷爷离家的距离为0，说明回到了家中，由此可得答案；
（4）图象最高点的纵坐标即为爷爷散步时最远离家的距离，据此即可解答；
（5）利用时间=路程÷速度求解即可．
【详解】
解：（1）爷爷散步的时间与距离之间的关系；
（2）可能在某处休息．
（3）爷爷每天散步45分钟
（4）爷爷散步时最远离家为900米
（5）爷爷离开家后：①20分钟内平均速度：900 20=45（米/分）；
②30分钟内平均速度：900 30=30（米/分）；
③45分钟内平均速度：900 45=40（米/分）．
【点睛】
本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常考题型，正确理解图象的横纵坐标表示的意义是解题关
键．
2．（2021·广东茂名·七年级期末）甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，已知他离图书馆的距离s
（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学离图书馆的最远距离是多少千米，他在120分钟内共跑了多少千米？
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为多少分钟？
（3）甲同学在CD路段内的跑步速度是每小时多少千米？【答案】（1）3千米，6千米；（2）40分钟；（3）4.5千米每小时
【解析】
【分析】
（1）观察图象即可得出结论，最远距离是在第60分钟，根据图象可知第120分钟与图书馆的距离为0，
据此可知共跑了多少千米；
（2）观察图象平行于横轴的线段，距离没有发生变化，根据时间差即可求得停留时间；
（3）根据速度等于路程除以时间，即可求得出甲在CD路段内的跑步速度
【详解】
（1）由图象知，甲同学离图书馆的最远距离是3千米，他在120分钟内共跑了6千米；
（2）甲同学在这次慢跑过程中，停留所用的时间为 分钟；
（3）CD路段内的路程为 千米，
所用的时间为 小时，
所以甲同学在CD路段内的跑步速度是 千米每小时．
【点睛】
本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键．
3．（2021·河南郑州·七年级期末）如图所示， ， 两地相距 千米，甲于某日下午 时骑自行车从 地
出发前往 地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从 地出发前往 地．如图所示，图中的折线 和
线段 分别表示甲、乙所行驶的路程 和时间 的关系．
根据图象回答下列问题：
(1)甲和乙比较 先出发，先出发 小时；
(2)甲和乙比较 先到达 城，先到 小时；
(3)乙骑摩托车的速度是 ,甲骑自行车在全程的平均速度是 ；
(4)请你根据图象上的数据，求乙出发后多长时间能追上甲．
【答案】(1)甲，(2)乙，
(3) ，
(4) 小时
【解析】
【分析】
（1）由图象可得，甲先出发了1小时；
（2）由图像可得，乙比甲早2小时到达；
（3）由图像可得，甲乙分别的用时和总路程，从而可得答案；
（4）根据乙追上甲的时候二者的路程相等，列方程可得．
【详解】
解： 甲， ；
乙， ；
， ；
乙用1个小时走了60千米，所以乙骑摩托车的速度是60千米/时，
甲用6-2=4个小时走了60千米，所以甲骑自行车在全程的平均速度是60÷4=15千米/小时．
设乙出发 小时就追上甲，根据题意,得
，
解得 .
所以乙出发 小时就追上甲.
【点睛】
本题考查函数的图象，由函数的图象获取信息是解题的关键．
考向六、打折销售、水电费等类型中的变量关系
1．（2021·陕西宝鸡·七年级期末）为了吸引游客，某景区在端午节期间开展门票打折优惠活动，原价80
元的门票打八折销售，设节日期间共接待游客x人，减少的门票收入为y（元），则y与x之间的关系可表
示为____．
【答案】
【解析】
【分析】
用按原价销售的门票收入减去打折后的门票收入即可求得减少的门票收入．
【详解】解：根据题意得：y＝80x－80×80%×x，
即y＝16x．
故答案为：y＝16x．
【点睛】
本题考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是用按原价销售的门票收入减去打折后的门票收入
即可求得减少的门票收入．
2．（2021·四川成都·七年级期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超
过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1
月份用水24吨，交水费42元．
（1）求每吨水的市场调节价是多少元；
（2）设每月用水量为x（x＞12）吨，应交水费为y元，写出y与x之间的关系式；
（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？
【答案】（1）每吨水的市场调节价为2.5元；（2）y＝2.5x−18；（3）他家应交水费52元．
【解析】
【分析】
（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据“每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费”列出方
程求解即可；
（2）根据“每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费”即可得出y与x之间的函数关系式；
（3）根据用水量判断其在哪个范围内，代入相应的函数解析式求值即可．
【详解】
解：（1）设每吨水的市场调节价为a元，根据题意得：
12×1＋（24−12）a＝42，
解得：a＝2.5，
答：每吨水的市场调节价为2.5元；
（2）当x＞12时，
y＝12×1＋（x−12）×2.5＝2.5x−18，
∴y与x之间的关系式是y＝2.5x−18；
（3）∵28＞12，
∴把x＝28代入y＝2.5x−18得：
y＝2.5×28−18＝52，
答：他家应交水费52元．【点睛】
本题考查了用解析式表示变量之间的关系和一元一次方程的应用，正确理解收费标准是解题的关键．
3．（2021·山东济南·七年级期末）某公空车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利
润（利润＝票款收入－支出费用）y（元）的变化关系，如下表所所示（每位委文的乘车票价固定不变）：
x（人） … 200 250 300 350 400 …
p（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损；
（2）当一天乘客人数为500人时，利润是多少?
（3）请写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式．
【答案】（1）300；（2）400；（3）y=2x-600
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，当y大于0时，相应的x的取值即可；
（2）根据表格中的变量之间的变化关系，可得“每增加50人，利润将增加100元”，可求出答案；
（3）“每增加50人，利润将增加100元”也就是“每增加1人，利润将增加2元”，根据乘坐人数可得
利润即可．
【详解】
解：（1）当y=0时，x=300，当x＞300时，y＞0，
故答案为：300；
（2）200+100×（ ）=400（元），
答：一天乘客人数为500人时，利润是400元；
（3）由表格中的数据变化可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，
每增加50人，利润就增加100元，每减少50人，利润就减少100元，
所以利润y=0+ ×100=2x-600，
即：y=2x-600，
答：公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式为y=2x-600．
【点睛】本题考查函数关系式，理解表格中“每天的利润y元”与“乘坐的人数x”之间的变化关系是正确解答的关
键．
1．（2021·四川成都·七年级期末）甲以每小时30km的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）
之间的关系式可表示为s＝30t，则下列说法正确的是（ ）
A．数30和s，t都是变量
B．s是常量，数30和t是变量
C．数30是常量，s和t是变量
D．t是常量，数30和s是变量
【答案】C
【解析】
【分析】
根据变量的定义即可求解
【详解】
解：在s＝30t中，数30是常量，s和t是变量，
故选：C．
【点睛】
本题考查变量与常量的定义，熟练掌握定义即可求解．
2．（2020·山东青岛·七年级期末）某品牌热水壶的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调
查，结果如下：
定价/元 70 80 90 100 110 120
销量/把 80 100 110 100 80 60
现销售了 把水壶，则定价约为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中定价的变化和销量的变化即可解答．
【详解】
解：由表中数据可知，定价为90元时，销量达到最大为110把，而销售105把水壶，销量位于100把到
110把之间，而
当定价在80元到90元时，定价每增加1元，销量增加1把，销量呈递增趋势，
当定价在90元到100元时，定价每增加1元，销量减少1把，销量呈递减趋势，
故定价约为80+（105-100）÷1=85元，
故选：D．
【点睛】
本题考查了用表格法表示两个变量之间的关系，解答的关键是读懂题意，能从表格中找到有效信息解决问
题．
3．（2021·江西吉安·七年级期末）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环
粗0.8厘米，每个铁环长5厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态．
求：（1）2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少．
（2）设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y；
（3）若要组成2.09米长的链条，需要多少个铁环？
【答案】（1）2个铁环组成的链条长 ，3个铁环组成的链条长为 ，4个铁环组成的链条长
；（2） ；（3）需要61个铁环
【解析】
【分析】
(1)根据铁环粗0.8厘米,每个铁环长5厘米,进而得出2个、3个、4个铁环组成的链条长;
(2)根据铁环与环长之间的关系进而得出y与n的关系式;
(3)由(2)得，3.4n＋1.6＝209，进而求出即可.
【详解】
解：(1)由题意可得： ，
，
．
故2个铁环组成的链条长 ，3个铁环组成的链条长为 ，4个铁环组成的链条长 ；(2)由题意得：n个铁环一共有n－1个相接的地方，
∴ ，
即 ；
(3)∵2.09米
∴据题意有 ，
解得： ，
答：需要61个铁环.
【点睛】
本题主要考查了用关系式表示的变量之间的关系，利用链条结构得出链条长的变化规律是解题的关键.
4．（2020·山东济南·七年级期末）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，
如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）学校离他家 米，从出发到学校，王老师共用了 分钟；王老师吃早餐用了 分钟．
（2）观察图形直接回答王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？
【答案】（1）1000，25，10；(2) 吃完早餐以后速度快.
【解析】
【分析】
（1）由于步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，那么行驶路程S（米）与时间t(分)之间的关系图象中
有一段平行x轴的线段，然后到学校，根据图象可以直接得到结论；
（2）根据路程与时间图，坡度越陡，速度越快即可得出结论；
【详解】
(1)由图象可得：学校离他家1000米，
从出发到学校，王老师共用了25分钟，
王老师吃早餐所用的时间为:20-10=10分钟，
故答案为：1000，25，10；
(2) 由图象可知，吃完早餐以后的坡度比吃完早餐前陡，故吃完早餐以后速度快.
【点睛】本题考查了函数的图象，此题是一个信息题目，根据函数图象中的信息找出所需要的数量关系，然后利用
数量关系即可解决问题．
5．（2021·全国·七年级期末）如图在直角梯形 中， ， ， ， ，
，点P，Q同时从点B出发，其中点P以 的速度沿着点 运动；点Q以 的
速度沿着点 运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之
停止运动．
（1）当运动时间 时，则三角形 的面积为_____ ；
（2）当运动时间 时，则三角形 的面积为_____ ；
（3）当运动时间为 时，请用含t的式子表示三角形 的面积．
【答案】（1）16；（2）30；（3）当运动时间为 时，三角形 的面积
【解析】
【分析】
（1）根据 、 的值和点Q的速度是 ，点P的速度是 ，求出 、 的值，再根据三角形
面积公式计算即可；
（2）求出 的值，再根据三角形面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：根据三角形面积公式列出即可．
【详解】
解：（1）AB=5cm，AD=8cm，BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，点P的速度是1cm/s，
当运动时间t=4s时，QB=2t=2×4=8（cm），BP=t=4（cm），
则三角形BPQ的面积为： ，
故答案为：16；（2）当运动时间 时，
∵AB=5cm，点P的速度是1cm/s，
∴点P运动到了AD上，
，
则三角形 的面积为： ，
故答案为：30；
（3）当P在 上时，此时 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵BC=14cm，点Q的速度是2cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
当P在 上，且Q沿着点 运动时，
∵AB=5cm，AD=8cm，点P的速度是1cm/s，
此时 ，即 ，
则三角形 的面积为 ；
综上，当运动时间为 时，三角形 的面积 ．
【点睛】
本题考查了列代数式，三角形的面积，数形结合、分类讨论是解题的关键．
